資源簡(jiǎn)介

4．5.3　函數(shù)模型的應(yīng)用
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2025上海楊思高級(jí)中學(xué)月考)已知某企業(yè)生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，若第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該企業(yè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為(　　)
A.
B.
C.
D. －1
2 在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則x，y的函數(shù)關(guān)系式最可能是(其中a為待定系數(shù))(　　)
A. y＝ax B. y＝ax2＋1
C. y＝loga(x＋1) D. y＝
3 (2024合肥二模)常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱作半衰期，記為T(單位：天).鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為T1，T2.開始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則T1，T2滿足的關(guān)系式為(　　)
A. －2＋＝
B. 2＋＝
C. －2＋log2＝log2
D. 2＋log2＝log2
4 心理學(xué)家用函數(shù)L(t)＝A(1－e－kt)測(cè)定在時(shí)間t(單位：min)內(nèi)能夠記憶的量L，其中A表示需要記憶的量，k表示記憶率．假設(shè)一個(gè)學(xué)生需要記憶的量為200個(gè)單詞，此時(shí)L表示在時(shí)間t內(nèi)該生能夠記憶的單詞個(gè)數(shù)．已知該生在5 min內(nèi)能夠記憶20個(gè)單詞，則k的值約為(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)(　　)
A. 0.021 B. 0.221
C. 0.461 D. 0.661
5 音量大小的單位是分貝(dB)，對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10lg (其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度).設(shè)η1＝70 dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60 dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的(　　)
A. 倍 B. 10倍 C. lg 倍 D. ln 倍
6 錢學(xué)森彈道，即“助推—滑翔”彈道．在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的應(yīng)用”后，用y＝的圖象擬合某一錢學(xué)森彈道，其中x(千公里)表示彈道橫向位移，y(千公里)表示彈道縱向位移，在網(wǎng)絡(luò)公開平臺(tái)可獲得兩組數(shù)據(jù)：x＝1，y＝；x＝3，y＝，則a，b的值分別為(　　)
A. 1，3 B. 3，1
C. －3，－ D. －，－3
7 在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg ，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2).已知太陽(yáng)的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為(　　)
A. 1010.1 B. 10.1
C. lg 10.1 D. 10-10.1
二、 多項(xiàng)選擇題
8 (2024廣東期末)如圖，某池塘中浮萍的面積y(單位：m2)與時(shí)間t(單位：月)的關(guān)系為y＝at，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 浮萍的面積逐月翻一番
B. 第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積會(huì)超過(guò)30 m2
C. 第7個(gè)月的浮萍面積超過(guò)第6個(gè)月和第8個(gè)月的平均值
D. 浮萍每月增加的面積都相等
9 (2024欽州期末)為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝f(t)，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．給出下列結(jié)論，其中正確的是(　　)
A. 在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量均達(dá)標(biāo)
B. 在t2時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相等
C. 甲企業(yè)的污水排放量的最小值大于乙企業(yè)的污水排放量的最大值
D. 在[0，t1]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水排放量高于乙企業(yè)的污水排放量
三、 填空題
10 (2024咸陽(yáng)期中)某商店銷售A，B兩款商品，利潤(rùn)(單位：元)分別為y1＝－x2＋19x和y2＝6x，其中x(x∈N)為銷量(單位：袋)，若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤(rùn)為________元．
11 為了保證信息安全傳輸，有一種系統(tǒng)稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y.現(xiàn)在加密密鑰為冪函數(shù)，解密密鑰為指數(shù)函數(shù)．過(guò)程如下：發(fā)送方發(fā)送明文“9”，通過(guò)加密后得到密文“3”，再發(fā)送密文“3”，接受方通過(guò)解密密鑰得到明文“27”．若接受方得到明文“9”，則發(fā)送方發(fā)送的明文為________．
12 (2024佛山期末)表觀活化能的概念最早是針對(duì)阿倫尼烏斯公式k＝Ae－中的參量Ea提出的，是通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得的，又叫實(shí)驗(yàn)活化能，阿倫尼烏斯公式中的k為反應(yīng)速率常數(shù)，R為摩爾氣體常量，T為熱力學(xué)溫度(單位為開爾文，簡(jiǎn)稱開)，A(A>0)為阿倫尼烏斯常數(shù)．已知某化學(xué)反應(yīng)的溫度每增加10開，反應(yīng)速率常數(shù)k變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則當(dāng)溫度從300開上升到400開時(shí)，＝________．(參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.7)
四、 解答題
13 某廠1月，2月，3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件，1.2萬(wàn)件，1.3萬(wàn)件，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來(lái)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(萬(wàn)件)與月份x的關(guān)系.模擬函數(shù)可選擇二次函數(shù)或函數(shù)y＝abx＋c(a，b，c為常數(shù))，已知四月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.36萬(wàn)件，試問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作模擬函數(shù)較好？
14 (2024衡陽(yáng)一中月考)某品牌平板電腦體驗(yàn)店預(yù)計(jì)2024年10月到2025年9月全年可以銷售450臺(tái)平板電腦，已知該品牌平板電腦的進(jìn)價(jià)為3 000元/臺(tái)，為節(jié)約資金，決定分批購(gòu)入，若每批都購(gòu)入x(x∈N*)臺(tái)，則每批需付運(yùn)費(fèi)200元，儲(chǔ)存購(gòu)入的平板電腦全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電腦的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比，若每批購(gòu)入50臺(tái)，則全年需付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)6 800元．
(1) 求全年所付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)之和y關(guān)于x的函數(shù)；
(2) 若全年只有5 600元資金可用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)，則能否恰當(dāng)?shù)陌才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？如果夠用，求出每批進(jìn)貨的數(shù)量；如果不夠用，最少還需補(bǔ)多少？
15 (2024張家口期末)近年來(lái)城市交通擁堵嚴(yán)重，某市區(qū)內(nèi)的主要街道經(jīng)常出現(xiàn)堵車現(xiàn)象．電動(dòng)自行車由于其體型小、靈活性強(qiáng)、易操作，成為市民出行的常用交通工具．據(jù)觀測(cè)，出行高峰時(shí)段某路段內(nèi)的電動(dòng)自行車流量Q(單位：千輛/h)與電動(dòng)自行車的平均速度v(單位：km/h)(注：國(guó)家規(guī)定電動(dòng)自行車最大設(shè)計(jì)時(shí)速為25 km/h)的函數(shù)關(guān)系為Q(v)＝(0(1) 欲使電動(dòng)自行車流量不少于10千輛/h，求v的取值范圍；
(2) 當(dāng)電動(dòng)自行車流量Q最大時(shí)，求v的值并估計(jì)最大流量(精確到0.1).
4．5.3　函數(shù)模型的應(yīng)用
1. D　設(shè)該企業(yè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x，可得(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
2. A　作出散點(diǎn)圖如下，其與指數(shù)函數(shù)的圖象最為接近，故選A.
3. B　設(shè)開始記錄時(shí)，甲、乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為，乙的質(zhì)量為.由題意，得＝×＝2＋，則2＋＝.
4. A　由題意，得200(1－e-5k)＝20，即1－e-5k＝0.1，則e-5k＝0.9，兩邊同取對(duì)數(shù)可得ln e-5k＝ln 0.9，即－5k≈－0.105，解得k≈0.021.
5. B　由題意，得η1＝10lg ＝70，η2＝10lg ＝60，所以＝107，＝106，即I1＝107×I0，I2＝106×I0，所以＝10，即I1是I2的10倍．
6. B　將x＝1，y＝；x＝3，y＝代入y＝可得＝和＝，解得a＝3，b＝1.
7. A　令m2＝－1.45，m1＝－26.7，則lg ＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，從而＝1010.1.
8. AB　由圖可知點(diǎn)(1，2)在函數(shù)y＝at的圖象上，所以a1＝2，即a＝2，所以y＝2t，所以2t+1＝2×2t，故A正確；當(dāng)t＝5時(shí)，有25＝32>30，故B正確；設(shè)t＝6，7，8時(shí)的浮萍面積分別為y6，y7，y8，所以y6＝26＝64，y7＝27＝128，y8＝28＝256，所以＝＝160>128，故C錯(cuò)誤；第3個(gè)月比第2個(gè)月增加23－22＝4(m2)的浮萍面積，第4個(gè)月比第3個(gè)月增加24－23＝8(m2)的浮萍面積，且8≠4，所以實(shí)際上面積增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，故D錯(cuò)誤．故選AB.
9. BD　由圖可知在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量均超標(biāo)，故A錯(cuò)誤；在t2時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相等，故B正確；甲企業(yè)的污水排放量的最小值不大于乙企業(yè)的污水排放量的最大值，故C錯(cuò)誤；在[0，t1]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水排放量高于乙企業(yè)的污水排放量，故D正確．故選BD.
10. 162　設(shè)該商店銷售A商品x袋，則銷售B商品(20－x)袋，所以可獲得的利潤(rùn)y＝－x2＋19x＋6(20－x)＝－x2＋13x＋120＝－2＋，因?yàn)閤∈[0，20]，x∈N，所以當(dāng)x＝6或x＝7時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為162元．
11. 4　設(shè)加密密鑰為冪函數(shù)y1＝xα，則9α＝3，解得α＝，即y1＝x.設(shè)解密密鑰為指數(shù)函數(shù)y2＝ax，則a3＝27，解得a＝3，即y2＝3x.因?yàn)榻邮芊降玫矫魑摹?”，所以9＝3t，解得t＝2，則2＝x，解得x＝4，即發(fā)送方發(fā)送的明文為4.
12. 8 400　根據(jù)題意，溫度每增加10開，反應(yīng)速率常數(shù)k變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則當(dāng)溫度從300開上升到400開時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)k變?yōu)?00開時(shí)的210倍．由k＝Ae－，得當(dāng)T＝300開時(shí)，k1＝Ae－；當(dāng)T＝400開時(shí)，k2＝Ae－，所以＝＝210，即e＝210，則＝10ln 2，可得＝12 000ln 2≈12 000×0.7＝8 400.
13. ①若用二次函數(shù)，
設(shè)f(x)＝kx2＋lx＋m，k≠0，
所以解得
所以f(x)＝－x2＋x＋，f(4)＝1.3.
②若用函數(shù)y＝g(x)＝abx＋c，
則解得
所以g(x)＝－×＋，
所以g(4)＝1.35，
所以g(4)更接近1.36，故選用y＝abx＋c更好．
14. (1) 設(shè)保管費(fèi)與電腦總價(jià)值的比例系數(shù)為k，
則y＝×200＋k×3 000x＝＋3 000kx，
當(dāng)x＝50時(shí)，y＝6 800，解得k＝，
所以y＝＋100x(x∈N*).
(2) 由(1)知，y＝＋100x≥2＝6 000，
當(dāng)且僅當(dāng)＝100x，即x＝30時(shí)，等號(hào)成立，
所以每批應(yīng)購(gòu)入平板電腦30臺(tái)，全年運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)最少，為6 000元，此時(shí)還需補(bǔ)400元．
15. (1) 電動(dòng)自行車流量不少于10千輛/h，
即Q(v)＝≥10，
化簡(jiǎn)，得v2－58v＋400≤0，
解得8≤v≤50，
又因?yàn)樽罡咴O(shè)計(jì)時(shí)速為25 km/h，故8≤v≤25，
所以欲使電動(dòng)自行車流量不少于10千輛/h，則8≤v≤25.
(2) Q(v)＝＝，
由基本不等式，得v＋≥2＝2＝40，
當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝20時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)電動(dòng)車流量有最大值，最大值為Q(v)＝＝≈14.3，
故當(dāng)v＝20 km/h時(shí)，電動(dòng)車流量最大，最大流量約為14.3千輛/h.

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