資源簡介

5.1.1　任　意　角
一、 單項選擇題
1 將角α的終邊逆時針旋轉30°，與120°角的終邊重合，則與α終邊相同的角的集合為(　　)
A. {β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
B. {β|β＝k·360°＋90°，k∈Z}
C. {β|β＝k·180°＋150°，k∈Z}
D. {β|β＝k·360°＋150°，k∈Z}
2 下列命題中，正確的是(　　)
A. 第一象限的角必是銳角
B. 終邊重合的角必相等
C. 相等角的終邊位置必重合
D. 不相等的角其終邊位置必不重合
3 (2025重慶渝西中學月考)－1 000°角的終邊在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4 若角α與角β的終邊互為反向延長線，則下列結論中正確的是(　　)
A. α＝β＋180°
B. α＝β－180°
C. α＝－β
D. α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
5 (2024北京師范大學天津附屬中學月考)集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋60°，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　)
A B C D
6 (2025山西實驗中學月考)“α為第二象限角”是“是第一象限角”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
7 (2023上海嘉定期中)若α是第一象限角，則下列各角中是第三象限角的是(　　)
A. 90°－α B. 180°－α
C. 270°－α D. －α
二、 多項選擇題
8 下列條件中，能使角α和角β的終邊關于y軸對稱的是(　　)
A. α＋β＝540° B. α＋β＝360°
C. α＋β＝180° D. α＋β＝90°
9 (2025舒城曉天中學月考)下列說法中，不正確的是(　　)
A. 第二象限角都是鈍角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 若角α與角β不相等，則α與β的終邊不可能重合
D. 若角α與角β的終邊在一條直線上，則α－β＝k·180°(k∈Z)
三、 填空題
10 (2024棗莊月考)與－660°角的終邊相同的最小正角是________，最大負角是________．
11 已知角α＝45°，在－720°～0°的范圍內與角α有相同終邊的角β＝____________．
12 已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________________．
四、 解答題
13 已知角α＝2 017°.
(1) 把α改寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限的角；
(2) 求角θ，使角θ與角α的終邊重合，且－360°≤θ<720°.
14 設α是第一象限角，試探究：
(1) 2α一定不是第幾象限角？
(2) 是第幾象限角？
(3) 是第幾象限角？
15 如圖，點A在半徑為1，圓心為原點的圓周上，且∠xOA＝45°，點P從點A出發以逆時針方向做勻速圓周運動，已知點P每秒轉過θ(0°<θ<180°)，2 s到達第三象限，14 s剛好回到出發點A，求θ.
5.1.1　任　意　角
1. B　由題意，得α＋30°＝k·360°＋120°，k∈Z，則α＝k·360°＋90°，k∈Z，所以與α終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋90°，k∈Z}．
2. C　對于A，390°角的終邊在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，390°角和30°角的終邊相同，但兩角不等，故B錯誤；對于C，相等角的終邊位置必重合，故C正確；對于D，390°角和30°角不相等，而390°角和30°角的終邊相同，故D錯誤．
3. A　－1 000°角的終邊與－1 000°＋360°×3＝80°角的終邊相同，則終邊在第一象限．
4. D　因為角α與角β的終邊互為反向延長線，所以兩角相差180°的奇數倍，即α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z.
5. C　當k＝2n，n∈Z時，{α|n·360°≤α≤n·360°＋60°}，當k＝2n＋1，n∈Z時，{α|n·360°＋180°≤α≤n·360°＋240°}，故C滿足題意．
6. D　若α＝480°，為第二象限角，則＝240°，是第三象限角，即不滿足充分性；若＝30°，為第一象限角，則α＝60°是第一象限角，即不滿足必要性．綜上，“α為第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要條件．
7. C　若α是第一象限角，則k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z.－90°－k·360°<－α<－k·360°，k∈Z，則－α是第四象限角，故D錯誤；－k·360°<90°－α<90°－k·360°，k∈Z，則90°－α是第一象限角，故A錯誤；90°－k·360°<180°－α<180°－k·360°，k∈Z，則180°－α是第二象限角，故B錯誤；180°－k·360°<270°－α<270°－k·360°，k∈Z，則270°－α是第三象限角，故C正確．
8. AC　假設α，β為0°～180°內的角，如圖所示，由角α和角β的終邊關于y軸對稱，得α＋β＝180°.根據終邊相同角的概念，可得α＋β＝360°·k＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以滿足條件的為A，C.故選AC.
9. ABC　對于A，495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是鈍角，故A錯誤；對于B，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β，故B錯誤；對于C，若α＝360°，β＝720°，則α≠β，但二者終邊重合，故C錯誤；對于D，角α與角β的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差180°的整數倍，所以α－β＝k·180°(k∈Z)，故D正確．故選ABC.
10. 60°　－300°　因為與－660°角的終邊相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，所以當k＝2時，與－660°角的終邊相同的最小正角是60°；當k＝1時，與－660°角的終邊相同的最大負角是－300°.
11. －675°或－315°　由終邊相同的角的關系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，取k＝－1或k＝－2，得β＝－315°或β＝－675°.
12. {α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}　因為在[0°，360°]內，終邊落在陰影部分的角的集合為{α|45°<α<150°}，所以所求角的集合為{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}．
13. (1) 由2 017°除以360°，得商為5，余數為217°，
所以取k＝5，β＝217°，即α＝5×360°＋217°.
又β＝217°是第三象限的角，α與β終邊相同，
所以α為第三象限的角．
(2) 與2 017°的終邊重合的角為k·360°＋2 017°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2 017°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)，
所以k＝－6，－5，－4.
當k＝－6時，θ＝－6×360°＋2 017°＝－143°；
當k＝－5時，θ＝－5×360°＋2 017°＝217°；
當k＝－4時，θ＝－4×360°＋2 017°＝577°，
所以角θ的值為－143°，217°，577°.
14. 因為α是第一象限角，
所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.
(1) 2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°，k∈Z，
則2α是第一或第二象限角，或是終邊在y軸的正半軸上的角，
所以2α一定不是第三或第四象限角．
(2) k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z.
當k為偶數時，為第一象限角；
當k為奇數時，為第三象限角，
所以為第一或第三象限角．
(3) k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
當k＝3n(n∈Z)時，n·360°＜＜n·360°＋30°，n∈Z，是第一象限角；
當k＝3n＋1(n∈Z)時，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°，n∈Z，是第二象限角；
當k＝3n＋2(n∈Z)時，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°，n∈Z，是第三象限角，
所以為第一或第二或第三象限角．
15. 由題意，得14θ＝k·360°(k∈Z)，即θ＝(k∈Z).
又180°<2θ＋45°<270°，所以67.5°<θ<112.5°，
所以67.5°<<112.5°，即又k∈Z，所以k為3或4，所以θ為或.

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