資源簡介

5．1.2　弧　度　制
一、 單項選擇題
1 下列關于弧度制的說法中，正確的是(　　)
A. 正角或者負角的弧度數都是正數
B. 四分之一圓所對的圓心角是
C. 角的頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，角的終邊旋轉一周得到的角的大小等于2π
D. 用角度制和弧度制度量角，角的大小都與圓的半徑有關
2 (2024天津寧河期末)杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊．已知某紙扇的扇環如圖所示，經測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和10(單位：cm)的兩個同心圓上的弧，側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為，則扇面(扇環)的面積是(　　)
　
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
3 (2024榆林期末)如圖所示的時鐘顯示的時刻為4：30，設150 min后時針與分針的夾角為α(0<α≤π)，則角α的大小為(　　)
A. B. C. D.
4 (2024海口月考)若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(含邊界)，則角α的取值范圍是(　　)
A.
B.
C.
D. (k∈Z)
5 將－表示成2kπ＋θ(k∈Z)的形式，則使|θ|最小的θ的值是(　　)
A. － B. C. － D.
6 《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間．現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長約為 m，整個肩寬約為 m，“弓”所在圓的半徑約為1.25 m，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(　　)
A. m B. m
C. 2 m D. 2 m
7 (2025重慶期末)水滴是劉慈欣的科幻小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱為水滴．如圖，水滴是由線段AB，AC和圓的優弧BC圍成，其中AB，AC恰好與圓弧相切．若圓弧所在圓的半徑為1，點A到圓弧所在圓圓心的距離為2，則該封閉圖形的面積為(　　)
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. 2＋
二、 多項選擇題
8 已知兩個圓心角相同的扇形的面積之比為1∶2，則兩個扇形 (　　)
A. 弧長之比為1∶2 B. 弧長之比為1∶
C. 周長之比為1∶2 D. 周長之比為1∶
9 (2024吉林田家炳高級中學月考)下列說法中，正確的是(　　)
A. 角－與角的終邊相同
B. 若α為第二象限角，則為第一象限角
C. 終邊經過點(m，m)(m>0)的角的集合是
D. 若一扇形的圓心角為2，圓心角所對應的弦長為2，則此扇形的面積為
三、填空題
10 (2024佛山月考)已知角α＝35°，角β＝，角θ＝2 rad，則α，β，θ的大小關系為________．
11 已知某機械裝置有兩個相互嚙合的齒輪，大輪有48齒，小輪有18齒．如果小輪的轉速為120轉/min，大輪的半徑為10 cm，則大輪圓周上的一點每秒轉過的弧長為________cm.
12 已知角α的終邊與角的終邊相同，則在區間[0，2π)內終邊與角的終邊相同的角為____________．
四、 解答題
13 已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.
(1) 若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧長l；
(2) 已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角；
(3) 若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
14 (2024河南期中)已知某扇形的半徑r＝2 cm，周長C＝ cm.
(1) 求該扇形的面積；
(2) 求在區間(0，3π)上與該扇形的圓心角α終邊相同的角．
15 (1) 已知凸四邊形的四個內角之比為1∶3∶5∶6，用弧度制將這些內角的大小表示出來；
(2) 已知一個半徑為r的扇形，它的周長等于弧所在的半圓的弧長，求扇形圓心角的弧度數．
5．1.2　弧　度　制
1. B　正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，故A錯誤；整圓的圓心角是2π，所以四分之一圓所對的圓心角是，故B正確；角的終邊順時針旋轉一周得到的角是－2π，角的終邊逆時針旋轉一周得到的角是2π，故C錯誤；無論是角度制還是弧度制，角的大小都與圓的半徑無關，故D錯誤．
2. A　因為上、下兩條弧分別在半徑為30 cm和10 cm的圓上，圓心角為，所以由扇形的面積公式S＝lr＝αr2可得，兩個扇形的面積分別為S1＝××102＝(cm2)，S2＝××302＝(cm2)，所以扇面的面積為S2－S1＝－＝(cm2).
3. B　150 min后是7：00整，時針指向7，分針指向12，所以α＝2π－(×2π)＝.
4. D　由題意，得在區間[0，2π)內陰影部分的邊界射線對應的角分別為，，所以在陰影部分內對應角的范圍是，所以角α的取值范圍是(k∈Z).
5. C　因為－＝－2π－＝－4π＋，又|－|<，所以θ＝－.
6. A　如圖，由題意可知，“弓”所在圓的弧長l＝×2＋＝，所以∠BOC＝＝，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為BC＝×1.25＝(m).
7. C　如圖，取優弧BC所在圓的圓心D，連接AD，BD，CD，則BD⊥AB，CD⊥AC，AD＝2，BD＝CD＝1，所以∠BAD＝∠CAD＝，所以∠BDC＝，AB＝AC＝＝，所以優弧BC對應的圓心角為，對應的扇形面積為××12＝.又S△ABD＝S△ACD＝××1＝，所以該封閉圖形的面積為＋S△ABD＋S△ACD＝＋.
8. BD　設兩個扇形的圓心角為α，半徑分別為r1，r2，則＝，即r2＝r1，所以兩個扇形弧長之比為＝＝，周長之比為＝＝.故選BD.
9. ACD　對于A，因為＝2π－，所以角－與角的終邊相同，故A正確；對于B，取α＝500°，則α為第二象限角，但＝250°為第三象限角，故B錯誤；對于C，終邊經過點(m，m)(m>0)的角的集合是，故C正確；對于D，設扇形的半徑為r，則r sin 1＝1，即r＝，所以扇形的面積為S＝×2×r2＝，故D正確．故選ACD.
10. β<α<θ　因為β＝×°＝30°，θ＝2×°≈2×57.3°＝114.6°，所以β<α<θ.
11. 15π　由題意知，小輪每秒轉過的圈數為120÷60＝2，則每秒大輪轉過的圈數為＝，所以大輪每秒轉過的弧長為×2π×10＝15π(cm).
12. ，，　由題意，得α＝2kπ＋(k∈Z)，故＝＋(k∈Z)，則在區間[0，2π)內終邊與角的終邊相同的角有，，.
13. (1) 由題意，得α＝120°＝ rad，
所以弧長l＝αR＝×10＝(cm).
(2) 由題意，得
解得(舍去)或
故扇形的圓心角為 rad.
(3) 由題意，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以當R＝5 cm時，S取得最大值25 cm2，
此時l＝10 cm，α＝＝2 rad.
故當α＝2 rad時，這個扇形的面積最大．
14. (1) 設扇形的弧長為l，
則C＝2r＋l＝2×2＋l＝4＋，
所以l＝，
所以扇形的面積為S＝lr＝××2＝(cm2).
(2) 由(1)可知，圓心角α＝＝＝，
則與角α終邊相同的角β的集合為{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
又0<β<3π，
所以β＝＋0×2π＝或β＝＋1×2π＝，
故在區間(0，3π)上與該扇形圓心角α終邊相同的角為和.
15. (1) 設四個內角分別為α，3α，5α，6α，
則α＋3α＋5α＋6α＝2π，解得α＝，
所以四個內角分別為，，，.
(2) 設扇形的圓心角是θ rad.
因為扇形的弧長為rθ，
所以扇形的周長為2r＋rθ.
由題意，得2r＋rθ＝πr，
解得θ＝π－2.

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