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5．2　三角函數的概念
5.2.1　三角函數的概念(1)
一、 單項選擇題
1 (2025濱州期末)已知角θ的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(4，3)，則sin θ－cos θ的值為(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2025懷化期末)如圖，角α的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，它的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的橫坐標為，則cos α的值為(　　)
A. － B.
C. － D.
3 已知函數f(x)＝x，g(x)＝x-1，角θ的終邊經過f(x)與g(x)圖象的交點，則tan θ的值為(　　)
A. 1 B. ±1
C. D. －
4 (2024南京月考)已知角θ的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點M(－3，4)，則cos2θ－sin2θ＋tanθ的值為(　　)
A. － B.
C. － D.
5 (2025鎮江期末)已知單位圓上一點P從點(1，0)出發，逆時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標為(　　)
A. (－，) B. (－，－)
C. (－，) D. (－，－)
6 (2024赤峰期中)已知p：角α的終邊過點P(1，2)，q：sin α＝，則p是q的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
7 (2024雅安月考)若角α的終邊經過點(－，)，則角α的值可以為(　　)
A. B.
C. D.
二、 多項選擇題
8 在平面直角坐標系xOy中，α為第二象限角，它的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，則下列選項中正確的是(　　)
A. cos α＝－
B. cos α＝
C. tan α＝－
D. tan α＝
9 (2024昆明期末)已知角α的終邊上有一點P(x，－1)，且cos α＝，則下列關于tan α的結論中正確的有(　　)
A. 若x≠0，則tan α>sin α
B. 當x＝0時，tan α不存在
C. 若α為第三象限角，則tan α＝
D. 若α為第四象限角，則tan α＝－
三、 填空題
10 如果三角形有一邊上的中線長等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且A＝90°，則tan ∠ABC＝________．
11 (2025天津雙菱中學月考)已知角α的終邊上有一點P(x，)，且cos α＝－，則x＝________．
12 (2024長春月考)點(－sin 60°，cos 60°)關于y軸對稱的點的坐標是________．
四、 解答題
13 (2024邢臺月考)如圖，在平面直角坐標系中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點，點P，Q的縱坐標分別為，.求sin α的值；
14 已知角α終邊上的一點P的坐標為(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
15 如圖，在平面直角坐標系中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于點A(1，0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．
(1) 若點B的橫坐標為－，求sin α的值和與角α終邊相同的角β的集合；
(2) 若α∈，請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形，sin α＝2sin cos ).
5．2.1　三角函數的概念(2)
一、 單項選擇題
1 計算 sin (－1 380°)的值為(　　)
A. － B.
C. － D.
2 (2024長沙月考)已知α是第四象限角，則下列不等式中成立的是(　　)
A. tan αsin α<0
B. sin αcos α<0
C. tan α>0
D. cos α<0
3 點P從點(0，－1)出發，沿著單位圓的邊界順時針運動弧長到達點Q，則點Q的坐標為(　　)
A. (，) B. (，)
C. (－，) D. (－，)
4 計算tan 405°－sin 450°＋cos 750°的值為(　　)
A. B.
C. 2＋ D.
5 (2024衡水月考)“角α，β的終邊在同一條直線上”是“sin (α－β)＝0”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
6 (2024上海奉賢期末)下列命題中，正確的是(　　)
A. 若α∈(0，π)，且x2>x1>0，則<1
B. 若α∈(0，π)，且x1>x2>0，則≥1
C. 若α∈(0，π)，且x2>x1>0，則>1
D. 若α∈(0，π)，且x1>x2>0，則≤1
7 (2024佛山三中月考)若α是第一象限角，則下列結論中一定成立的是(　　)
A. sin >0 B. cos >0
C. tan >0 D. sin cos <0
二、 多項選擇題
8 下列說法中，正確的是(　　)
A. 角θ終邊在第二象限或第四象限的充要條件是sin θ·cos θ<0
B. 圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角等于
C. 經過4h，時針轉了120°
D. 若角α和角β的終邊關于y＝x對稱，則有α＋β＝＋2kπ，k∈Z
9 (2025揚州期末)下列三角函數值中，符號為負的有(　　)
A. sin (－40°) B. sin 100°
C. cos 2 D. tan
三、 填空題
10 (2024上海浦東新區期中)若角α滿足sin α>0，且tan α<0，則α是第________象限角．
11 已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2).若a＝3，則sin α＝________；若cos α≤0，sin α＞0，則實數a的取值范圍是________．
12 已知角α＝2 022°，則＋＋＝________．
四、 解答題
13 求值：
(1) sin 390°＋cos (－660°)＋3tan 405°－cos 540°；
(2) sin cos ＋tan cos .
14 (2024蘇州月考)已知角α的終邊上有一點P(m，－4)，m∈R.
(1) 若m＝2，求sin α，cos α和tan α的值；
(2) 若cos α＝，求m的值，并計算sin (α－6π)＋m·tan .
15 (1) 已知θ是第二象限角，試判斷tan (sin θ)·tan (cos θ)的符號；
(2) 若sin (cos θ)cos (sin θ)<0，求角θ的終邊的位置．
5.2.1　三角函數的概念(1)
1. B　因為終邊過點P(4，3)，所以OP＝5，所以sin θ－cos θ＝－＝－.
2. B　因為角α的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的橫坐標為，所以cos α＝.
3. A　因為冪函數f(x)＝x和g(x)＝x-1圖象的交點為(1，1)，所以角θ的終邊經過交點(1，1)，所以tan θ＝1.
4. A　由已知，得OM＝5，則cos θ＝－，sin θ＝，tan θ＝－，所以cos2θ－sin2θ＋tanθ＝－－＝－.
5. A　由三角函數定義，得點Q，所以點Q的坐標為.
6. A　若角α的終邊經過點P(1，2)，則sin α＝＝，故充分性成立；若sin α＝，設角α的終邊上一點為P(x，y)，則＝＝，不妨設y＝2t>0，則x2＋y2＝5t2，解得或顯然當時，角α的終邊不過點P(1，2)，故必要性不成立．綜上，p是q的充分不必要條件．
7. A　由點(－，)位于第二象限，得α為第二象限角．又tan α＝＝－1，則當<α<π時，有α＝，所以與角α終邊相同的角β的集合為{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．滿足；＝－不滿足；＝＋π不滿足；＝＋不滿足，故選A.
8. AC　設點A的橫坐標為x，則由＝1，解得 x＝±.因為α為第二象限角，所以x＝－，cos α＝－，tan α＝－.故選AC.
9. BC　由題意，得cos α＝＝，解得x＝0或x＝±；當x≠0時，若x＝，則tan α＝－，sin α＝－，此時tan αsin α，故A不正確；當x＝0時，tan α不存在，故B正確；若α為第三象限角，則x＝－，此時tan α＝，故C正確；若α為第四象限角，則x＝，此時tan α＝－，故D不正確．故選BC.
10. 或　在Rt△ABC中，A＝90°，則BC邊上的中線長等于BC邊長的；取AB的中點D，連接CD，不妨設AB邊上的中線長CD＝AB，設AD＝BD＝m，則CD＝2m，所以AC＝＝m，故tan ∠ABC＝＝；若AC邊上的中線長等于邊AC的長，同理可得tan ∠ACB＝＝，則tan ∠ABC＝＝，故tan ∠ABC的值為或.
11. －　因為cos α＝＝－，所以x2＝5，解得x＝±.又因為cos α＝－<0，所以x<0，所以x＝－.
12. 　因為sin 60°＝，cos 60°＝，所以(－sin 60°，cos 60°)＝，其關于y軸對稱的點的坐標是.
13. 因為P為角α的終邊與單位圓的交點，且縱坐標為，
所以sin α＝.
14. 因為OP＝＝5|a|，
所以當a>0時，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－；
當a<0時，sin α＝＝，cos α＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝.
綜上，2sin α＋cos α＝
15. (1) 若點B的橫坐標為－，
則點B的坐標為(－，)，
所以sin α＝，
所以α＝＋2kπ，k∈Z，
即與角α終邊相同的角β的集合為{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
(2) 由題意可得△AOB的高為1×cos ，AB＝2sin ，
則S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α，
所以弓形AB的面積S＝×α×12－sin α＝(α－sin α)，α∈(0，].
5．2.1　三角函數的概念(2)
1. D　sin (－1 380°)＝sin (－1 380°＋1 440°)＝sin 60°＝.
2. B　由題意，得tan α<0，cos α>0，sin α<0，所以tan αsin α>0，sin αcos α<0.
3. D　由題意，以x軸的非負半軸為始邊，以點Q所在的射線OQ為終邊的最小正角為.由任意角的三角函數的定義可得，點Q的坐標為(cos ，sin )，即(－，).
4. A　原式＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos (2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
5. C　由角α，β的終邊在同一條直線上，得α＝β＋kπ，k∈Z，即α－β＝kπ，k∈Z，所以sin (α－β)＝sin kπ＝0，k∈Z，故充分性成立；由sin (α－β)＝0，得α－β＝mπ，m∈Z，當m為偶數時，角α，β的終邊在同一條射線上；當m為奇數時，角α，β的終邊在同一條直線上，故必要性成立．綜上，“角α，β的終邊在同一條直線上”是“sin (α－β)＝0”的充要條件．
6. C　對于A，C，因為x2>x1>0，所以>1.又α∈(0，π)，所以sin α>0，可得()sin α>1，故A錯誤，C正確；對于B，D，因為x1>x2>0，所以0<<1.又α∈(0，π)，當α∈(0，)時，cos α>0，此時()cos α<1，當α＝時，cos α＝0，此時()cos α＝1，當α∈(，π)時，cos α<0，此時()cos α>1，故B，D錯誤．
7. C　因為α在第一象限，所以2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角．當是第一象限角時，sin >0，cos >0，tan >0，sin cos >0；當是第三象限角時，sin <0，cos <0，tan >0，sin cos >0.綜上，tan >0一定成立．
8. ABD　對于A，因為角θ終邊在第二象限或第四象限，所以終邊上的點(x，y)的橫坐標和縱坐標異號，即sin θ·cos θ＝·<0，故必要性成立；因為sin θ·cos θ<0，所以或故或所以角θ終邊在第二象限或第四象限，故充分性成立．綜上，角θ終邊在第二象限或第四象限的充要條件是sin θ·cos θ<0，故A正確；對于B，圓的一條弦長等于半徑，故弦和兩條半徑構成的三角形是等邊三角形，所以弦所對的圓心角為，故B正確；對于C，鐘表上的時針旋轉一周是－360°，其中每小時旋轉－＝－30°，所以經過4 h應旋轉－120°，故C錯誤；對于D，角α和角β的終邊關于直線y＝x對稱，則α＋β＝2＝2kπ＋，k∈Z，故D正確．故選ABD.
9. AC　對于A，－40°角的終邊在第四象限，所以sin (－40°)<0，故A正確；對于B，100°角的終邊在第二象限，所以sin 100°>0，故B錯誤；對于C，2弧度的角的終邊在第二象限，所以cos 2<0，故C正確；對于D，－角的終邊在第三象限，所以tan >0，故D錯誤．故選AC.
10. 二　由sin α>0且tan α<0，得α是第二象限角．
11. 1　(－2，3]　若a＝3，則角α的終邊經過點(0，5)，所以sin α＝1.若cos α≤0，sin α＞0，則角α的終邊在第二象限或y軸非負半軸上．因為角α的終邊過點(3a－9，a＋2)，所以解得－2＜a≤3，即實數a的取值范圍為(－2，3].
12. －1　由題意，得α＝2 022°＝5×360°＋222°，所以α＝2 022°是第三象限角，則sin α<0，cos α<0，tan α>0，故＋＋＝＋＋＝－1－1＋1＝－1.
13. (1) 原式＝sin (360°＋30°)＋cos (－2×360°＋60°)＋3tan (360°＋45°)－cos (360°＋180°)＝sin 30°＋cos 60°＋3tan 45°－cos 180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2) 原式＝sin cos ＋tan (－4π＋)cos ＝sin cos ＋tan cos ＝×＋1×＝.
14. (1) 由題意，得角α的終邊上有一點P(2，－4)，
又點P到原點的距離OP＝＝2，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－2.
(2) 因為已知角α的終邊上有一點P(m，－4)，
所以點P到原點的距離OP＝＝，
所以cos α＝.
又cos α＝，所以＝，解得m＝3，
所以sin α＝＝－，
所以sin (α－6π)＋m·tan ＝sin α＋m tan ＝－＋3＝.
15. (1) 因為θ是第二象限角，
所以0所以tan (sin θ)>0，tan (cos θ)<0，
所以tan (sin θ)tan (cos θ)<0.
(2) 因為－<－1≤sin θ≤1<，所以cos (sin θ)>0.
又sin (cos θ)cos (sin θ)<0，所以sin (cos θ)<0.
因為－<－1≤cos θ≤1<，所以cos θ<0，
所以θ的終邊在第二、三象限或在x軸的負半軸上．

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