資源簡(jiǎn)介

5．2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2025許昌期末)已知角α滿足＝，則tan α的值為(　　)
A. 2 B. －2 C. D. －
2 化簡(jiǎn)的結(jié)果為(　　)
A．sin 220° B. cos 220°
C. －cos 220° D. －sin 220°
3 已知θ為第四象限角，且tan θ＝－，則sin θ＋cos θ的值為(　　)
A. － B.
C. － D.
4 (2025武漢期末)“cos x＝0”是“sin x＝1”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
5 (2024德化二中月考)已知sin α＋cos α＝，0<α<π，則sin α－cos α的值為(　　)
A. － B.
C. － D.
6 (2025甘肅期末)已知tan α＝5，則的值為(　　)
A. B. 1 C. D.
7 若θ為第三象限角，且tan θ＝2，則－的值是(　　)
A. 4 B. －4
C. D. －
二、 多項(xiàng)選擇題
8 (2024南陽(yáng)期中)＋＋的值可能為(　　)
A．－3 B. －1
C. 1 D. 3
9 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(sin 120°，tan 120°)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. cos α＝
B. sin α＝
C. tan α＝－2
D. sin α＋cos α＝－
三、 填空題
10 已知角A為△ABC的內(nèi)角，cos A＝－，則sin A＝________．
11 已知sin α＝，則sin4α－cos4α＝________．
12 (2025臨沂期末)已知θ∈，則的最大值為_(kāi)_______．
四、解答題
13 (2024南昌期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(3，－4)在角α的終邊上．
(1) 求tan α的值：
(2) 求的值．
14 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
15 (2024達(dá)州期末)
(1) 已知α是第一象限角，sin α＝，求cos α，tan α的值；
(2) 已知tan α＝，求2sin αcos α－sin2α的值．
5．2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)
一、單項(xiàng)選擇題
1 已知＝，則的值為(　　)
A. B. －
C. D. －
2 (2024如東一中、宿遷一中、徐州中學(xué)聯(lián)考)化簡(jiǎn)的結(jié)果是(　　)
A. sin 44°＋cos 44° B. sin 44°－cos 44°
C. cos 44°－sin 44° D. －cos 44°－sin 44°
3 設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，則甲是乙的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
4 (2025廣東期末)已知tan θ＝4，則sin2θ－3sinθcos θ的值為(　　)
A. B. C. D.
5 (2024三明永沙田一中三校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作，在《方田》章節(jié)中給出了“弦”和“矢”的定義，“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．如圖，記圓心角∠AOB＝2α，若“弦”為2，“矢”為1，則＋tan α等于(　　)
A. 1 B. C. D.
6 如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，已知以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積之比為，記∠ABC＝θ，則的值為(　　)
A. －1 B. －2 C. 0 D. 1
7 (2024重慶楊家坪中學(xué)月考)已知sin θ與cos θ是方程4x2－(2＋2)x＋＝0的兩個(gè)根(θ∈(0，2π))，則θ的值為(　　)
A. B.
C. 或 D. 或
二、 多項(xiàng)選擇題
8 (2025廣州期末)已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝m，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A. 若m＝1，則cos α＝0
B. 若m＝，則cos α＝－
C. 若m＝，則sin α－cos α＝
D. m∈(－，)
9 若＋＝－成立，則角α一定不是(　　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
三、 填空題
10 若cos α＋2sin α＝cos α，則tan α的值為_(kāi)_______．
11 (2025天津期末)已知α∈，且sin α－3cos α＝，則cos α＝________．
12 已知函數(shù)f(tan x)＝2cos2x＋3cosx sin x－3sin2x，則f(2)＝________，f(x)＝________．
四、解答題
13 (2024南通期末)已知x∈.
(1) 化簡(jiǎn)：cos x；
(2)若sin x＋cos x＝，求－tan x的值．
14 (2025佛山期末)已知3sin2θ－5sinθcos θ－2cos2θ＝0.
(1)求tan θ；
(2) 若θ是第一象限角，求＋的值．
15 化簡(jiǎn)：.
5．2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)
1. C　由題意，得＝＝，解得tan α＝.
2. D　＝|sin220°|.因?yàn)?20°為第三象限角，所以sin 220°<0，所以＝－sin220°.　
3. B　由題可知sin θ<0，cos θ>0，tan θ＝＝－，則sin θ＝－cos θ.又因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1，所以cosθ＝，所以sin θ＋cos θ＝cos θ＝.
4. B　由sin x＝1，得cos x＝0；反之，若cos x＝0，則sin x＝1或sin x＝－1，所以“cos x＝0”是“sin x＝1”的必要不充分條件．
5. B　因?yàn)閟in α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，所以2sinαcos α＝－.因?yàn)?<α<π，所以cos α<00.因?yàn)?sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋＝，所以sinα－cos α＝.
6. B　由題意，得＝＝1.
7. B　由題意，得－＝－＝－.又θ為第三象限角，所以cosθ<0，1＋sin θ>0，1－sin θ>0，可得－＝－＋＝－2tan θ＝－4.
8. BD　因?yàn)椋剑詘≠kπ且x≠kπ＋(k∈Z).若x為第一象限角，則sin x>0，tan x>0，cos x>0，所以原式＝1＋1＋1＝3；若x為第二象限角，則sin x>0，tan x<0，cos x<0，所以原式＝－1＋1－1＝－1；若x為第三象限角，則sin x<0，tan x>0，cos x<0，所以原式＝1－1－1＝－1；若x為第四象限角，則sin x<0，tan x<0，cos x>0，原式＝－1－1＋1＝－1.故選BD.
9. ACD　由題意，得點(diǎn)P，所以cos α＝＝，sin α＝＝－，tan α＝＝－2，sin α＋cos α＝－.故選ACD.
10. 　因?yàn)榻茿為△ABC的內(nèi)角，所以A∈(0，π).因?yàn)閏os A＝－，所以sin A＝＝.
11. －　因?yàn)閟in α＝，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
12. 　＝，令t＝tanθ∈(0，＋∞)，則原式＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝16，即t＝4時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.
13. (1) 因?yàn)辄c(diǎn)P(3，－4)在角α的終邊上，
所以tan α＝＝－.
(2) ＝＝＝＝.
14. 因?yàn)閏os α＝－<0，且cos α≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
①當(dāng)α是第二象限角時(shí)，
sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－；
②當(dāng)α是第三象限角時(shí)，
sin α＝－＝－，tanα＝.
15. (1) 因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵瑂in α＝，
所以cos α＝＝，tanα＝＝＝.
(2) 因?yàn)閠an α＝，
所以2sin αcos α－sin2α＝＝＝＝.
5．2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)
1. A　由＝，得cos x≠0，所以sin x≠±1，則＝＝＝＝.
2. C　由0°<44°<45°，得sin 44°3. B　當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時(shí)，例如α＝，β＝0，但sinα＋cos β≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0，故充分性不成立；當(dāng)sin α＋cos β＝0時(shí)，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1，故必要性成立．綜上，甲是乙的必要不充分條件．
4. B　因?yàn)閠an θ＝4，所以sin2θ－3sinθcos θ＝＝＝＝.
5. D　設(shè)半徑長(zhǎng)OB＝r>0，則cos α＝，sin α＝.又cos2α＋sin2α＝2＋2＝1，解得r＝2，所以cosα＝，sin α＝，所以tan α＝＝，所以＋tan α＝＋＝.
6. A　以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積分別為×π×＝，×π×＝，由面積之比為，得＝，即＝.在Rt△ABC中，tan θ＝tan ∠ABC＝＝，則＝＝＝－1.
7. C　由題意，得sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1－，所以sin θ－cos θ＝±.當(dāng)sin θ－cos θ＝－時(shí)，與方程sin θ＋cos θ＝聯(lián)立，解得又θ∈(0，2π)，所以θ＝；當(dāng)sin θ－cos θ＝－時(shí)，與方程sin θ＋cos θ＝聯(lián)立，解得又θ∈(0，2π)，所以θ＝.
8. ABC　對(duì)于sin α＋cos α＝m，兩邊平方并整理，得sin αcos α＝，又α∈(0，π)，所以sin α>0.對(duì)于A，若m＝1，則sin αcos α＝0，所以cos α＝0，故A正確；對(duì)于B，若m＝，則sin α＋cos α＝，sin αcos α＝－，所以sin α，cos α為方程x2－x－＝0的根．又因?yàn)閤2－x－＝0的根為，－，所以sin α＝，cos α＝－，故B正確；對(duì)于C，若m＝，則sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，且sin α>0，cos α<0，可知sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝，故C正確；對(duì)于D，例如α＝，則m＝sin α＋cos α＝，故D錯(cuò)誤.故選ABC.
9. AD　左邊＝＋
＝＋＝＋＝＋＝＝，右邊＝－，所以cos α＜0，故角α可以是第二、第三象限角，但一定不是第一、第四象限角．故選AD.
10. 　由已知得當(dāng)cos α＝0時(shí)，sin α＝0，與cos2α＋sin2α＝1矛盾，故cosα≠0，從而原等式化簡(jiǎn)為1＋2tan α＝，故tan α＝.
11. －　由sin α－3cos α＝，得sin α＝3cos α＋，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1，可得(3cosα＋)2＋cos2α＝1，化簡(jiǎn)，得5cos2α＋3cosα＋2＝0，解得或(舍去).
12. －　　令tan x＝2，則2cos2x＋3cosx sin x－3sin2x＝＝＝＝－，所以f(2)＝－，f(x)＝.
13. (1) 原式＝cos x
＝cosx·
＝cosx，
因?yàn)閤∈(，π)，所以cosx<0，
所以原式＝cos x·(－)＝－1.
(2) 因?yàn)閟in x＋cos x＝，所以(sin x＋cos x)2＝，
即1＋2sin x cos x＝，所以sin x cos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.
因?yàn)閤∈(，π)，所以sin x>0，cos x<0，
所以sin x－cos x>0，可得sin x－cos x＝，
所以－tan x＝－
＝
＝＝.
14. (1) 因?yàn)?sin2θ－5sinθcos θ－2cos2θ＝＝＝0，
所以3tan2θ－5tanθ－2＝(3tan θ＋1)(tan θ－2)＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝2.
(2) ＋＝＋＝＋＝＋，
因?yàn)棣仁堑谝幌笙藿牵詓in θ>0，tan θ>0.
由(1)知，tan θ＝2，由?＝2，
sin2θ＋cos2θ＝1，?得sin θ＝，
所以＋＝＋＝＝＝.
15. 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.

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