資源簡(jiǎn)介

5．3　誘導(dǎo) 公 式
5.3.1　誘導(dǎo)公式(1)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2025鎮(zhèn)江期末)cos 2 025°等于(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2024濟(jì)寧月考)sin 等于(　　)
A. － B.
C. － D.
3 (2024太原月考)下列三角函數(shù)值中，符號(hào)為負(fù)的是(　　)
A. sin 150° B. sin
C. cos (－200°) D. tan
4 cos (－300°)·sin 的值為(　　)
A. B. －
C. － D.
5 (2024忻州月考)設(shè)a＝cos 225°，b＝sin 120°，c＝－sin 750°，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A. a>b>c B. b>c>a
C. a>c>b D. c>a>b
6 (2024海南期末)若角α，β的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，則“角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱”是“sin α＝sin β”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
7 已知扇形OAB的面積為2，弧長(zhǎng)AB＝4，則弦AB等于(　　)
A. 2sin 1 B. 2sin 2
C. 2 D. 4
二、 多項(xiàng)選擇題
8 (2024無(wú)錫學(xué)情調(diào)研)下列說(shuō)法中，正確的有(　　)
A. θ為第三象限角的充要條件為sin θtan θ<0
B. 若θ為第二象限角，則為第一或第三象限角
C. sin (π＋α)＝sin α
D. sin (－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)sin (－261°)＝0
9 已知A＝＋(k∈Z)，則A的值是(　　)
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
三、 填空題
10 已知tan ＝，則tan ＝________．
11 (2025廣東期末)已知cos (75°＋α)＝，α是第三象限角，則sin (α－105°)＝________．
12 代數(shù)式的化簡(jiǎn)結(jié)果是________．
四、 解答題
13 (2024北京順義期末)已知cos α＝－，且角α的范圍是________．
從①(0，)；②(，π)；③(π，)；④(，2π)這四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問(wèn)題：
(1) 求sin α，tan α的值；
(2) 化簡(jiǎn)求值：.
14 (2024上海月考)化簡(jiǎn)：
(1) sin (－α－5π)sin (－α)－cos (2 024π＋α)·cos (α－2π)；
(2) (n∈Z).
15 證明：＝.
5．3.2　誘導(dǎo)公式(2)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 設(shè)cos 70°＝a，則cos 340°的值是(　　)
A. －a B. a
C. － D.
2 已知角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(sin ，cos )，則cos 的值為(　　)
A. － B. C. D. －
3 (2025泉州期末)已知α∈，sin ＝，則tan 的值為(　　)
A. － B. － C. D.
4 (2025寧波期末)設(shè)A，B，C分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. cos (A＋B)＝cos C
B. cos ＝cos
C. sin (A＋B)＝sin C
D. sin ＝sin
5 已知cos ＝，則sin cos (－α)的值為(　　)
A. － B.
C. － D.
6 (2025菏澤期末)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12).若將角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β，則cos β的值為(　　)
A. B. C. － D. －
7 (2024荊州月考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，記直角三角形中較大的銳角為α，且滿足＝，則tan α的值為(　　)
A. B. C. D.
二、 多項(xiàng)選擇題
8 已知sin ＝－，且A. sin ＝－
B. cos ＝－
C. tan ＝
D. cos ＝
9 (2024哈爾濱期末)已知sin (π＋α)＝－，則下列等式中正確的是(　　)
A. sin (5π－α)＝ B. sin ＝
C. cos ＝－ D. tan ＝
三、 填空題
10 已知α為第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，則cos α＝________．
11 (2024山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若tan α＝2，則的值為_(kāi)_______．
12 (2024徐州銅山區(qū)棠張中學(xué)月考)已知cos (75°＋α)＝，α是第三象限角，則sin (195°－α)＋cos (105°－α)＝________．
四、 解答題
13 (2024淮安月考)已知sin (π－α)＝－，求sin ，tan 的值．
14 (2024荊州期末)已知f(α)＝.
(1) 化簡(jiǎn)f(α)；
(2) 若α是第三象限角，且f＝－，求tan α的值．
15 (2025桓臺(tái)一中階段性診斷)已知f(α)＝＋cos (2π－α).
(1) 化簡(jiǎn)f(α)；
(2) 若f(α)＝ ，求 ＋的值．
5．3.3　誘導(dǎo)公式(3)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2025牡丹江期末)已知sin ＝，且α∈，則cos 的值為(　　)
A. － B. －
C. D.
2 計(jì)算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值為(　　)
A．89 B. 90
C. D. 45
3 (2025成都十二中月考)化簡(jiǎn)的結(jié)果是(　　)
A. sin 2＋cos 2 B. sin 2－cos 2
C. cos 2－sin 2 D. －sin 2－cos 2
4 若sin x＋sin ＝，則tan x＋的值為(　　)
A. －2 B. 2
C. － D.
5 已知cos (－x)＋sin (π－x)＝，則sin x·sin 的值為(　　)
A. B. －
C. D. －
6 (2025無(wú)錫期末)已知tan α＝2，則的值為(　　)
A. －4 B. 0 C. D. 4
7 (2025昆明月考)十七世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里面有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，一個(gè)是黃金分割，如果把勾股定理比作金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石．”黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值稱為黃金分割比．黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).由此我們可得sin 162°的值為(　　)
A. B. C. D.
二、 多項(xiàng)選擇題
8 (2024蘇州吳江中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))若cos ·sin >0，則角α的終邊可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
9 已知函數(shù)f(x)＝cos ，則下列等式恒成立的是(　　)
A. f(－x)＝f(x)
B. f(－x)＝－f(x)
C. f(2kπ＋x)＝f(x)(k∈Z)
D. f(2kπ－x)＝(－1)k f(x)(k∈Z)
三、 填空題
10 (2025淮南二中月考)若P(－4，3)是角α終邊上的一點(diǎn)，則的值為_(kāi)_______．
11 已知函數(shù)f(x)＝x3＋＋1，若f＝，則f＝________．
12 已知cos (－α)＝，則cos ＋cos2(＋α)＝________．
四、解答題
13 (2025湘潭期末)已知＝2，求：
(1) tan (3π－α)的值；
(2) sin2α－sinαcos α的值．
14 (2024長(zhǎng)春期末)已知f(α)＝.
(1) 化簡(jiǎn)f(α)；
(2) 若θ是第三象限角，且f＝，求f的值．
15 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，2)，sin α＝，且α為第二象限角．
(1) 求實(shí)數(shù)m和tan α的值；
(2) 若tan β＝，求的值．
5．3　誘導(dǎo) 公 式
5.3.1　誘導(dǎo)公式(1)
1. A　cos 2 025°＝cos (45°＋5×360°＋180°)＝cos (45°＋180°)＝－cos 45°＝－.
2. D　sin ＝sin ＝sin ＝.
3. C　因?yàn)?50°角是第二象限角，所以sin 150°>0，故A不符合題意；因?yàn)椋堑慕K邊在y軸正半軸上，所以sin ＝1>0，故B不符合題意；因?yàn)椋?00°角是第二象限角，所以cos (－200°)<0，故C符合題意；因?yàn)椋?π＋，所以角的終邊在第一象限，所以tan >0，故D不符合題意．
4. A　cos (－300°)＝cos 60°＝，sin ＝sin (2π＋)＝sin ＝sin ＝，故cos (－300°)·sin ＝×＝.
5. B　由題意，得a＝cos 225°＝－cos 45°＝－，b＝sin 120°＝cos 30°＝，c＝－sin 750°＝－sin 30°＝－，所以b>c>a.
6. A　若角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則β＝π－α＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin (π－α＋2kπ)＝sin α；反過(guò)來(lái)，若sin α＝sin β，則β＝π－α＋2kπ或β＝α＋2kπ，即角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱或重合，所以“角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱”是“sin α＝sin β”的充分不必要條件．
7. B　設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為θ.由扇形OAB的面積為2，弧長(zhǎng)AB＝4，得×4×r＝2，解得r＝1，則θ＝＝4>π.如圖，設(shè)C是AB的中點(diǎn)，所以圓O的周長(zhǎng)為2πr＝2π，劣弧AB＝2π－4，所以∠AOB＝2π－4，∠AOC＝π－2，AB＝2AC＝2sin (π－2)＝2sin 2.
8. BD　對(duì)于A，當(dāng)θ為第三象限角時(shí)，sin θ<0，tan θ>0，所以sin θtan θ<0，反之，當(dāng)sin θtan θ<0時(shí)，則sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0.當(dāng)sin θ<0，tan θ>0時(shí)，θ為第三象限角；當(dāng)sin θ>0，tan θ<0時(shí)，θ為第二象限角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若θ為第二象限角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，則＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以為第一或第三象限角，故B正確；對(duì)于C，sin (π＋α)＝－sin α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，sin (－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)sin (－261°)＝－sin 1 071°sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin (1 080°－9°)·sin (180°－81°)＋sin (180°－9°)sin (180°＋81°)＝sin 9°sin 81°－sin 9°sin 81°＝0，故D正確．故選BD.
9. BD　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，A＝＋＝＋＝2；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，A＝＋＝＋＝＋＝－2.故選BD.
10. －　tan ＝tan ＝tan [π－(－α)]＝－tan ＝－.
11. 　因?yàn)閏os (75°＋α)＝，所以cos (α－105°)＝cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)＝－.又α是第三象限角，即180°＋360°k≤α≤270°＋360°k，k∈Z，所以75°＋360°k≤α－105°≤165°＋360°k，k∈Z，由cos (α－105°)＝－<0，得90°＋360°k≤α－105°≤165°＋360°k，k∈Z，所以sin (α－105°)＝＝.
12. －1　＝＝＝＝－1.
13. (1) 因?yàn)閏os α＝－<0，所以α為第二或第三象限角，則①④不能選擇．
若選②：因?yàn)棣痢?，π)，cos α＝－，
所以sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
若選③：因?yàn)棣痢?π，)，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－＝－，
tanα＝＝＝.
(2) ＝＝－，
若選②：＝－＝－.
若選③：＝－＝.
14. (1) 原式＝sin (－α－π)(－sin α)－cos αcos [－(2π－α)]
＝sin [－(α＋π)](－sin α)－cos αcos (2π－α)
＝sin α(－sin α)－cos αcos α
＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.
(2)當(dāng)n＝2k，k∈Z時(shí)，
原式＝＝；
當(dāng)n＝2k＋1，k∈Z時(shí)，
原式＝＝－.
綜上，原式＝
15. 左邊＝
＝＝
＝＝＝右邊，故原等式成立．
5．3.2　誘導(dǎo)公式(2)
1. D　因?yàn)閏os 70°＝a，所以cos 340°＝cos (270°＋70°)＝sin 70°＝.
2. D　由題意可得sin θ＝＝cos＝－cos ＝－，所以cos ＝cos ＝sin θ＝－.
3. D　由α∈，得α－∈，所以cos (α－)＝－＝－，所以sin ＝sin [(α－)＋]＝cos ＝－，cos ＝cos [(α－)＋]＝－sin ＝－，所以tan ＝＝.
4. C　對(duì)于A，cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，cos ＝cos ＝cos ＝sin ，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故C正確；對(duì)于D，sin ＝sin ＝sin (－)＝cos ，故D錯(cuò)誤．
5. A　因?yàn)閟in (＋α)＝sin [π－(－α)]＝sin (－α)，cos (－α)＝cos [＋(－α)]＝－sin (－α)，所以sin (＋α)cos (－α)＝－sin2(－α)＝cos2(－α)－1＝－1＝－，即sin(＋α)cos (－α)＝－.
6. A　將角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β，則β＝α＋，所以cos β＝cos ＝－sin α.因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，點(diǎn)P(5，－12)到原點(diǎn)的距離r＝＝13，所以sin α＝－，所以cos β＝.
7. A　由題意，得＝＝＝，所以－8tan α＋8＝－2tan α，解得tan α＝.
8. BCD　由9. AC　由sin (π＋α)＝－sin α＝－，得sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以sin(5π－α)＝sin α＝，故A正確；sin ＝cos α＝±，故B錯(cuò)誤；cos ＝－sin α＝－，故C正確；tan ＝＝＝±，故D錯(cuò)誤．故選AC.
10. －　因?yàn)閏os －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，所以sin α＝.因?yàn)棣翞榈诙笙藿牵詂os α＝－＝－.
11. －3　由tan α＝2，得＝＝－＝－＝－3.
12. －　因?yàn)閏os (75°＋α)＝，所以sin (195°－α)＋cos (105°－α)＝sin [270°－(75°＋α)]＋cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－2×＝－.
13. 因?yàn)閟in (π－α)＝sin α＝－，
所以cos α＝±＝±＝±.
當(dāng)cosα＝時(shí)，sin ＝－cos α＝－，
tan α＝＝－，所以tan ＝－＝2；
當(dāng)cos α＝－時(shí)，sin ＝－cos α＝，
tan α＝＝，所以tan ＝－＝－2.
綜上，sin ＝－，tan ＝2或sin (－α)＝，tan ＝－2.
14. (1) f(α)＝＝＝cos α.
(2) 由(1)可得f(－α)＝sin α＝－，
若α是第三象限角，
則cos α＝－＝－，
所以tanα＝＝.
15. (1) f(α)＝＋cos (2π－α)
＝＋cos α＝sin α＋cos α，
所以f(α)＝sin α＋cos α.
(2) 因?yàn)閒(α)＝，
所以sin α＋cos α＝，
兩邊平方，得(sin α＋cos α)2＝，
所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，
所以＋＝＝＝－.
5．3.3　誘導(dǎo)公式(3)
1. D　cos ＝cos ＝sin (＋α)＝.
2. C　原式＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋sin2(90°－44°)＋…＋sin2(90°－3°)＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋(sin23°＋cos23°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝44＋＝.
3. A　因?yàn)?2<，所以sin 2>－cos 2>0，所以sin 2＋cos 2>0，所以＝＝＝|sin2＋cos 2|＝sin 2＋cos 2.
4. A　由sin x＋sin ＝，得sin x－cos x＝，所以1－2sin x cos x＝2，所以sin x cos x＝－，所以tan x＋＝tan x＋＝＋＝＝＝－2.
5. D　由cos (－x)＋sin (π－x)＝，得cos x＋sin x＝，兩邊平方得1＋2sin x cos x＝，解得sin x cos x＝－，所以sin x·sin (＋x)＝sin x cos x＝－.
6. A　因?yàn)閠an α＝2，所以＝＝＝＝＝－4.
7. A　如圖，在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，則∠BAD＝18°，＝，所以sin ∠BAD＝＝＝×＝＝sin 18°，所以sin 162°＝sin (180°－18°)＝sin 18°＝.
8. AC　因?yàn)閏os ·sin >0，所以sin α·cos α>0，所以角α的終邊可能在第一象限或第三象限．故選AC.
9. AD　因?yàn)閒(－x)＝cos ＝cos ＝f(x)，故A正確，B錯(cuò)誤；f(2kπ＋x)＝cos ＝cos ，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，cos ＝－cos ，故C錯(cuò)誤；f(2kπ－x)＝cos ＝cos ，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，cos (kπ－)＝－cos ；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，cos ＝cos ，所以f(2kπ－x)＝(－1)k f(x)(k∈Z)，故D正確. 故選AD.
10. －　由題意，得點(diǎn)P(－4，3)到原點(diǎn)的距離是＝5，所以sin α＝，所以＝＝＝－＝－.
11. 　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋＋1，所以f(－x)＋f(x)＝(－x)3＋x3＋＋＋2＝＋2＝1.又因?yàn)閏os ＝cos ＝cos (＋－α)＝－sin (－α)，所以f＋f(cos (α－))＝f＋f＝1, 則f(cos (α－))＝1－f＝1－＝.
12. 　 因?yàn)閏os ＝，所以cos ＋cos2＝cos[π－(－α)]＋cos2＝－cos＋cos2[－(－α)]＝－＋sin2(－α)＝－＋1－cos2＝－＋＝.
13. 由＝＝＝＝2，得tan α＝.
(1) tan (3π－α)＝－tan α＝－.
(2) sin2α－sinαcos α＝＝＝＝－.
14. (1) f(α)＝＝－cos α.
(2) 因?yàn)閒(α)＝－cos α，f(θ＋)＝，
所以cos (θ＋)＝－.
又因?yàn)棣仁堑谌笙藿牵驭龋珵榈谌笙藿牵?br/>所以sin (θ＋)＝－＝－，
故f(θ－)＝－cos(θ－)＝－cos (－θ)＝－cos [－(θ＋)]＝－sin (θ＋)＝.
15. (1) 由三角函數(shù)定義可知sin α＝＝，
解得m＝±1.
因?yàn)棣翞榈诙笙藿牵詍＝－1，
所以tan α＝＝＝－2.
(2) 由(1)知，tan α＝－2，
所以原式＝－
＝－＝－＝.

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