資源簡介

5．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(1)
一、 單項選擇題
1 (2025白城期末)y＝2sin 的最小正周期為(　　)
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
2 已知f(x)＝sin (πx－π)－1，則下列命題中正確的是(　　)
A. f(x)是周期為1的奇函數
B. f(x)是周期為2的偶函數
C. f(x)是周期為1的非奇非偶函數
D. f(x)是周期為2的非奇非偶函數
3 已知函數f(x)是周期函數，最小正周期為2，當x∈[－1，1]時，f(x)＝.若x∈[－100，110]，則滿足f(x)≥1的所有x取值的和為(　　)
A. 325 B. 425 C. 525 D. 625
4 函數y＝cos (sin x)的最小正周期是(　　)
A. B. π C. 2π D. 4π
5 (2024淮北期中)函數f(x)＝的大致圖象為(　　)
A B C D
6 已知f(x)是周期為2π的偶函數，且當0≤x≤π時，f(x)＝sin x，則f的值為(　　)
A. 1 B. 0
C. －1 D.
7 (2024菏澤單縣一中月考)設函數f(x)＝sin 2x＋sin x，則f(x)為(　　)
A. 周期函數，最小正周期為
B. 周期函數，最小正周期為π
C. 周期函數，最小正周期為2π
D. 非周期函數
二、 多項選擇題
8 健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120～140mmHg和60～90mmHg.心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數120/80mmHg為標準值. 記某人的血壓滿足函數式p(t)＝a＋b sin ωt，其中p(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時間(單位：min)，其函數圖象如圖所示，則下列說法中正確的是(　　)
A. ω＝80π
B. 收縮壓為120mmHg
C. 舒張壓為70mmHg
D. 每分鐘心跳80次
9 下列函數中，最小正周期為π的偶函數是(　　)
A. y＝sin ＋1
B. y＝|cos |
C. y＝sin |x|
D. y＝cos
三、 填空題
10 (2024云南期末)若函數f(x)＝3cos (ax－)的最小正周期為π，則常數a的值為________．
11 函數f(x)＝2cos －1的最小正周期不大于2，若k為正整數，則k的最小值為________．
12 寫出一個最小正周期為1的奇函數f(x)＝________．
四、 解答題
13 (2024上海月考)求下列函數的最小正周期：
(1) y＝cos ；
(2) y＝2cos .
14 電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)變化的函數解析式是I＝A sin ωt，t∈[0，＋∞)，其中ω＝10π rad/s，A＝5.
(1) 求電流I變化的周期；
(2) 當t＝0，，，，時，求電流I.
15 已知函數y＝f(x)是定義在R上周期為4的奇函數．
(1) 求f(4)的值；
(2) 若當－25．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(2)
一、 單項選擇題
1 (2024寧德期末)設a＝50.2，b＝sin 2，c＝log50.2，則a，b，c的大小關系為(　　)
A. a>b>c B. b>a>c
C. b>c>a D. c>a>b
2 (2024懷化期中)下列函數中，在區間上單調遞增，周期為π且是奇函數的是(　　)
A. y＝cos B. y＝sin 2x
C. y＝tan x D. y＝sin
3 (2024常州西夏墅高級中學學情調研)在△ABC中，“C>”是“sin C>”的(　　)
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
4 已知函數f(x)＝sin (3x＋φ)(0<φ<2π)在區間上單調遞增，則φ的值為(　　)
A. B. C. D. π
5 若函數y＝cos 2x與函數y＝sin (x＋φ)在區間上的單調性相同，則φ的一個值是(　　)
A. B. C. D.
6 已知ω>0，函數f(x)＝sin 在區間上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D. (0，2]
7 (2025天津期末)已知點P(，1)在銳角φ的終邊上，若函數f(x)＝sin (ωx－φ)(ω>0)在區間上存在最值，且在區間上單調，則ω的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
二、 多項選擇題
8 下列不等式中，成立的是(　　)
A. sin ＜sin
B. sin ＜sin
C. cos ＜cos
D. cos (－1 220°)＜cos 217°
9 (2024大理期末)設函數f(x)＝2sin ，則下列說法中正確的是(　　)
A. f(x)的最小正周期為π
B. f(x)的圖象關于直線x＝對稱
C. f(x)的一個零點為x＝－
D. f(x)的最大值為1
三、 填空題
10 已知函數y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的圖象關于直線x＝對稱，則φ的值為________．
11 函數f(x)＝2cos x－1，x∈的值域是________．
12 函數f(x)＝3sin (2x－)的減區間是________．
四、 解答題
13 已知f(x)＝cos2x＋a sinx＋1.
(1) 若a＝，求f(x)在區間[，]上的值域；
(2) 若a＝，求f(x)的最大值．
14 (2025山東實驗中學月考)已知f(x)＝sin .求：
(1) 函數f(x)的最小正周期：
(2) 函數f(x)在區間上的單調區間．
15 定義在R上的函數f(x)既是偶函數又是周期函數，若f(x)的最小正周期是π，且當x∈時，f(x)＝sin x.
(1) 當x∈[－π，0]時，求函數f(x)的解析式；
(2) 畫出函數f(x)在區間[－π，π]上的函數簡圖；
(3) 當f(x)≥時，求x的取值范圍．
5．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(3)
一、 單項選擇題
1 (2024上海期中)函數f(x)＝2cos 是(　　)
A. 最小正周期為2π的奇函數
B. 最小正周期為2π的偶函數
C. 最小正周期為π的奇函數
D. 最小正周期為π的偶函數
2 (2024阜陽期中)函數f(x)＝的定義域為(　　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
3 (2024淮南二中月考)設函數f(x)＝cos (x＋)，則下列說法中錯誤的是(　　)
A. f(x)的一個周期為－2π
B. f(x)在區間上單調遞減
C. f(x＋π)的一個零點為x＝
D. y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱
4 (2024深圳期末)若函數f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)在區間(0，)上有最小值，沒有最大值，則ω的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
5 已知ω>0，在函數y＝sin ωx與y＝cos ωx圖象的交點中，距離最短的兩個交點間的距離為，則ω的值為(　　)
A. 1 B. 2
C. π D. 2π
6 已知f(x)是定義在區間[－1，1]上的奇函數，且f(－1)＝－1，當a，b∈[－1，1]且a＋b≠0時，>0，已知θ∈，若f(x)<4＋3sin θ－2cos2θ對任意x∈[－1，1]恒成立，則θ的取值范圍是(　　)
A． B.
C. D.
7 (2025德州開學考試)函數f(x)＝sin (2ωx－)(ω>0)在區間上單調遞增，且在區間[0，π]上恰有三個零點，則ω的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
二、 多項選擇題
8 下列函數中，周期為π，且在區間上單調遞增的是(　　)
A. y＝sin
B. y＝cos
C. y＝|sin x|
D. y＝|cos x|
9 (2025廣州期末)設函數f(x)＝cos ，則下列說法中正確的是(　　)
A. 函數f(x)的值域為R
B. y＝f(x)的圖象關于直線x＝－對稱
C. 函數f(x)的一個零點為x＝
D. 函數f(x)在區間上單調遞減
三、 填空題
10 (2024上海徐匯期中)函數y＝＋lg 的定義域為________．
11 (2024吳忠期末)函數f(x)＝－2cos2x－3cosx＋1的最小值為________．
12 y＝cos x的定義域是____________，增區間是________________．
四、 解答題
13 已知函數f(x)＝2a sin ＋b的定義域為，函數的最大值為1，最小值為－5，求a，b的值．
14 (2025石家莊期末)已知函數f(x)＝sin (x－)＋1，x∈R.
(1) 求函數f(x)的單調增區間；
(2) 當x∈時，求函數f(x)的值域．
15 (2024廣州期末)設函數f(x)＝sin2x＋cosx＋a.
(1) 若1≤f(x)≤對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；
(2) 若關于x的方程f(x)＝0在區間[－，]上有實數解，求實數a的取值范圍．
5．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(1)
1. D　函數的最小正周期T＝＝4π.
2. D　因為f(x)＝sin (πx－π)－1，所以最小正周期為T＝＝2.f(x)＝sin (πx－π)－1＝－sin (π－πx)－1＝－sin πx－1，為非奇非偶函數，故選D.
3. C　因為x∈[－1，1]時，f(x)＝，所以若f(x)≥1，則≥1.又因為≤1，所以＝1，解得x＝±1.因為函數f(x)的最小正周期為2，所以當x∈[－100，110]時，滿足f(x)≥1的所有x的取值為－99，－97，…，97，99，101，…，109，所以所有x取值的和為101＋103＋…＋109＝525.
4. B　因為cos [sin (x＋π)]＝cos (－sin x)＝cos (sin x)，cos ＝cos (cos x)≠cos (sin x)，所以T＝π.
5. C　由f(x)＝可知cos x≠0，即x≠＋kπ，k∈Z，顯然該函數定義域關于原點對稱．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數，排除B，D；又f＝＝1>0，排除A，故C正確．
6. A　f＝f＝f＝sin ＝1.
7. C　f＝sin [2]＋sin ＝cos 2x＋sin ≠f(x)，故A錯誤；f(x＋π)＝sin [2(x＋π)]＋sin (x＋π)＝sin 2x－sin x≠f(x)，故B錯誤；f(x＋2π)＝sin [2(x＋2π)]＋sin (x＋2π)＝sin 2x＋sin x＝f(x)，故C正確；D錯誤．
8. BCD　對于A，由題可得T＝＝，所以ω＝160π，故A錯誤；對于B，由題可得收縮壓為函數p(t)＝a＋b sin ωt的最大值，即為120 mmHg，故B正確；對于C，由題可得舒張壓為函數p(t)＝a＋b sin ωt的最小值，即為70 mmHg，故C正確；對于D，由題可得T＝，即為每分鐘心跳80次，故D正確．故選BCD.
9. AB　由y＝sin ＋1＝cos 2x＋1，得該函數為偶函數，且最小正周期為T＝＝π，故A正確；y＝|cos (x＋)|＝|－sin x|＝|sin x|，因為|sin (－x)|＝|－sin x|＝|sin x|，所以該函數為偶函數．又y＝|sin x|的最小正周期為y＝sin x最小正周期的一半，則T＝＝π，故B正確；因為sin |－x|＝sin |x|，所以y＝sin |x|是偶函數．又y＝sin |x|＝則該函數的最小正周期T≠π，故C錯誤；y＝cos 為非奇非偶函數，故D錯誤．故選AB.
10. ±2　因為函數f(x)＝3cos 的最小正周期為π，所以＝π，解得a＝±2.
11. 13　因為函數f(x)＝2cos －1的最小正周期不大于2，所以T＝＝≤2，所以k≥4π，從而正整數k的最小值為13.
12. sin 2πx(答案不唯一)　可考慮三角函數中的正弦型函數f(x)＝A sin ωx(A≠0，ω>0)，滿足定義域為R，且f(－x)＝－A sin ωx＝－f(x)，故f(x)是奇函數，根據最小正周期T＝＝1可得ω＝2π，故函數可以是f(x)＝A sin 2πx(A≠0)中任一個，可取f(x)＝sin 2πx.
13. (1) 由題意，得y＝cos 的最小正周期T＝＝6π.
(2) 由題意，得y＝2cos 的最小正周期T＝＝π.
14. (1) 由題意，得I＝5sin 10πt，
故電流I變化的周期T＝＝＝.
(2) 當t＝0時，I＝5sin 0＝0；
當t＝時，I＝5sin ()＝5sin ；
當t＝時，I＝5sin ()＝5sin ；
當t＝時，I＝5sin ()＝5sin ；
當t＝時，I＝5sin ＝5sin .
15. (1) 因為函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，
所以f(0)＝0.
又函數f(x)是周期為4的周期函數，
所以f(x＋4)＝f(x)恒成立．
令x＝0，可得f(4)＝f(0)＝0.
(2) 當2因為當－2所以f(x－4)＝sin ＋1＝sin ＋1.
因為f(x)是周期為4的周期函數，
所以f(x)＝f(x－4)＝sin ＋1，2又f(－2)＝－f(2)，且f(－2)＝f(2－4)＝f(2)，
所以f(2)＝0.
綜上，f(x)＝
5．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(2)
1. A　a＝50.2>50＝1，0b>c.
2. A　對于A，y＝cos ＝－sin 2x是周期為π的奇函數，且在區間上單調遞增，故A正確；對于B，y＝sin 2x在區間上單調遞減，故B錯誤；對于C，y＝tan x在x＝處沒有意義，故C錯誤；對于D，y＝sin ＝cos 2x是偶函數，故D錯誤．
3. B　在△ABC中，C∈(0，π)，由sin C>，得”是“sin C>”的必要不充分條件．
4. D　當x∈[，]時，3x＋φ∈[＋φ，＋φ]，因為函數f(x)＝sin (3x＋φ)(0<φ<2π)在區間[，]上單調遞增，所以k∈Z，即2kπ－π≤φ≤2kπ－π，k∈Z，即φ＝2kπ－π，k∈Z.又0<φ<2π，所以φ＝π.
5. D　函數y＝cos 2x在區間上單調遞減．將各選項的值代入函數y＝sin (x＋φ)，得當φ＝時，滿足題意．
6. B　由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，所以＋≤，＋≥π，k∈Z，解得≤ω≤，k∈Z，所以≤，解得k≤.又ω>0，所以k＝0，故ω∈.
7. C　因為點P(，1)在銳角φ的終邊上，所以r＝OP＝＝2，則sin φ＝，所以φ＝，所以f(x)＝sin (ω>0).當00，所以－<ωx－<－.因為函數f(x)在區間上存在最值，所以－>，解得ω>2.當0，所以k∈{0，1，2}．當k＝0時，0<ω≤；當k＝1時，1≤ω≤；當k＝2時，≤ω≤.又因為ω>2，所以ω的取值范圍是.
8. AC　因為0<<<，且y＝sin x在區間上單調遞增，所以sin －sin ，即sin >sin ，故A正確；因為sin ＝－sin ，sin ＝－ sin ，又y＝sin x在區間上單調遞增，所以sin －sin ，即sin ＞sin ，故B錯誤；因為cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos (4π＋)＝cos ，又函數y＝cos x在區間[0，π]上單調遞減，所以cos 9. AC　T＝＝π，故A正確；f＝2sin ＝，所以直線x＝不是f(x)圖象的對稱軸，故B錯誤；f＝2sin 0＝0，所以x＝－是f(x)的一個零點，故C正確；因為振幅A＝2，所以f(x)的最大值為2，故D錯誤．故選AC.
10. －　因為y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的圖象關于直線x＝對稱，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.因為－<φ<，所以當k＝0時，φ＝－.
11. [－2，－1]　因為函數f(x)＝2cos x－1在區間上單調遞減，所以f(x)＝2cos x－1，x∈的值域是，即[－2，－1].
12. (k∈Z)　由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).
13. (1) 由題意可知f(x)＝cos2x＋sinx＋1＝1－sin2x＋sinx＋1＝－sin2x＋sinx＋2，
令t＝sin x，當x∈[，]時，
由y＝sin x在區間(，)上單調遞增，在區間(，)上單調遞減，得t∈[，1].
令g(t)＝－t2＋t＋2＝－(t－)2＋，
由g(t)在區間(，)上單調遞增，在區間(，1)上單調遞減，
得f(x)min＝g()＝g(1)＝，f(x)max＝g()＝，
所以f(x)在區間[，]上的值域為[，].
(2) 由(1)可知，f(x)＝－sin2x＋sinx＋2，
令m＝sin x，則m∈[－1，1]，
令g(m)＝－m2＋m＋2＝－(m－)2＋，
因為g(m)在區間[－1，]上單調遞增，在區間[，1]上單調遞減，
所以f(x)max＝g()＝.
14. (1) 由題意，得f(x)的最小正周期為T＝＝＝π.
(2) 令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ又x∈，所以f(x)的單調增區間為；
令＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ又x∈，所以f(x)的單調減區間為.
綜上，f(x)的單調增區間為，單調減區間為.
15. (1) 若x∈，則－x∈.
因為f(x)是偶函數，
所以f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
若x∈，則π＋x∈.
因為f(x)是最小正周期為π的周期函數，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x，
所以當x∈[－π，0]時，f(x)＝－sin x.
(2) 函數f(x)在區間[－π，π]上的函數圖象如圖所示．
(3) 由x∈[0，π]，sin x≥，可得≤x≤.
因為函數f(x)的最小正周期為π，
所以x的取值范圍是{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}．
5．4.2　正弦函數、余弦函數的性質(3)
1. C　因為f(x)＝2cos ＝－2sin 2x，所以函數f(x)的最小正周期T＝＝π，且為奇函數．
2. B　由題意，得2sin －1≥0，即sin ≥，所以∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，則x∈[＋4k，＋4k](k∈Z).
3. B　對于A，f(x－2π)＝cos (x－2π＋)＝cos (x＋)＝f(x)，所以－2π是f(x)的一個周期，故A正確；對于B，當x∈時，x＋∈，由x＋∈，得x∈，由x＋∈，得x∈，結合余弦函數的單調性，可得函數f(x)＝cos 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，故B錯誤；對于C，f(x＋π)＝cos ＝－cos ，當x＝時，f(x＋π)＝－cos ＝0，所以x＝是f(x＋π)的一個零點，故C正確；對于D，易知f(x)＝cos 圖象的對稱軸方程為x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，當k＝3時，x＝－＋3π＝，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱，故D正確．
4. D　當x∈(0，)時，ωx＋∈(，＋).由函數f(x)＝cos (ωx＋)在區間(0，)上有最小值，沒有最大值，得π<＋≤2π，解得<ω≤，即ω的取值范圍是(，].
5. C　由三角函數的圖象可得出交點坐標為((2k1π＋)，)，(，－)，k1，k2都是整數．因為距離最短的兩個交點間的距離為，所以這兩個交點在同一個周期內，故()2＝＋，且ω>0，解得ω＝π.
6. A　設－1≤x10.因為x2＋(－x1)＝x2－x1>0，所以f(x2)＋f(－x1)>0，即f(x1)0，即(2sin θ＋1)(sin θ＋1)>0.又因為θ∈，所以2sin θ＋1>0，解得－<θ<.
7. D　由2kπ－≤2ωx－≤2kπ＋，k∈Z，ω>0，得－≤x≤＋，所以函數f(x)＝sin (2ωx－)(ω>0)的單調增區間為，k∈Z.因為函數f(x)＝sin 在區間上單調遞增，所以 ，所以≤，解得ω≤.由2ωx－＝kπ，k∈Z，ω>0，可得x＝＋，k∈Z，所以函數f(x)＝sin (ω>0)的零點的集合為{x|x＝＋，k∈Z}，k∈Z.因為函數f(x)＝sin 在區間[0，π]上恰有三個零點，所以解得≤ω<.綜上，≤ω≤，即ω的取值范圍為.
8. ABD　易知四個函數的周期都是π.y＝sin (2x＋)＝cos 2x在區間上單調遞增，y＝cos (2x＋)＝－sin 2x在區間上單調遞增，故A，B正確；畫出y＝|sin x|與y＝|cos x|的圖象(圖略)，由圖象可知C錯誤，D正確．故選ABD.
9. BCD　對于A，由余弦函數值域可知，函數f(x)的值域為[－1，1]，故A錯誤；對于B，因為f＝cos (－－)＝cos (－π)＝－1，為最小值，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝－對稱，故B正確；對于C，因為f＝cos ＝cos ＝0，所以函數f(x)的一個零點為x＝，故C正確；對于D，由x∈，得x－∈(0，π).易知函數y＝cos x在區間(0，π)上單調遞減，所以f(x)在區間上單調遞減，故D正確．故選BCD.
10. ∪　由題意，得解得11. －4　因為f(x)＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2(cos x＋)2＋，－1≤cos x≤1，所以當cos x＝1時，f(x)min＝－4，故函數f(x)的最小值為－4.
12. (k∈Z)　[2kπ，＋2kπ)(k∈Z)
由cos x>0，得－＋2kπ13. 因為0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin ≤1.
若a>0，則解得
若a<0，則解得
綜上，或
14. (1) 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函數f(x)的單調增區間為，k∈Z.
(2) 當x∈時，－≤x－≤，
所以－≤sin ≤1，
所以－≤f(x)≤＋1，
故函數f(x)的值域為.
15. (1) 由函數f(x)＝sin2x＋cosx＋a＝－cos2x＋cosx＋a＋1，
令t＝cos x∈[－1，1]，g(t)＝－t2＋t＋a＋1.
因為1≤f(x)≤對一切實數x恒成立，
即對任意的t∈[－1，1]，1≤g(t)≤恒成立．
又函數g(t)＝－t2＋t＋a＋1圖象的開口向下，對稱軸為直線t＝，
當t＝時，g(t)max＝a＋；當t＝－1時，g(t)min＝a－1，
則解得2≤a≤3，
所以實數a的取值范圍是[2，3].
(2) 由x∈[－，]，令b＝cos x∈[0，1]，
若關于x的方程f(x)＝0在區間[－，]上有實數解，即h(b)＝－b2＋b＋a＋1＝0在區間[0，1]上有實數解，
即a＋1＝b2－b在b∈[0，1]上有實數解．
令m(b)＝b2－b，b∈[0，1]，由m(b)＝(b－)2－，
可知y＝m(b)在區間[0，]上單調遞減，在區間[，1]單調遞增，
當b＝時，m(b)min＝－；當t＝0或t＝1時，m(b)max＝0，
則－≤a＋1≤0，解得－≤a≤－1，
即實數a的取值范圍是[－，－1].

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