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5．4.3　正切函數的性質與圖象
一、 單項選擇題
1 (2025寧波期末)函數f(x)＝tan 2x的定義域為(　　)
A.
B.
C.
D.
2 (2024北京門頭溝期中)tan 48°，tan (－22°)，tan 114°的大小關系為(　　)
A. tan 114°>tan 48°>tan (－22°)
B. tan (－22°)>tan 114°>tan 48°
C. tan (－22°)>tan 48°>tan 114°
D. tan 48°>tan (－22°)>tan 114°
3 函數y＝tan x與y＝sin x的圖象在區間(－，)上的交點個數為(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4 (2025昆明三中月考)已知函數y＝tan ωx在區間上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A. (0，1]
B. [－1，0)
C. [1，＋∞)
D. (－∞，－1]
5 f(x)＝－tan (x＋)的單調減區間是(　　)
A. ，k∈Z
B. (kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
6 (2024渭南期末)若函數y＝tan (x＋φ)(φ≥0)的圖象與直線x＝2π沒有交點，則φ的最小值為(　　)
A. π B. C. D. 0
7 f(x)＝sin x－tan x在x∈的圖象大致是(　　)
A B C D
二、 多項選擇題
8 下列結論中，正確的是(　　)
A. tan ＞tan
B. tan ＞tan
C. tan ＞tan
D. tan ＞tan
9 (2025臨沂期末)已知函數f(x)＝tan (2x－)，則下列說法中正確的是(　　)
A. f(x)的圖象關于點對稱
B. f(x)的最小正周期為
C. f(x)的定義域為
D. f(x)在區間上單調遞增
三、 填空題
10 (2024漢中期中)函數y＝tan 的單調增區間為________．
11 若函數y＝tan ωx在區間(－π，π)上單調遞增，則ω的取值范圍是________．
12 (2024遼寧期中)若函數f(x)＝tan ωx的相鄰兩個對稱中心距離是，則正實數ω的值是________．
四、 解答題
13 求函數y＝lg tan x＋的定義域．
14 求函數y＝tan 的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調性，并說明它的圖象可以由正切曲線如何變換得到？
15 (2024廈門月考)已知函數f(x)＝tan (－2x＋θ)，其中θ為三角形的一個內角，且2cos2θ－cosθ－1＝0.
(1) 求函數f(x)的解析式及定義域；
(2) 求函數f(x)的對稱中心及單調區間．
5．4.3　正切函數的性質與圖象
1. A　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函數f(x)＝tan 2x的定義域為.
2. D　易知tan 114°＝tan (180°－66°)＝tan (－66°).因為函數y＝tan x在區間(－90°，90°)上單調遞增，且－66°<－22°<48°，所以tan (－66°)tan (－22°)>tan 114°.
3. B　當x＝0時，tan x＝sin x；當x∈時，tan x＝>sin x；當x∈時，tan x4. B　因為函數y＝tan ωx在區間上單調遞減，所以ω<0，且<ωx<－，所以 ，即解得－1≤ω<0.
5. C　令－＋kπ6. B　易知函數y＝tan x的圖象與直線x＝＋kπ(k∈Z)沒有交點．若函數y＝tan (x＋φ)(φ≥0)的圖象與直線x＝2π沒有交點，則2π＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z).又φ≥0，所以φ的最小值為.
7. A　由題意，得f(－x)＝sin (－x)－tan (－x)＝－(sin x－tan x)＝－f(x)，x∈，所以f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除C，D；又當x＝時，f＝sin －tan ＝－>0，故排除B，故A滿足題意．
8. AD　函數y＝tan x在區間 上單調遞增，對于A，0<<<，所以tan ＞tan ，故A正確；對于B，tan ＜0，tan ＞0，故B錯誤；對于C，tan ＝tan (－＋2π)＝tan ，tan ＝tan (－＋2π)＝tan .又0<<<，所以tan ＜tan ，即tan (－)＜tan (－)，故C錯誤；對于D，tan (－)＝tan (－＋4π)＝tan ，tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan .又－<－<<，所以 tan ＞tan ，即tan ＞tan ，故D正確．故選AD.
9. ABD　對于A，由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以當k＝1時，f(x)的圖象關于點對稱，故A正確；對于B，f(x)的最小正周期為T＝，故B正確；對于C，由2x－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，故C錯誤；對于D，若x∈，則2x－∈.又函數y＝tan x在區間上單調遞增，所以函數f(x)在區間上單調遞增，故D正確．故選ABD.
10. (k∈Z)　由kπ－<2x－11. 　由題意，得ω>0，又函數y＝tan ωx(ω>0)在區間(－π，π)上單調遞增，所以－≤ω·(－π)，且ω·π≤，所以ω≤，所以ω的取值范圍是.
12. 1　因為f(x)＝tan ωx的周期為T＝，且相鄰兩個對稱中心距離是T，所以T＝，解得T＝π.又ω>0，所以ω＝1.
13. 由題意，得
所以
結合圖象可得，函數的定義域為∪∪(π，4].
14. 要使函數有意義，則3x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z，
所以函數的定義域為，值域為R.
該函數的最小正周期為T＝.
因為函數的定義域不關于原點對稱，
所以該函數為非奇非偶函數．
令－＋kπ<3x－<＋kπ，k∈Z，
解得－＋所以函數的單調增區間為，k∈Z，無單調減區間．
將正切函數y＝tan x的圖象上所有的點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變得到y＝tan 3x的圖象，再將y＝tan 3x圖象上所有的點向右平移個單位長度即可得到y＝tan 的圖象．
15. (1) 由2cos2θ－cosθ－1＝0，
得(2cos θ＋1)(cos θ－1)＝0，
解得cos θ＝－或cos θ＝1.
又θ為三角形的內角，
所以cos θ＝－，θ＝，
則f(x)＝tan (－2x＋)＝－tan (2x－).
令2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
即函數的定義域為{x|x≠＋，k∈Z}．
(2) 令2x－＝，得x＝＋，k∈Z，
即對稱中心為(＋，0)，k∈Z.
令kπ－<2x－解得＋即函數的單調減區間為(＋，＋)，k∈Z，無單調增區間．

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