資源簡(jiǎn)介

5．5.2　簡(jiǎn)單的三角恒等變換(1)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2024云南期末)已知sin 2α＝，則cos2的值為(　　)
A． B. C. D.
2 (2024湖南模擬)計(jì)算sin cos cos 的結(jié)果為(　　)
A. B. C. D.
3 (2025煙臺(tái)期末)若cos ＝，則sin 的值為(　　)
A. － B. C. － D.
4 (2024漳州月考)若銳角θ滿足cos 2θ－sin ＝0，則cos 的值為(　　)
A. － B. C. － D.
5 在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，則△ABC是(　　)
A．等邊三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6 (2024杭州源清中學(xué)月考)已知cos ＝3cos ，則sin 2θ的值為(　　)
A. B. C. － D. －
7 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用．黃金分割比t＝≈0.618，現(xiàn)給出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cosα，則t與sin 18°的關(guān)系式中正確的為(　　)
A. 2t＝3sin 18° B. t＝2sin 18°
C. t＝3sin 18° D. t＝4sin 18°
二、 多項(xiàng)選擇題
8 已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. cos α＝－
B. sin α－cos α＝
C. β－α＝
D. cos αcos β＝－
9 下列各式中，與tan α相等的是(　　)
A. B.
C. D.
三、 填空題
10 已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－4，3)，則＝________．
11 (2024重慶西南大附中月考)已知P(3，4)是角α的終邊上一點(diǎn)，則tan ＝________．
12 (2024郴州期末)若＝4，則sin 2α＝________．
四、 解答題
13 (2024三明月考)已知π<α<，sin α＝－，求下列各式的值：
(1) ；
(2) cos .
14 (2024北京延慶期中)已知sin α＝，α∈.求：
(1) sin 的值；
(2) tan α和tan 2α的值；
(3) cos 的值．
15 求證：＝－2cos (α＋β).
5．5.2　簡(jiǎn)單的三角恒等變換(2)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2024武漢月考)已知cos α＋sin α＝，則cos 的值為(　　)
A. B. C. － D. －
2 (2024河北期中)已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A. aC. c3 (2024連云港高級(jí)中學(xué)月考)函數(shù)y＝sin ·的最大值是(　　)
A. 1＋ B. 1－ C. D. 1
4 在△ABC中，如果cos (2B＋C)＋cos C<0，那么△ABC的形狀為(　　)
A. 鈍角三角形 B. 直角三角形
C. 銳角三角形 D. 不能確定
5 (2025合肥期末)已知sin α＋cos α＝，則sin 的值為(　　)
A. － B. C. D. －
6 (2024北京豐臺(tái)期末)函數(shù)f(x)＝sin x·cos (x－)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. f(x)是最小正周期為2π的奇函數(shù)
B. f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)
C. f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)
D. f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)
7 設(shè)0<θ<，若(sin θ＋cos θ)2＋cos 2θ＝3，則tan θ的值為(　　)
A. 2－ B. －
C. 2－ D. 3－2
二、 多項(xiàng)選擇題
8 (2025莆田期末)下列四個(gè)等式中，正確的是(　　)
A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝
B. ＝
C．cos2－sin2＝
D．－＝2
9 已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2sin(π－x)cos (－x)－cos2x，x∈R，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．f(x)的最小正周期為2π
B. f(x)在區(qū)間(0，π)上有2個(gè)零點(diǎn)
C. f＝0
D. 直線x＝為f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
三、 填空題
10 (2024廣州期中)函數(shù)f(x)＝2sin (＋4x)＋sin 的最大值為________．
11 已知函數(shù)f(x)＝sin －cos (ωx－)(ω>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)的最小正周期可能是________．(寫出一個(gè)即可)
12 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”. 如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD，若在Rt△ABF中，AF＝a，BF＝b，較小的銳角∠FAB＝α. 若(a＋b)2＝196，正方形ABCD的面積為100，則cos 2α＝________，sin －cos ＝________．
四、 解答題
13 (2024荊州期末)已知函數(shù)f(x)＝2cos x·(sin x－cos x).
(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
(2) 當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．
14 (2025福州期末)已知函數(shù)f(x)＝4sin (ωx－)cos ωx＋1(ω>0)的最小正周期為π.
(1) 若x∈，求f(x)的值域；
(2) 若f(x0)＝－，x0∈，求f(2x0＋)的值．
15 某商場(chǎng)計(jì)劃在一個(gè)兩面靠墻的角落規(guī)劃一個(gè)三角形促銷活動(dòng)區(qū)域(即△ABC區(qū)域)，地面形狀如圖所示．已知已有兩面墻的夾角∠ACB＝，∠CBA為銳角，假設(shè)墻CA，CB的可利用長(zhǎng)度(單位：m)足夠長(zhǎng)．
(1) 在△ABC中，若邊BC上的高等于BC，求sin ∠CAB的值；
(2) 當(dāng)AB的長(zhǎng)度為6m時(shí)，求該活動(dòng)區(qū)域面積的最大值．
5．5.2　簡(jiǎn)單的三角恒等變換(1)
1. B　因?yàn)閟in 2α＝，所以cos2＝＝＝.
2. B　sin cos cos ＝cos ＝sin cos ＝×2＝.
3. A　sin ＝sin ＝cos [2(θ－)]＝2cos2－1＝－.
4. A　因?yàn)閏os 2θ－sin (－θ)＝0，所以(cos2θ－sin2θ)－(cosθ＋sin θ)＝0，即[(cos θ－sin θ)－1](cos θ＋sin θ)＝0，解得cos θ－sin θ＝或cos θ＋sin θ＝0.又θ為銳角，所以cos θ－sin θ＝，則(cos θ－sin θ)2＝，即1－sin 2θ＝，解得sin 2θ＝，所以cos (＋2θ)＝－sin 2θ＝－.
5. B　由sin B sin C＝cos2，得sinB sin C＝，所以2sin B sin C＝1＋cos A，所以2sin B sin C＝1＋cos [π－(B＋C)]＝1－cos (B＋C)，所以2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C，所以cos B cos C＋sin B sin C＝1，所以cos (B－C)＝1.又因?yàn)椋?80°6. B　由cos ＝3cos ，得(cos θ＋sin θ)＝3×(cos θ－sin θ)，兩邊同時(shí)平方，得(cos θ＋sin θ)2＝(cos θ－sin θ)2，即(1＋sin 2θ)＝(1－sin 2θ)，解得sin 2θ＝.
7. B　由三倍角公式，得cos 54°＝4cos318°－3cos18°＝sin 36°＝2sin 18°cos 18°，化簡(jiǎn)，得4cos218°－3＝2sin18°，則4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin 18°＝(負(fù)值舍去)，故t＝2sin 18°.
8. BC　因?yàn)椤堞痢堞?，所以?α≤2π.又sin 2α＝>0，所以≤2α<π，≤α<，所以cos 2α＝－＝2cos2α－1，即cos2α＝，解得cosα＝，故A錯(cuò)誤；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α<，所以sin α>cos α，所以sin α－cos α＝，故B正確；因?yàn)椤堞?，π≤β≤，所以≤α＋β<2π.又cos (α＋β)＝－<0，所以≤α＋β<，所以sin (α＋β)＝－，所以cos (β－α)＝cos [(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因?yàn)椤堞粒?，－π<－2α≤－，所以<β－α<π，所以β－α＝，故C正確；由cos (α＋β)＝－，得cos αcos β－sin αsin β＝－，且cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，兩式聯(lián)立得cos αcos β＝－，故D錯(cuò)誤．故選BC.
9. BC　對(duì)于A，＝＝tan，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，＝＝tan α，故B正確；對(duì)于C，＝＝tanα，故C正確；對(duì)于D，＝＝，故D錯(cuò)誤．故選BC.
10. 7　因?yàn)榻铅鹊慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(－4，3)，所以tan θ＝－，所以＝＝＝7.
11. 　由題意，得sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝＝＝＝.
12. 　由＝4，得＝4，則tan α＝2，故sin 2α＝＝＝.
13. (1) 因?yàn)棣?α<，sin α＝－，
所以cos α＝－＝－，tanα＝＝，
故＝
＝
＝＝＝－8.
(2) 由(1)可知cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝－cos αcos －sin αsin ＝×＋×＝.
14. (1) 因?yàn)閟in α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以sin＝(sin α＋cos α)＝－.
(2) 由(1)得cos α＝－，所以tan α＝＝＝－，
所以tan 2α＝＝＝－.
(3)因?yàn)閏os2＝
＝＝
＝＝，且α∈，
所以－∈，
所以cos ＝＝.
15. 右邊＝
＝
＝＝＝左邊．
5．5.2　簡(jiǎn)單的三角恒等變換(2)
1. B　由cos α＋sin α＝，得2cos ＝，所以cos ＝.
2. A　因?yàn)閍＝＝sin 55°，b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，c＝＝＝tan 65°，且sin 55°3. C　y＝sin ＝sin2－sin·cos ＝－sin x＝－cos x－sin x＝－＝－sin ，所以函數(shù)的最大值為.
4. D　由題意，得cos (2B＋C)＋cos C＝cos [π＋(B－A)]＋cos [π－(B＋A)]＝－cos (B－A)－cos (B＋A)＝－cos B cos A－sin B sin A－cos B cos A＋sin B sin A＝－2cos B cos A<0，故cos B cos A>0，即A，B均為銳角，但C無法確定大小，故△ABC的形狀不能確定．
5. A　由sin α＋cos α＝，得sin α＋cos α＝，即sin ＝，則cos ＝1－2sin2＝，所以sin＝－sin ＝－cos (2α＋)＝－.
6. D　由題意，得f(x)＝sin x cos (x－)＝sin2x＝(1－cos2x)，定義域?yàn)镽，又f(－x)＝[1－cos 2(－x)]＝(1－cos 2x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故A，C錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)的最小正周期為＝π，故B錯(cuò)誤，D正確．
7. C　因?yàn)?sin θ＋cos θ)2＋cos 2θ＝3，所以1＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝3，即sin 2θ＋cos 2θ＝2，所以sin (2θ＋)＝1.又因?yàn)?<θ<，所以<2θ＋<，則2θ＋＝，解得θ＝，所以tan θ＝tan ＝tan (－)＝＝＝＝2－.
8. AB　對(duì)于A，因?yàn)閠an 60°＝tan (25°＋35°)＝＝，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閟in 45°＝2sin 22.5°cos 22.5°＝＝＝，所以＝，故B正確；對(duì)于C，cos2－sin2＝cos＝，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，－＝＝＝＝＝4，故D錯(cuò)誤．故選AB.
9. BCD　由題意，得f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)，x∈R.對(duì)于A，f(x)的最小正周期為π，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令f(x)＝0，得2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.因?yàn)閤∈(0，π)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，x＝；當(dāng)k＝1時(shí)，x＝，所以f(x)在區(qū)間(0，π)上有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由B可知f＝0，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)x＝時(shí)， f＝2sin (2×－)＝2，所以直線x＝為f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故D正確．故選BCD.
10. 　由題意，得f(x)＝2sin ＋sin (4x－)＝2sin －cos ＝2sin －cos ＝sin ，其中tan φ＝，易知當(dāng)4x＋－φ＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋＋，k∈Z時(shí)，f(x)取到最大值.
11. (答案不唯一)　由題意，得f(x)＝2sin ，則－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋4，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝，k∈Z且k≥0.當(dāng)k＝0時(shí)，T＝，即f(x)的最小正周期T的可能取值為.
12. ?。∮深}意，得b13. (1) 因?yàn)閒(x)＝2cos x(sin x－cos x)＝2sin x cos x－2cos2x＝sin2x－cos 2x－1＝2sin (2x－)－1，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝π.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[＋kπ，＋kπ](k∈Z).
(2) 因?yàn)?≤x≤，所以－≤2x－≤，
則sin (2x－)∈[－，1]，
故f(x)＝2sin (2x－)－1∈[－2，1]，
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－2，1].
14. (1) 由題意，得f(x)＝(2sin ωx－2cos ωx)cos ωx＋1＝2sin ωx cos ωx－2cos2ωx＋1
＝sin2ωx－cos 2ωx＝2sin .
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π，且ω>0，
所以＝π，解得ω＝1，
所以f(x)＝2sin .
由x∈，得2x－∈，
所以sin ∈，
所以函數(shù)f(x)的值域是[－1，2].
(2) 由(1)得f(x)＝2sin ，
所以f(x0)＝2sin ＝－.
設(shè)2x0－＝t，則x0∈，t∈，
又sin t＝－<0，所以cos t＝－，
所以sin 2t＝2sin t cos t＝，cos 2t＝2cos2t－1＝，
所以f＝2sin4x0＝2sin ＝sin 2t＋cos 2t＝.
15. (1) 過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D.
設(shè)AD＝x，則CD＝x，BD＝BC＝3x.
在△ABC中，sin ∠CBA＝＝，
cos ∠CBA＝＝，
故sin ∠CAB＝sin (∠CBA＋∠ACB)＝(sin ∠CBA＋cos ∠CBA)＝×(＋)＝.
(2) 設(shè)∠CBA＝θ，
則BD＝6cos θ，CD＝AD＝6sin θ，
S△ABC＝×6sin θ×(6cos θ＋6sin θ)＝9(2sin θcos θ＋2sin2θ)＝9(sin2θ＋1－cos 2θ)＝9＋9sin .
因?yàn)棣取?，所?θ－∈，
所以當(dāng)2θ－＝，即θ＝時(shí)，該活動(dòng)區(qū)域的面積取得最大值，最大值為(9＋9)m2.

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