資源簡介

5.6.1　勻速圓周運動的數學模型
一、 單項選擇題
1 (2024南海桂城中學月考)函數f(x)＝2sin 的周期、振幅、初相分別是(　　)
A. ，2， B. 4π，－2，－
C. ，2， D. 4π，2，
2 (2024廈門質量檢測)將函數f(x)＝sin 2x＋cos 2x的圖象向右平移個單位長度后，得到y＝g(x)的圖象，則下列結論中正確的是(　　)
A. g(x)＝2sin 2x
B. g(x)＝2sin
C. g(x)＝2sin
D. g(x)＝2sin
3 將函數y＝sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經過點，則ω的最小值是(　　)
A. B. 1
C. D. 2
4 要得到函數y＝sin 的圖象，只需將函數y＝cos 的圖象(　　)
A. 向左平移個單位長度
B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度
D. 向右平移個單位長度
5 將函數y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標都變為原來的，縱坐標不變，再把圖象向左平移個單位長度，這時對應于這個圖象的解析式為(　　)
A. y＝sin B. y＝－sin 2x
C. y＝sin D. y＝cos 2x
6 (2024河北月考)為了得到函數f(x)＝3·cos ＋1的圖象，將函數g(x)＝3sin2x＋6sinx cos x－3cos2x＋1的圖象(　　)
A．向右平移個單位長度
B. 向左平移個單位長度
C. 向右平移個單位長度
D. 向左平移個單位長度
7 (2024亳州五中月考)函數y＝f(x)的圖象由函數y＝2sin 的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度得到，若函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱，則φ的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
二、 多項選擇題
8 要得到y＝sin ＋1的圖象，可以將函數y＝sin x＋1圖象上所有的點(　　)
A. 向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
B. 向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
C. 橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度
D. 橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度
9 (2024遵義期末)已知函數f(x)＝3sin (3x＋)，則下列結論中正確的是(　　)
A. 函數f(x)的最小正周期是
B. 函數f(x)在區間上單調遞增
C. 直線x＝是函數f(x)圖象的一條對稱軸
D. 函數f(x)的圖象可以由函數g(x)＝3sin 3x的圖象向左平移個單位長度得到
三、 填空題
10 將函數f(x)＝sin x＋cos x，x∈R圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到g(x)的圖象，則函數g(x)的解析式為________．
11 將函數y＝3sin (2x＋)的圖象向右平移個單位長度得到函數y＝f(x)的圖象，若f(α)＝，則f(2α＋)＝________．
12 寫出一個同時滿足下列三個性質的函數：f(x)＝________．
①f(x)為奇函數；②f(x＋1)為偶函數；③f(x)在R上的值域為[－2，2].
四、 解答題
13 某同學用“五點法”畫函數f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，|φ|<)在某一個周期內的圖象時，列表并填入部分數據，如表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ)＋B 3 －1
(1) 請根據上表中的部分數據，求函數f(x)的解析式；
(2) 若定義在區間上的函數g(x)＝af(x)＋b的最大值為7，最小值為1，求實數a，b的值．
14 由函數y＝sin x的圖象經過怎樣的變換，可以得到函數y＝－2sin ＋1的圖象？
15 (2024湖南期末)已知函數f(x)＝3sin (2x＋)的部分圖象如圖所示．
(1) 寫出圖中x0，y0的值；
(2) 將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變，得到函數g(x)的圖象，求方程g(x)＝在區間[－π，π]上的解．
5.6.1　勻速圓周運動的數學模型
1. D　由題意，得函數f(x)的振幅是2，初相是，最小正周期是T＝＝4π.
2. A　因為f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，所以g(x)＝2sin ＝2sin 2x.
3. D　將函數y＝sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為y＝sin .因為所得圖象經過點，所以sin ＝sin ＝0，所以＝kπ，k∈Z，即ω＝2k，k∈Z.又ω>0，故ω的最小值是2.
4. D　因為函數y＝sin ＝cos (－)＝cos [(x－)－]，所以只需將函數y＝cos (－)的圖象向右平移個單位長度，即可得到函數y＝sin 的圖象．
5. D　y＝sin xy＝sin 2xy＝sin ＝cos 2x.
6. D　由題意，得g(x)＝3sin2x＋6sinx cos x－3cos2x＋1＝3sin2x－3cos 2x＋1＝3sin ＋1＝3·sin ＋1＝3cos ＋1，設將函數g(x)的圖象向左平移φ個單位長度后，得到了f(x)的圖象，則3cos ＝3cos ＝3cos ＋1，所以2φ－＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，即將函數g(x)的圖象向左平移個單位長度可得f(x)的圖象．
7. D　由題意，得f(x)＝2sin .因為函數f(x)的圖象關于原點對稱，所以f(0)＝2sin ＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又φ>0，所以φmin＝.
8. BC　將y＝sin x＋1圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到y＝sin (x－)＋1的圖象，再將y＝sin (x－)＋1圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到y＝sin (2x－)＋1的圖象，故A錯誤，B正確；將y＝sin x＋1圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到y＝sin 2x＋1的圖象，再將y＝sin 2x＋1圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到y＝sin [2(x－)]＋1＝sin (2x－)＋1的圖象，故C正確，D錯誤．故選BC.
9. AC　對于A，函數f(x)的最小正周期是T＝，故A正確；對于B，當－≤x≤時，－≤3x＋≤π，由正弦函數的圖象，得函數f(x)在區間上不單調，故B錯誤；對于C，因為f＝3sin ＝3＝f(x)max，所以直線x＝是函數f(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；對于D，因為f(x)＝3sin ＝3sin ，所以函數f(x)的圖象可以由函數g(x)＝3sin 3x的圖象向左平移個單位長度得到，故D錯誤．故選AC.
10. g(x)＝2sin 　由題意，得f(x)＝2sin (x＋)，將f(x)圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，得函數y＝2sin 的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度，所以g(x)＝2sin ＝2sin .
11. 　將函數y＝3sin (2x＋)的圖象向右平移個單位長度，得到函數y＝f(x)＝3sin (2x－)的圖象．若f(α)＝3sin (2α－)＝，則sin (2α－)＝，故f(2α＋)＝3sin [2(2α＋)－]＝3sin (4α＋)＝3cos (－4α)＝3cos (4α－)＝3×[1－2sin2(2α－)]＝3×(1－2×)＝.
12. 2sin (答案不唯一)　由②可知f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的奇函數，f(x＋1)是周期為4的偶函數．不妨設f(x)＝A sin ωx，則T＝，解得ω＝.由③可知A＝±2，所以f(x)＝2sin 或f(x)＝－2sin .
13. (1) 由題意，得函數f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
由得
故f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.
由表可知，2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，且|φ|<，
解得φ＝，
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
(2) 由(1)可知g(x)＝2a sin ＋a＋b，
由－≤x≤，得－≤2x＋≤，
所以－≤sin ≤1.
當a>0時，g(x)的最大值是3a＋b＝7，最小值是b＝1，解得a＝2，b＝1；
當a<0時，g(x)的最大值是b＝7，最小值是3a＋b＝1，解得a＝－2，b＝7.
綜上，a＝2，b＝1或a＝－2，b＝7.
14. 將y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標變為原來的2倍(橫坐標不變)，得到y＝2sin x的圖象；再將y＝2sin x的圖象關于x軸作對稱變換，得到y＝－2sin x的圖象；再將y＝－2sin x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的，得到y＝－2sin 2x的圖象；再將y＝－2sin 2x的圖象向右平移個單位長度，得到y＝－2sin 的圖象；最后將y＝－2sin 的圖象向上平移1個單位長度，即可得到y＝－2sin ＋1的圖象．
15. (1) 令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
解得x＝＋kπ，k∈Z，
由圖象，得x0＝，y0＝f(x)max，
所以y0＝f(x)max＝3.
(2) 由(1)及題意，得g(x)＝sin ＝sin ，
由g(x)＝，得sin ＝，
所以2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋，k∈Z，
解得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z.
又x∈[－π，π]，
所以x＝－，x＝或x＝±.

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