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5．7　三角函數(shù)的應(yīng)用
5.7.1　三角函數(shù)的應(yīng)用(1)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y＝4sin (5x－)的相位與初相分別是(　　)
A. 5x－，
B. 5x－，4
C. 5x－，－
D. 4，
2 某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5 cm，秒針繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，當(dāng)t∈[0，60]時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離為d(單位：cm)，則d表示成t(單位：s)的函數(shù)解析式為(　　)
A. d＝5sin B. d＝10sin
C. d＝5sin D. d＝10sin
3 如圖，彈簧掛著的小球上下振動(dòng)，它在t(單位：s)時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h(單位：cm)由關(guān)系式h＝2sin 確定，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距2 cm
B. 小球在t＝0 時(shí)的高度h＝1 cm
C. 每秒鐘小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為2π
D. 從t＝1 到t＝3，彈簧長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)
4 某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)來(lái)表示，其中A>0.已知6月份的月平均氣溫最高，為 28 ℃；12月份的月平均氣溫最低，為18 ℃，則10月份的月平均氣溫為(　　)
A. 21 ℃ B. 20.5 ℃
C. 20 ℃ D. 18.5 ℃
5 (2024石家莊月考)如圖，一個(gè)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒W到水面的距離為d(單位：m)(在水面下，則d為負(fù)數(shù)).若以盛水筒W剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，d與時(shí)間t(單位：min)之間的關(guān)系為d＝4sin (2t－)＋2.某時(shí)刻t0(單位：min)時(shí)，盛水筒W在過(guò)點(diǎn)O(O為筒車的軸心)的豎直直線的左側(cè)，且到水面的距離為5 m，則再經(jīng)過(guò) min后，盛水筒W(　　)
A. 在水面下
B. 在水面上
C. 恰好開(kāi)始入水
D. 恰好開(kāi)始出水
6 一根長(zhǎng)l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(單位：cm)與時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式是s＝cos (t＋)，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1 s時(shí)，線長(zhǎng)l等于(　　)
A. B. C. D.
7 (2025哈爾濱期末)隨著冬天的到來(lái)，越來(lái)越多的旅客從全國(guó)各地來(lái)到“爾濱”賞冰樂(lè)雪，一睹冰雕雪雕風(fēng)采的同時(shí)還能體驗(yàn)各中冰上項(xiàng)目，如抽尜，大滑梯，摩天輪等．如圖，某地摩天輪最高點(diǎn)距離地面的高度為128 m，最低點(diǎn)距離地面的高度為8 m，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間約為24 min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t min后距離地面高度為h m，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A. 摩天輪的輪盤直徑為60 m
B. h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h＝60sin (t－)＋8
C. h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h＝60cos (t＋)＋68
D. 在游客乘坐一周的過(guò)程中，游客有16 min時(shí)間距地面高度超過(guò)38 m
二、 多項(xiàng)選擇題
8 如圖為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷中正確的是(　　)
A. 該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為 Hz
B. 該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cm
C. 該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)振動(dòng)速度最大
D. 該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0.7 s時(shí)的加速度為0
9 如圖，摩天輪的半徑為50 m，摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為55 m，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)處，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 經(jīng)過(guò)12 min，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)
B. 第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高
C. 從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)P距離地面的高度一直在降低
D. 摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，點(diǎn)P有8 min距離地面的高度不低于80 m
三、 填空題
10 彈簧振子以點(diǎn)O為平衡位置，在點(diǎn)B，C間做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，點(diǎn)B，C相距20 cm，某時(shí)刻振子處在點(diǎn)B，經(jīng)0.5 s振子首次達(dá)到點(diǎn)C，則振子在5 s內(nèi)通過(guò)的路程及5 s末相對(duì)平衡位置的位移大小分別為_(kāi)_______cm，________cm.
11 電流強(qiáng)度I(單位：A)隨時(shí)間t(單位：s)變化的函數(shù)I＝A sin (ωt＋)(A>0，ω≠0)的圖象如圖所示，則當(dāng)t＝ s時(shí)，電流強(qiáng)度是________A．
(第11題) (第12題)
12 如圖，單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離s(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin ，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為_(kāi)_______s.
四、 解答題
13 一個(gè)單擺如圖所示，小球偏離鉛垂線方向的角為α rad，α與擺動(dòng)時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)解析式為α(t)＝sin .求：
(1) 最初(t＝0)時(shí)α的值；
(2) 單擺擺動(dòng)的頻率；
(3) 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間單擺完成5次完整擺動(dòng)？
14 (2024綿陽(yáng)期末)風(fēng)力發(fā)電的原理是利用風(fēng)力帶動(dòng)風(fēng)機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)，當(dāng)風(fēng)吹向葉片時(shí)驅(qū)動(dòng)風(fēng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能，進(jìn)而來(lái)推動(dòng)發(fā)電機(jī)發(fā)電．如圖，風(fēng)機(jī)由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)機(jī)，葉片旋轉(zhuǎn)軸離地面100 m，葉片長(zhǎng)40 m．葉片按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，并且每5 s旋轉(zhuǎn)一圈．風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開(kāi)始，轉(zhuǎn)動(dòng)t s后離地面的距離為h m，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，h關(guān)于t的函數(shù)解析式為h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1) 求函數(shù)h(t)的解析式；
(2) 當(dāng)風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開(kāi)始，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，求點(diǎn)P離地面的高度不低于80 m的時(shí)長(zhǎng)．
15 某游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30 m，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2 m，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間T＝24 min.在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1～12(可視為點(diǎn))，現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為 t min.
(1) 當(dāng)t＝6時(shí)，求1號(hào)座艙與地面的距離；
(2) 記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為H m，若在0≤t≤t0這段時(shí)間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求t0的取值范圍．
5．7.2　三角函數(shù)的應(yīng)用(2)
一、 單項(xiàng)選擇題
1 在自然界中存在著大量的周期函數(shù)，比如聲波，若某兩個(gè)聲波隨時(shí)間的變化規(guī)律分別為y1＝2sin (100πt)，y2＝2sin (100πt－)，則這兩個(gè)聲波合成后聲波的振幅為(　　)
A. 6 B. 3
C. 3 D. 2
2 甲、乙兩人從直徑為2r的圓形水池的一條直徑的兩端同時(shí)按逆時(shí)針?lè)较蜓厮刈鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，已知甲的速度是乙的速度的兩倍，乙繞水池一周停止運(yùn)動(dòng)，若用θ表示乙在某時(shí)刻旋轉(zhuǎn)角的弧度數(shù)，l表示甲、乙兩人的直線距離，則l＝f(θ)的大致圖象是(　　)
A B C D
3 (2025長(zhǎng)沙期末)某地區(qū)2024年全年的月平均溫度y(單位：℃)與月份t之間近似滿足y＝A sin ＋k(A>0，－π<φ<0).已知該地區(qū)2月份的月平均溫度為－1 ℃，全年月平均溫度最高的月份為6月份，且平均溫度為32 ℃，則該地區(qū)12月份的平均溫度為(　　)
A. －12 ℃ B. －10 ℃
C. －9 ℃ D. －6 ℃
4 (2024天津期末)海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．由于受潮汐的影響，某港口一天中各時(shí)刻的水位高低相差很大．如圖，已知該港口某天從8時(shí)至14時(shí)的水深y(單位：m)與時(shí)刻x的關(guān)系可用函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)＋b近似刻畫，其中A>0，ω>0，0<|φ|<，據(jù)此可估計(jì)該港口當(dāng)天9時(shí)的水深y的值為(　　)
A. 8－ B. 8－
C. 8－ D. 8－
5 一種波的波形為函數(shù)y＝－sin x的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6 一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8 m，勻速旋轉(zhuǎn)的速度是每12分鐘旋轉(zhuǎn)一周．它的最低點(diǎn)P0離地面2 m，風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)P離地面的距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系式是(　　)
A. h(t)＝－8sin t＋10
B. h(t)＝8sin t＋10
C. h(t)＝－8cos t＋10
D. h(t)＝8cos t＋10
7 (2024北京質(zhì)量檢測(cè))音樂(lè)噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“葫蘆曲線”．它的性質(zhì)是每經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間間隔，它的振幅就變化一次．如圖，某一條葫蘆曲線的方程為|y|＝|sin ωx|，x≥0，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．若該條曲線還滿足ω∈(1，3)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則該條葫蘆曲線與直線x＝π交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(　　)
A. ± B. ±
C. ± D. ±1
二、 多項(xiàng)選擇題
8 如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A. 該函數(shù)的周期是16
B. 該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝14
C. 該函數(shù)的解析式是y＝10sin (x＋)＋20(6≤x≤14)
D. 該市這一天中午12時(shí)的溫度大約是27℃
9 (2025淮安期末)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用(圖1)，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2).若一半徑為2 m的筒車水輪圓心O距離水面1 m(圖3)，已知水輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖3中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí)，點(diǎn)P距水面的高度(單位：m)與時(shí)間x(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<，B∈R)，則下列結(jié)論中正確的有(　　)
圖1 圖2 圖3
A. 點(diǎn)P所滿足的函數(shù)表達(dá)式為y＝2sin (－)＋1
B. 點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí)5 s
C. 點(diǎn)P再次接觸水面需用時(shí)10 s
D. 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5 s后，距水面的高度為1.5 m
三、 填空題
10 如圖為一半徑是3 m的水輪，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝A sin (ωt＋φ)＋2(ω>0，A>0)，則ω＝________．
11 摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面的高度為128m，轉(zhuǎn)盤直徑為120m，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)tmin，當(dāng) t＝15時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處，若旋轉(zhuǎn)tmin后，游客距離地面的高度為hm，則高度的解析式為h＝____________．
12 如圖，游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈需要12 min，其中心O距離地面40.5 m，半徑為40 m．如果你從最低處登上摩天輪并開(kāi)始計(jì)時(shí)，當(dāng)你第4次距離地面60.5 m時(shí)所用時(shí)間為_(kāi)_______min.
四、 解答題
13 (2024廣州期末)如圖，有一塊半徑為R的扇形草地OMN，∠MON＝，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地ABCD作為兒童樂(lè)園使用，其中點(diǎn)A，B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN.
(1) 設(shè)∠AOB＝2θ，用θ分別表示AB和AD；
(2) 當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地ABCD的面積S最大？最大值為多少？
14 如圖，一公路隧道口截面為正弦曲線，已知隧道跨徑為8.4 m，最高點(diǎn)離地面4.5 m.
(1) 若設(shè)正弦曲線的左端為原點(diǎn)O，試求出該正弦曲線的函數(shù)解析式；
(2) 如果路面寬度為4.2 m，試求出公路邊緣距隧道頂端的高度．
15 海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；在落潮時(shí)返回海洋. 下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間和水深關(guān)系表：
時(shí)刻 2：00 5：00 8：00 11：00
水深/m 7.0 5.0 3.0 5.0
時(shí)刻 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/m 7.0 5.0 3.0 5.0
經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)來(lái)描述．
(1) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B的表達(dá)式；
(2) 一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4.0m，安全條例規(guī)定至少要有2m的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船在一天內(nèi)(0：00～24：00)何時(shí)能進(jìn)入港口然后離開(kāi)港口？每次在港口能停留多久？
5．7　三角函數(shù)的應(yīng)用
5.7.1　三角函數(shù)的應(yīng)用(1)
1. C　相位是5x－.當(dāng)x＝0時(shí)的相位為初相，即－.
2. D　由題意可知，圓心角為，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，可得AB＝2×5×sin ＝10sin .
3. D　由題意，得小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距平衡位置都是2 cm，故小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)相距4 cm，故A錯(cuò)誤；小球在t＝0 時(shí)的高度h＝2sin ＝，故B錯(cuò)誤；由h＝2sin 知，最小正周期T＝2π，則頻率為，則每秒鐘小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為，故C錯(cuò)誤；由題意知當(dāng)t∈時(shí)，h＝2sin 單調(diào)遞減，當(dāng)t＝時(shí)，小球在平衡位置，因?yàn)?1，3) ，所以h＝2sin (t＋)單調(diào)遞減，t＝1時(shí)，小球在平衡位置的上方，t＝3時(shí)，小球在平衡位置的下方，即小球此時(shí)從平衡位置以上位置逐漸向平衡位置以下位置運(yùn)動(dòng)，故彈簧長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)，故D正確．
4. B　由題意，知所以所以y＝23＋5cos .當(dāng)x＝10時(shí)，y＝23＋5×＝20.5.
5. B　由題意，得5＝4sin (2t0－)＋2，則sin (2t0－)＝，所以cos (2t0－)＝－或cos (2t0－)＝(舍去)，所以sin [2(t0＋)－]＝sin [(2t0－)＋]＝×＋(－)×＝，所以再經(jīng)過(guò) min，可得d＝4×＋2＝>0，所以盛水筒在水面上．
6. D　因?yàn)門＝＝1，所以＝＝2π，所以l＝.
7. D　對(duì)于A，因?yàn)槟μ燧喿罡唿c(diǎn)距離地面的高度為128 m，最低點(diǎn)距離地面的高度為8 m，所以摩天輪的輪盤直徑為128－8＝120(m)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)h＝A sin (ωt＋φ)＋B，則ω＝＝，令t＝0，則sin φ＝－1，所以φ＝－.由解得所以h＝60sin ＋68＝－60cos ＋68，t∈[0，24]，故B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，h＝－60cos ＋68，t∈[0，24]，令－60cos ＋68>38，得cos <，所以＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，解得4＋24k8. BD　該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.8s，則振動(dòng)頻率為 Hz，振幅為5cm，故A錯(cuò)誤，B正確；該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的速度為零，故C錯(cuò)誤；該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零，故D正確．故選BD.
9. ABD　設(shè)t(單位：min)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，則h(t)＝50sin ＋55＝50cos ＋55，t≥0.對(duì)于A，令＝π，解得t＝12，所以經(jīng)過(guò)12 min，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閔(16)＝50cos π＋55＝30，h(32)＝h(8)＝50cos π＋55＝30，即h(16)＝h(32)，所以第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高，故B正確；對(duì)于C，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24 min轉(zhuǎn)一圈，所以第28分鐘至第40分鐘，相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘，由A可知經(jīng)過(guò)12 min，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，所以第4分鐘至第12分鐘，摩天輪高度降低，第12分鐘至第16分鐘，摩天輪高度上升，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由h(t)＝50cos t＋55≥80，得cos t≥，其中0≤t≤24，即0≤t≤2π，所以0≤t≤或≤t≤2π，解得0≤t≤4或20≤t≤24，故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中點(diǎn)P有4＋4＝8(min)距離地面不低于80 m，故 D正確．故選ABD.
10. 200　10　由題意，得振幅A＝10 cm，T＝0.5×2＝1(s)，每個(gè)周期通過(guò)的路程為40 cm，5 s共5個(gè)周期，所以5 s內(nèi)通過(guò)的路程為200 cm.經(jīng)過(guò)5個(gè)周期仍回到初始位置B，故相對(duì)平衡位置的位移為10 cm.
11. 5　由題圖可知A＝10，T＝2×＝.又因?yàn)門＝，所以ω＝100π，故I＝10sin (100πt＋).當(dāng)t＝時(shí)，I＝10sin (100π×＋)＝10sin ＝10×＝5.
12. 1　因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系式為s＝6sin ，所以T＝＝1(s)，所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為1s.
13. (1) 代入t＝0，得α(0)＝sin ＝.
(2) 由解析式可知T＝＝π，則f＝＝，
故單擺擺動(dòng)的頻率為f＝.
(3) 由(2)知，該函數(shù)的周期為T＝π，
故完成5次完整擺動(dòng)需要5π s.
14. (1) 由題意，得風(fēng)機(jī)的角速度ω＝ rad/s，
當(dāng)t＝0時(shí)，h＝60，
則解得
所以h(t)＝40sin ＋100(0≤t≤5).
(2) 令h(t)≥80，得h(t)＝40sin ＋100≥80，即cos t≤，
所以≤t≤，解得≤t≤.
因?yàn)椋剑?br/>所以當(dāng)風(fēng)機(jī)葉片端點(diǎn)P從離地面最低位置開(kāi)始，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，點(diǎn)P離地面的高度不低于80 m的時(shí)長(zhǎng)為 s.
15. (1) 設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，t≥0)，
則A＝30，b＝32，h(t)＝30sin (ωt＋φ)＋32(ω>0).
由題意，得T＝24，ω＝＝.
當(dāng)t＝0時(shí)，h(t)＝30sin φ＋32＝32，即sin φ＝0，
取φ＝0，則h(t)＝30sin ＋32(t≥0)，
所以h(6)＝30sin ＋32＝62，
故當(dāng)t＝6時(shí)，1號(hào)艙與地面的距離為62m.
(2) 由(1)知h1＝30sin ＋32，h5＝30sin []＋32，
則H＝|30sin ＋32－30sin []－32|
＝30|sin －sin (＋)|
＝30|sin －cos |
＝30|sin (－)|.
令－＝＋kπ，k∈Z，解得t＝8＋12k，k∈Z，
則有8＋12×2≤t0<8＋12×3，
解得32≤t0<44，即t0的取值范圍是[32，44).
5．7.2　三角函數(shù)的應(yīng)用(2)
1. D　因?yàn)閥1＝2sin (100πt)，y2＝2sin (100πt－)，所以y＝y(tǒng)1＋y2＝2sin (100πt)＋2[sin (100πt)－cos (100πt)]＝3sin (100πt)－cos (100πt)＝2sin (100πt－θ)，其中tan θ＝，所以兩個(gè)聲波合成后聲波的振幅為2.
2. B　因?yàn)榧椎乃俣仁且业乃俣鹊膬杀叮援?dāng)θ＝π時(shí)，兩人相遇，排除A，C；兩人的直線距離大于等于零，排除D，故選B.
3. A　由題意可知，直線t＝6是曲線y＝A sin ＋k的一條對(duì)稱軸，所以6×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z.又－π<φ<0，所以φ＝－，所以y＝A sin ＋k＝－A cos ＋k.因?yàn)槿暝缕骄鶞囟鹊淖畲笾禐?2 ℃，所以A＋k＝32①.又當(dāng)t＝2時(shí)，y＝－1，所以－A cos ＋k＝－1，所以A－2k＝2②.由①②，解得A＝22，k＝10，所以y＝－22cos ＋10，則當(dāng)t＝12時(shí)，y＝－22cos ＋10＝－12(℃).
4. C　由圖象，得解得A＝3，b＝8，ω＝，故y＝3sin (x＋φ)＋8.當(dāng)x＝14時(shí)，y＝3sin (×14＋φ)＋8＝11，則×14＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.因?yàn)?<|φ|<，所以φ＝，故y＝3sin (x＋)＋8.當(dāng)x＝9時(shí)，則y＝3sin (×9＋)＋8＝3sin ＋8＝8－.
5. C　函數(shù)y＝－sin x的周期T＝4，且x＝3時(shí)，y＝1取得最大值，所以t≥7，所以正整數(shù)t的最小值是7.
6. C　以過(guò)風(fēng)車中心垂直于地面的豎直向上的直線為y軸，該直線與地面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意，設(shè)函數(shù)解析式為h(t)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，顯然h(t)min＝2，h(t)max＝18，則A＝＝8，B＝＝10，函數(shù)f(x)的周期T＝12，則ω＝＝.因?yàn)楫?dāng)t＝0時(shí)，f(t)min＝2，即sin φ＝－1，則φ＝2kπ－，k∈Z，所以h(t)＝8sin ＋10＝－8cos t＋10，k∈Z，所以點(diǎn)P離地面的距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系式是h(t)＝－8cos t＋10.
7. C　將點(diǎn)M代入葫蘆曲線的方程可得|sin |＝，即|sin |＝1，所以＝＋kπ，解得ω＝＋k.又ω∈(1，3)，所以ω＝2，所以曲線方程為|y|＝|sin 2x|.當(dāng)x＝時(shí)，|y|＝(2－×)＝(2－×[])＝＝，所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±.
8. ABD　由題意以及函數(shù)的圖象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，所以A＝10，B＝20.因?yàn)椋?4－6，所以T＝16，故A正確；因?yàn)門＝，所以ω＝，所以y＝10sin (x＋φ)＋20.因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(14，30)，所以該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝14，且30＝10sin (×14＋φ)＋20，所以sin (×14＋φ)＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ－.又0<φ<π，所以φ＝，所以y＝10sin (x＋)＋20(0≤x≤24)，故B正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)x＝12時(shí)，y＝10sin (×12＋)＋20＝10×＋20≈27，故D正確．故選ABD.
9. BC　由題意，得A＝2，B＝1，T＝＝15，所以ω＝＝.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2sin φ＋1＝0，解得sin φ＝－.因?yàn)閨φ|<，所以φ＝－，所以y＝2sin ＋1，故A錯(cuò)誤；令y＝3，得sin ＝1，則x－＝＋2kπ，k∈N，解得x＝5＋15k，k∈N，所以x的最小值為5，即點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí)5 s，故B正確；由題意知，點(diǎn)P再次接觸水面需用時(shí)T＝×15＝10(s)，故C正確；當(dāng)x＝2.5時(shí)，y＝2sin ＋1＝2，即點(diǎn)P距水面的高度為2 m，故D錯(cuò)誤．故選BC.
10. 　由水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，得水輪轉(zhuǎn)一圈需要15 s，所以T＝15＝，所以ω＝.
11. －60cos ＋68(t≥0)　以摩天輪的中心在底面的射影為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)， 以摩天輪的中心與射影的連線為縱軸，以地面經(jīng)過(guò)射影與縱軸垂直的直線為橫軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)t＝0時(shí)，游客位于點(diǎn)P(0，8)，由題意，設(shè)h＝A sin (ωt＋φ)＋B，顯然A＝60，B＝68，φ＝－，又當(dāng)t＝15時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處，所以周期為15×2＝30，角速度ω＝＝，所以h＝A sin (ωt＋φ)＋B＝60sin ＋68，即h＝－60cos ＋68(t≥0).
12. 20　設(shè)從最低處登上摩天輪后逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t min，因?yàn)槊哭D(zhuǎn)一圈需要12 min，所以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)t min所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為，則距離地面的距離(單位：m)為f(t)＝40.5－40cos .由f(t)＝60.5，得cos ＝－，則＝2kπ＋(k∈Z)或t＝2kπ＋(k∈Z)，即t＝12k＋4(k∈Z)或t＝12k＋8(k∈Z)，故第1次距離地面60.5 m時(shí)所用時(shí)間為4 min，第2次距離地面60.5 m時(shí)所用時(shí)間為8 min，第3次距離地面60.5 m時(shí)所用時(shí)間為16 min，第4次距離地面60.5 m時(shí)所用時(shí)間為20 min.
13. (1) 如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠AOH＝θ，
所以AH＝R sin θ，所以AB＝2R sin θ，
所以AD＝R(cos θ－sin θ).
(2) 由題意，得S＝AB·AD＝2R2sin θ(cos θ－sin θ)，θ∈(0，)
則S＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ＋cos 2θ－1)
＝R2[sin －1]≤(－1)R2，
當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)取等號(hào)．
故當(dāng)θ＝時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積最大且最大為(－1)R2.
14. (1) 根據(jù)題意，設(shè)該正弦曲線的解析式為y＝A sin ωx，
則A＝4.5，T＝2×8.4＝，
所以ω＝，
故該正弦曲線的函數(shù)解析式為y＝4.5sin .
(2) 根據(jù)題意，將x＝＝2.1代入函數(shù)解析式，
得y＝4.5sin (×2.1)＝4.5sin ＝，
即公路邊緣距隧道頂端的高度為 m.
15. (1) 由表格可知，f(t)max＝7，f(t)min＝3，
所以A＝＝2，B＝＝5.
又周期為12，所以ω＝＝，
故f(t)＝2sin ＋5.
當(dāng)t＝2時(shí)，有×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又因?yàn)閨φ|<，所以φ＝，
故f(t)＝2sin (t＋)＋5.
(2) 因?yàn)樨洿枰陌踩顬?＋2＝6(m)，
所以當(dāng)f(t)≥6時(shí)就可以進(jìn)港，
令2sin ＋5≥6，
得sin (＋)≥，
則2kπ＋≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k≤t≤4＋12k，k∈Z.
又t∈[0，24)，故k＝0時(shí)，t∈[0，4]，
當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[12，16]，
故貨船可以在0時(shí)進(jìn)港，4時(shí)出港；或在12時(shí)進(jìn)港，16時(shí)出港，每次可以在港口停留4h.

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