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第三章　函數(shù)的概念與性質(zhì) 本 章 復(fù) 習
一、 單項選擇題
1 (2024山西期中)已知f(3x＋1)＝4x＋3，則f(－2)的值為(　　)
A. －5 B. －1 C. 1 D. 7
2 (2025深圳期末)已知m是常數(shù)，冪函數(shù)f(x)＝(m2－3)xm在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
3 若函數(shù)f(x)(x∈R)是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. 函數(shù)f(x)＋g(x)是奇函數(shù)
B. 函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù)
C. 函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù)
D. 函數(shù)g(f(x))是奇函數(shù)
4 (2024惠州階段練習)已知y＝f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，若y＝f(2x＋1)的最小正周期為1，則下列說法中正確的個數(shù)是(　　)
①f＋f＝0　
②f＋f＝0
③f(x)的一個對稱中心為(1，0)　
④f(x)的一條對稱軸為x＝
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 已知函數(shù)f(x)＝
若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)
A. (1，＋∞)
B. (2，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
6 已知函數(shù)f(x)＝x－m＋5，當1≤x≤9時，f(x)>1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A. B. (－∞，5)
C. (－∞，4) D. (－∞，5]
7 (2024渭南期中)已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，均有<0，且f(1)＝0，則滿足f(2x－3)>0的x的取值范圍是(　　)
A. (2，＋∞)
B. (1，2)
C. (－∞，1)∪(2，＋∞)
D. [0，2)
二、 多項選擇題
8 下列說法中，錯誤的是(　　)
A. 函數(shù)f(x)＝在定義域內(nèi)是減函數(shù)
B. 若g(x)是奇函數(shù)，則一定有g(shù)(0)＝0
C. 已知函數(shù)f(x)＝在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[－3，－1]
D. 若f(x)的定義域為[－2，2]，則f(2x－1)的定義域為
9 (2025南昌期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞增，且f(x＋2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增
B. f(x)的對稱軸為直線x＝2
C. f(－1)D. 不等式f(x＋3)>f(4x)的解集為(－∞，)∪(1，＋∞)
三、 填空題
10 已知函數(shù)y＝f(x－1)的定義域為[－2，3)，值域是[－1，2]，則函數(shù)y＝f(x＋2)的定義域是________，值域是________．
11 (2024濱海期中)函數(shù)y＝x|x－4|的單調(diào)減區(qū)間是________．
12 已知f(x)在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)，f(x＋2)是偶函數(shù)，則f(1)，f，f的大小關(guān)系為________．
四、 解答題
13 已知f(x)是定義在區(qū)間[－2，2]上的奇函數(shù)，且當x∈[－2，0)時，f(x)＝x2－x.
(1) 求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的解析式；
(2) 若f(x)≥m2－2am－9對任意x∈[－2，2]，a∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
14 (2025鄭州期末)已知函數(shù)f(x)＝是定義在區(qū)間[－1，a＋b]上的奇函數(shù)．
(1) 求f(x)的表達式；
(2) 判斷f(x)在區(qū)間[－1，a＋b]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3) 解關(guān)于t的不等式f(1－2t2)＋f(3t－2)<0.
15 已知函數(shù)f(x)＝.
(1) 若g(x)＝f(x)－2，判斷g(x)的奇偶性并加以證明；
(2) 當a＝時，先用定義法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，再求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值；
(3) 若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
本 章 復(fù) 習
1. B　由題意，得f(3x＋1)＝(3x＋1)＋，則f(t)＝t＋，故f(－2)＝×(－2)＋＝－1.
2. A　由題意，得所以m＝－2.
3. B　因為f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).對于A，f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，故A錯誤；對于B，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函數(shù)，故B正確；對于C，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(g(x))是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，g(f(－x))＝g(f(x))，所以g(f(x))是偶函數(shù)，故D錯誤．
4. B　因為y＝f(2x＋1)的最小正周期為1，所以f(2(x＋1)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋3)＝f(2x＋1)，所以2是f(x)的周期．因為f(x)為奇函數(shù)，所以f＋f＝f＋f＝0，故②正確；因為f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(x)的一個對稱中心為(1，0)，故③正確；f(x)為奇函數(shù)，有一個對稱中心為(1，0)，周期為2，不妨設(shè)滿足這三個條件且一個周期內(nèi)的函數(shù)為當x∈(－1，1)時，f(x)＝x，當x＝±1時，f(x)＝0，此時f＋f＝＋＝1≠0，故①錯誤；此時f(x)的圖象沒有一條對稱軸，故④錯誤．
5. D　當a＝0時，顯然不成立；當a>0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等價于a2－2a>0，可得a>2；當a<0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等價于a2＋2a>0，可得a<－2.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞).
6. C　令t＝，則由1≤x≤9，得t∈[1，3].由題意，得g(t)＝t2－mt＋5＝＋5－>1在區(qū)間[1，3]上恒成立，故g(t)min>1.①當≤1，即m≤2時，函數(shù)g(t)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，g(t)min＝g(1)＝6－m.由6－m>1，得m<5，所以m≤2；②當1<<3，即21，得－41，得m<，與m>6矛盾．綜上，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，4).
7. B　由題意，得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減．又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(1)＝0，由f(2x－3)>0，得f(2x－3)>f(1)，即f(|2x－3|)>f(1)，所以|2x－3|<1，即－1<2x－3<1，解得18. ABC　函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－∞，0)和區(qū)間(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，但在定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是減函數(shù)，故A錯誤；當g(x)是奇函數(shù)時，g(0)可能無意義，比如g(x)＝，故B錯誤；因為f(x)是增函數(shù)，所以解得－3≤a≤－2，故C錯誤；因為f(x)的定義域為[－2，2]，所以－2≤2x－1≤2，解得－≤x≤，即f(2x－1)的定義域為[－，]，故D正確．故選ABC.
9. BCD　因為f(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．又函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯誤，B正確；因為f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(－1)＝f(5)f(4x)，得|x＋3－2|<|4x－2|，即(x＋3－2)2<(4x－2)2，即(5x－1)(3x－3)>0，解得x<或x>1，所以不等式f(x＋3)>f(4x)的解集為∪(1，＋∞)，故D正確．故選BCD.
10. [－5，0)　[－1，2]　函數(shù)f(x＋2)的圖象可由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象向左平移3個單位長度后得到，所以定義域為[－5，0)，值域沒有改變．
11. (2，4)　當x<4時，y＝－x(x－4)＝－(x－2)2＋4，所以函數(shù)在區(qū)間(－∞，2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2，4)上單調(diào)遞減；當x>4時，y＝x(x－4)＝(x－2)2－4，即函數(shù)在區(qū)間(4，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(2，4).
12. f＜f(1)＜f　因為f(x＋2)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，即f(x)＝f(4－x)，所以f＝f＝f，f＝f＝f.又f(x)在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)，且<1<，故f＜f(1)＜f.
13. (1) 因為函數(shù)f(x)為區(qū)間[－2，2]上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝0，滿足f(0)＝02－0＝0.
當x∈(0，2]時，－x∈[－2，0)，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x.
因為f(x)是奇函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x)＝x2＋x，
所以f(x)＝－x2－x，
所以f(x)＝
(2) 如圖，作出f(x)在區(qū)間[－2，2]上的圖象，
可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞減，
所以f(x)的最小值為f(2)＝－6.
要使f(x)≥m2－2am－9對任意x∈[－2，2]，a∈[－1，1]恒成立，即－6≥m2－2am－9對任意a∈[－1，1]恒成立．
令g(a)＝－2ma＋m2－3，a∈[－1，1]，
則即
可得－1≤m≤1，
所以實數(shù)m的取值范圍是[－1，1].
14. (1) 因為函數(shù)f(x)＝是定義在區(qū)間[－1，a＋b]上的奇函數(shù)，
所以a＋b＝1且f(0)＝＝0，
所以a＝1，b＝0，則f(x)＝，
此時f(－x)＝＝－f(x)恒成立．
(2) f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增，證明如下：
任取－1≤x1則f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
又x1x2<1，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，
故f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增．
(3) 因為f(x)為奇函數(shù)，
所以f(1－2t2)<－f(3t－2)＝f(2－3t).
又f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增，
所以解得≤t<，
綜上，t∈.
15. (1) 因為g(x)＝f(x)－2＝x＋(x≠0)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，
且g(－x)＝－x－＝－g(x)，
所以g(x)為奇函數(shù)．
(2) 當a＝時，f(x)＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1則f(x1)－f(x2)＝<0，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.
(3) 若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，
則>0對任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a>－(x2＋2x)對任意x∈[1，＋∞)恒成立，
所以問題轉(zhuǎn)化為a大于函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最大值，且函數(shù)φ(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以φ(x)的最大值為φ(1)＝－3，
故實數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞).

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