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第四章　指數函數與對數函數 本 章 復 習
一、 單項選擇題
1 計算27×7log72－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25的值為(　　)
A. 20 B. 21 C. 9 D. 11
2 (2024重慶育才中學期末)函數f(x)＝－ln x的零點所在的區間是(　　)
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
3 (2025山西期末)已知a＝log3，b＝20.2，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A. aC. c4 已知f(x)＝1－是定義域為R的奇函數，且對任意實數x，都有f(x2－mx＋2)>，則實數m的取值范圍是(　　)
A. (－2，2) B. (0，2)
C. (－4，4) D. (2，＋∞)
5 (2025北京期末)函數f(x)＝log2(|x|－1)的大致圖象為(　　)
A B C D
6 若函數f(x)＝是R上的增函數，則實數a的取值范圍為(　　)
A. (1，＋∞) B. (1，8)
C. (4，8) D. [4，8)
7 (2025石嘴山期末)某駕駛員喝了m L酒后，血液中的酒精含量f(x)(單位：mg/mL)隨時間x(單位：h)變化的規律可用函數f(x)＝近似表達．《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰》規定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.02 mg/mL.此駕駛員想要開車至少要過(不足1 h部分算1 h，結果精確到1 h)(　　)
A. 2 h B. 3 h C. 4 h D. 5 h
二、 多項選擇題
8 (2025南京期末)若實數a，b滿足2a<2b<1，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A. ac2B. >
C. log0.2(a2＋1)D. >
9 已知函數f(x)的定義域為R，且對任意x∈R，都有f(x)＝f(－x)及f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，當x1，x2∈[0，2]且x1≠x2時，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，則下列結論中正確的是(　　)
A. f(2) ＝0
B. 函數f(x)在區間[－6，－4]上單調遞增
C. 直線x＝－4是函數f(x)圖象的一條對稱軸
D. 方程f(x)＝0在區間[－6，6]上有4個不同的實根
三、 填空題
10 已知2lg ＝lg x＋lg y，則的值是________．
11 (2025沙坪壩期末)已知函數f(x)＝4x－3×2x+1－3，x∈(－∞，2]，則f(x)的值域為________．
12 (2025杭州期末)設a>0，且a≠1，已知函數f(x)＝的值域為[2，＋∞)，則實數a的取值范圍是________．
四、 解答題
13 (2024延邊期末)設函數f(x)＝loga(2＋x)＋loga(2－x)，且f(0)＝2.
(1) 求實數a的值及函數f(x)的定義域；
(2) 求函數f(x)在區間[0，]上的最小值．
14 設函數f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.
(1) 若t＝log2x，求t的取值范圍；
(2) 求函數f(x)的最值，并求出取最值時，對應的x的值．
15 某地為踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，大力開展植樹造林．假設一片森林原來的面積為a畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當面積是原來的2倍時，所用時間是10年．
(1) 求森林面積的年增長率；
(2) 到今年為止，森林面積為原來的倍，則該地已經植樹造林多少年？
(3) 為使森林面積至少達到6a畝，至少需要植樹造林多少年(精確到整數)
(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
本 章 復 習
1. B　原式＝(33)×2－log44-3＋2－2(lg 2＋lg 5)＝9×2＋3＋2－2＝21.
2. C　f(x)＝－ln x的定義域為(0，＋∞)，又y＝與y＝－ln x在區間(0，＋∞)上單調遞減，所以f(x)＝－ln x在區間(0，＋∞)上單調遞減．又f(2)＝－ln 2>0，f(3)＝1－ln 3<0，所以f(2)·f(3)<0，根據函數的零點存在定理可得函數f(x)＝－ln x的零點所在的區間為(2，3).
3. B　由題意，得a＝log31，04. A　因為f(x)＝1－是定義域為R的奇函數，所以f(0)＝0，解得a＝2.又f(x2－mx＋2)>＝f(1)且f(x)單調遞增，所以x2－mx＋1>0恒成立，所以m2－4<0，解得－25. A　由|x|－1>0，得x>1或x<－1，即函數f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，顯然定義域關于原點對稱，可排除B，C；又f(－x)＝log2(|－x|－1)＝f(x)，所以f(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱，排除D.故選A.
6. D　由f(x)是R上的增函數，得解得4≤a<8.
7. C　顯然在1個小時內顯然不能在開車，因此在x>1時解不等式f(x)≤0.02，此時不等式為×x≤0.02，即x≤.因為y＝x是減函數，又3＝>，4＝<，所以x＝的解x0滿足38. BC　由函數y＝2x為R上的增函數，2a<2b<1＝20，得a0，故>，故B正確；對于C，因為a|b|>0，可得a2>b2>0，所以a2＋1>b2＋1>0.因為函數y＝log0.2x為區間(0，＋∞)上的減函數，所以log0.2(a2＋1)9. ACD　由題意，得函數f(x)的定義域為R，因為對于任意x∈R，都有f(x)＝f(－x)，所以函數f(x)為偶函數．又因為當x1，x2∈[0，2]且x1≠x2時，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，所以函數f(x)在區間[0，2]上單調遞增．由f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，可得f(2)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函數f(x)是周期為4的周期函數，則函數圖象的示意圖如圖所示．由圖象可得f(2)＝0，故A正確；函數f(x)在區間[－6，－4]上單調遞減，故B錯誤；直線x＝－4是函數f(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；方程f(x)＝0在區間[－6，6]上共有4個不同的實數根，故D正確．故選ACD.
10. 1＋　由題意，得 lg ＝lg (xy)，故＝xy，即 x2－6xy＋y2＝0，所以－6×＋1＝0，所以＝3±2.因為>0及 x>0，y＞0，所以x＞y＞0，即＞1，所以＝3＋2，所以＝1＋.
11. [－12，－3)　令t＝2x，則012. (1，]　因為f(x)＝當x≤2時，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，則f(x)在區間(－∞，2]上單調遞減，此時f(x)≥f(2)＝2，即f(x)∈[2，＋∞).要使得函數f(x)的值域為[2，＋∞)，所以當x>2時，logax≥2，所以解得113. (1) 由f(0)＝2，得2loga2＝2，則loga2＝1，解得a＝2.
由解得－2所以函數f(x)的定義域為(－2，2).
(2) 由(1)得f(x)＝log2(2＋x)＋log2(2－x)＝log2(4－x2)，
因為x∈[0，]，令t＝4－x2，則t∈[1，4]，
設g(t)＝log2t，則函數g(t)在區間[1，4]單調遞增，
所以g(t)min＝g(1)＝0，即當t＝1，x＝時，f(x)取得最小值0，
故f(x)在區間[0，]上的最小值為0.
14. (1) 因為t＝log2x，≤x≤4，
所以log2≤t≤log24，所以－2≤t≤2.
故t的取值范圍是[－2，2].
(2) f(x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(log2x)2＋3log2x＋2.
設log2x＝k，
則y＝k2＋3k＋2＝－(－2≤k≤2)，
所以當k＝－，即x＝時，f(x)min＝－；
當k＝2，即x＝4時，f(x)max＝12.
15. (1) 設年增長率為x，
則a(1＋x)10＝2a，即(1＋x)10＝2，
解得x＝2－1，
所以森林面積的年增長率為2－1.
(2) 設已植樹造林n年，
則a(1＋2－1)n＝a，即2＝2，
可得＝，解得n＝5，
所以該地已經植樹造林5年．
(3) 設至少需要植樹造林m年，
則a(1＋2－1)m≥6a，可得2≥6，
所以≥log26＝＝＝1＋，
即m≥10＋≈10＋≈25.9，
所以至少需要植樹造林26年．

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