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廣西欽州市第十三中學2025秋季學期高一年級第三周考試數學試卷
注意事項:
1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，
2.四答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需
改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。四答非選擇題時,將答案寫在簽題卡上。
寫在本試卷上無效。
3.考試結來后,將本試卷和答題卡一并交回
一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）
1．已知且，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C． D．8
2．若，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
3．若，則的最小值為（ ）
A．13 B．26 C． D．
4．若，則的值可能是（ ）
A．B．C． D．
5．若，則與的大小關系是（ ）
A．B．C． D．
6．若，則恒成立的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
7．某工廠第一年的年產量為A，第二年的年產量的增長率為，第三年的年產量的增長率為，這兩年的年產量的平均增長率為，則（ ）
A． B． C． D．
8．設，則下列選項中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分）
9．設正實數滿足，則（ ）
A．有最大值為B．有最小值為C．有最小值為5 D．有最大值為
10．下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則B．若，則C．若，則 D．若，則
11．若，則下列命題正確的是（ ）
A．若且，則 B．若，則
C．若，則 D．若且，則
第II卷（非選擇題）
三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知，，且，則的最小值為 .
13．不等式的解集是 .
14．劉老師沿著某公園的環形道（周長大于）按逆時針方向跑步，他從起點出發、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑，軟件會在運動軌跡上標注出相應的里程數.已知劉老師共跑了，恰好回到起點，前的記錄數據如圖所示，則劉老師總共跑的圈數為 .

四、解答題（共5小題，共77分）
15．已知正數、滿足．
(1)求的最大值，并求出此時、的值；
(2)求的最小值，并求出此時、的值．
16．（1）已知，，求的取值范圍；
（2）已知，且，求的最小值.
17．已知為正實數，利用基本不等式證明（1），確定（2），并指出等號成立的條件，然后解（3）中的問題．
(1)請根據基本不等式，證明；
(2)請根據（1）中的結論，確定與的大小關系（無須推導）；
(3)若，求的最小值．
18．某廠家擬2024年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足(為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件.已知生產該產品的固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（此處每件產品年平均成本按元來計算）.
(1)求的值；
(2)該廠家2024年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
19．對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點作如下定義：若，那么稱點是點的“上位點”.同時點是點的“下位點”；
(1)試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；
(2)已知點是點的“上位點”，判斷點是否既是點的“上位點”，又是點的“下位點”，證明你的結論；
(3)設正整數滿足以下條件：對集合內的任意元素，總存在正整數，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求正整數的最小值.
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D A B B C BC ACD
題號 11
答案 BC
12． 13． 14．8
15．(1)當且僅當時，的最大值為1
(2)，時，的最小值為
16．（1）；（2）.
17．（1）因為，所以，當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立．
又，當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立．
（2），當且僅當時等號成立．
推導如下：
由于，當且僅當時等號成立，
令， 得，
即，故，
所以，當且僅當時等號成立.
（3）因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，
因此，當且僅當時等號成立，所以的最小值為3．
18．(1)(2)3萬元
19．(1)
（2）點既是點的“上位點”，又是點的“下位點”，證明如下：
因為點是點的“上位點”，所以，
因為，
所以，所以點是點的“下位點”，
因為，
所以，所以點是點的“上位點”；
所以點既是點的“上位點”，又是點的“下位點”；
（3）若正整數滿足條件，在時恒成立，
由（2）中的結論可知，時，滿足條件，
若，由于，
則對時不恒成立，
因此的最小值為4039．

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