資源簡介

2025年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽）
暨2025年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽
一試試題(B卷)
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.
1.設(shè)集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14，則A∩B的
元素個數(shù)為
2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，則cos2a的值為
3.若1og3x,log(3x,1og2,(9x)成等比數(shù)列，則正數(shù)x的值為
4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i與z2+2i均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則23+3i的值
為
5.若x,y>0且x+y=1,則y+1++2的最小值為
X
y
6.設(shè)五，E分別為橢圓T子+
+京=1(a>b>0)的左、右焦點，若T上存在
一點P,使得直線FP,FP的斜率分別為號，2，則r的離心率為
7.平面中的3個單位向量8,6，c滿足a-6≥分，6c≤-，則6+3+d的最
大值與最小值之和為
8.從20個數(shù)1,2,3，…，20中選出4個不同的數(shù)（不計順序），使它們的乘積為
2025的倍數(shù)，則不同選法的數(shù)目為
二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過
程或演算步驟。
9.(本題滿分16分)設(shè)f(x)是定義域為R的函數(shù)，g(x)=(x-1)f(x),
h()=)+x.若g為奇函數(shù)，)為偶函數(shù)，求f03f9的值，
f(2)f(4)…f(100)
10.（本題滿分20分)在平面直角坐標(biāo)系中，一條過點(0,1)的直線1經(jīng)過點
集工={x,川產(chǎn)=x+3引x劃中的四個點(x,)6=12,3,4).求1+1+上+1
X1 X2 X3 X4
的取值范圍，
11.（本題滿分20分)對整數(shù)n≥3，在一個棱長均為1的正n棱柱的所有3n
條棱中，隨機(jī)選取兩條不同的棱1，，將事件“1所在直線與，所在直線平行”發(fā)
生的概率記為P·是否存在兩個不同的正整數(shù)k,1(k,1≥3)滿足P=P？證明你
的結(jié)論.2025年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽）
暨2025年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽
一試(B卷)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
說明：
1.評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各
題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不得增加其他中間檔次
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷
時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，
第10、11小題5分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分，
1.設(shè)集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14}，則A∩B的
元素個數(shù)為
答案：2.
解：在B的元素中，2°，2"，2都不是平方數(shù)，2小于2025，所以它們都不
屬于A,而22=642∈A,2=1282∈A,所以A∩B的元素個數(shù)為2.
2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，則cos2a的值為
答案：0.
解：sina=c0s20c0s25°-sin20°sin25°=c0s(20°+259=cos45°=Y5
故cos2a=1-2sin2a=0.
3.若logx,log(3x),log7(9x)成等比數(shù)列，則正數(shù)x的值為
答案：3誠號
解設(shè)g=,則歲2告設(shè)特比數(shù)列.所以生當(dāng)=2告，化
2,3
得？+21-3=0，解得1=1或-3.相應(yīng)有x==3或27
4.設(shè)復(fù)數(shù)：滿足z+i與z2+2i均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則2+3i的值
為
答案：√5】
解：由z+ieR,可設(shè)z=a-i(a∈R),則z2+2i=(a-i)2+2i.
再由z2+2i∈R可知m(z2+2i)=-2a+2=0,得a=1,故z=1-i.
計算得z3=-2-2i,因此3+31=-2+i=5,
5.若xy>0且x+y=1,則+1++2的最小值為
答案：3+2W6.
解：由條件并利用基本不等式，可知
y+1+x+2_+22+3r+22=3+2Y+3x
y
x y
≥3+2，
2y.3x=3+2N6.
當(dāng)=3x(即x=6-2,y=3-6)時，+1++2取到最小值3+26.
x y
6設(shè)R,￡分別為橢圓r:號+茶=1>b>0)的左、右焦點，若r上存在
一點P,使得直線FP,P的斜率分別為號2，則Γ的離心率為
答案：⑤
解：將△PFF的三個內(nèi)角∠FPF,∠PFF,∠PFF分別記為a,B,Y·
由條件易知P在第一象限，anB=2tam)=-2.進(jìn)而
tana=tan(180°-B-y)=-tan(8+y）)=
tan 8+tan3
1-tan Btany 4
所以0m8-5=2
5
由于FF是T的焦距，PF+PE是r的長軸長，且由正弦定理知
FR PFI_IPRI
sina sinB sin
3
所以下的離心率e=
FR
sina
5
5
PF+PF siny+sinB
2w5+5
5
5
,平面中的3個單位肉盤云.五滿足5≥分，6≤寧則6+5+的最
大值與最小值之和為
答案：5+1.
解：由條件知(a+b2=2+2a6≥3，(6+2=2+26.c≤1，結(jié)合三角不等
式知5-1=5-s6+-sa++s回+6+s+1=2.
當(dāng)=05-傳-傳-}.6+6+到攝大2.
當(dāng)-停5-停--(lo時，+6+取到最小v5-1.
因此a+b+c的最大值與最小值之和為2+(5-1)=√5+1.
8.從20個數(shù)1,2,3，…，20中選出4個不同的數(shù)（不計順序），使它們的乘積為
2025的倍數(shù)，則不同選法的數(shù)目為
2

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