資源簡介

2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽)
暨2025年全國高中數學聯合競賽
加試(B卷)參考答案及評分標準
說明：
1.評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分。
2,如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可
參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.
一.（本題滿分40分）設a,b,c>0,a+b+c=3,記
S=a+ab+abc+bc+c.
(1)證明：S≤5：
(2)若S=3,求b的取值范圍，
解：(I)由于S=abc+(a+cb+1),利用均值不等式及a+b+c=3,得
c≤++9
a+e+s++=4
兩式相加得S≤5.
…20分
(2)由S=3及a+b+c=3,可知b(a+ac+c)=S-a-c=b,又b>0,故
a+ac+c=1,即(a+1)(c+1)=2,
由a>0知a+1>1,由c>0知a+1=2<2.注意到函數f=x+在
c+1
[山，√2]上嚴格減，在[V2,2]上嚴格增，且f)=3,(W2)=22,f(2)=3,故白
a∈0,2)知a+1+2∈22,3).
a+1
從而6=3-a-c=5-+1+吊25-2，
…40分
1
二.（本題滿分40分）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，∠BAC平
分線上的兩點E,F滿足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圓與
△AEC的外接圓交于A及另一點P.證明：A,P,D三點共線.
(答題時請將圖畫在答卷紙上)
D
證明：用A,B,C分別記△ABC的三個內角，4，b,c分別表示角A,B,C所對
邊的長.由條件知∠BAE=∠FAC=號，結合LAB=∠CFA=180P-A,可知
EB1=4cF=蘭所以能-二-2cas
…10分
設△AFB的外接圓與△AEC的外接圓分別再次交邊BC于點S和T,
連接S,則∠CSF=∠BAF=子，并且
∠SFC=360°-∠CFA-∠AFS=(I80°-∠CFA)+(180°-∠AFS)=A+B,
故由正弦定理知CS-sin∠SFC。sin(A+B)_sinC
CF sin.∠CSF
sin4
A
sin
2
2
于是Cs=sinC
.cr=sinC.AC=2sin
-b=2bc
sin
A
A
sin
sin
a
2
2
cos
2
同理得BT=2bc,所以BT=CS.
…30分
a
結合DB=DC,可得DS=DT,所以DB·DS=DC·DT,即點D在△AFB
的外接圓與△AEC的外接圓的根軸上，故A,P,D三點共線.
…40分
22025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽)
暨2025年全國高中數學聯合競賽
加試試題（B卷)
一。
(本題滿分40分)設a,b,c>0,a+b+c=3,記
S=a+ab+abc+bc+c.
(1)證明：S≤5；
(2)若S=3,求b的取值范圍.
二.（本題滿分40分）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，∠BAC平
分線上的兩點E,F滿足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圓與
△AEC的外接圓交于A及另一點P.證明：A,P,D三點共線.
(答題時請將圖畫在答卷紙上)
B
三.（本題滿分50分)給定整數n≥2.設A是由n個不同的正整數構成的
集合，記m為集合B={x+z|x,y,z∈A的元素個數.證明：m≥n2+n-1,并
且存在集合A使得m=n2+n-1.
四.（本題滿分50分）求具有下述性質的所有正整數n:存在n的一個倍數
N,其在十進制表示下含有0,1,2，，9中每一個數碼，并且對任意
i∈{0，l,2,…,9},可以刪去N的十進制表示中的一個數碼i,使所得的數仍是n
的倍數.

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