資源簡介

湖南省益陽市2026屆高三9月教學質量監測數學試題
注意事項：
1.本試卷包括試題卷和答題卡兩部分；試題卷共4頁，19小題，滿分150分.考試時量120分鐘.
2.答題前，考生務必將自己的姓名 考號等填寫在答題卡指定位置.請按答題卡的要求在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作答無效.
3.考試結束后，將答題卡交回.
試題卷
一 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則（ ）
A. B. C. D. 或
2. 已知復數，則（ ）
A. B. 2 C. D. 10
3. 若，則（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函數的圖象關于直線對稱，則的取值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 在中，為的中點，為平面內一點，且，則（ ）
A. 最大值為
B. 的最大值為
C. 的最大值為
D. 的最大值為
6. 四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數．根據四名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有出現點數6的是（ ）
A. 平均數為3，中位數為2 B. 平均數為2，方差為2.4
C. 中位數為3，眾數為2 D. 中位數為3，方差為2.8
7. 已知，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于兩點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二 多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 在正方體中，為的中點，，則（ ）
A.
B. 平面
C. 與平面所成的角為
D. 四棱錐體積為9
10. 在平面直角坐標系中，圓的半徑為1，點在圓上，則（ ）
A. 軸與圓可能相切
B 直線與圓可能相交
C. 軸被圓所截得的弦長的最大值是2
D. 原點與圓上的點的距離的最大值為
11. 若，當時，記.數列的通項公式為，其前項和為，設，則下列結論正確的有（ ）
A.
B. 若，則或16
C.
D. ，當時，
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 曲線在點處的切線的方程為______．
13. 我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層燈數為_____________
14. 已知定義在上的奇函數滿足，且當時，.函數與函數的圖象的所有交點的橫坐標之和為__________.
四 解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.
15. 在5道數學試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出題不再放回.
（1）如果從中抽2道題，求恰好抽到一道代數題和一道幾何題的概率；
（2）如果從中抽3道題，記表示抽到代數題的道數，求隨機變量的分布列和數學期望.
16. 已知的內角所對的邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
17. 如圖，在三棱柱中，側面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點分別是的中點.
（1）證明：平面平面；
（2）若，點在直線上，且平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長.
18. 已知函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當時，，求的取值范圍；
（3）若，證明：.
19. 動圓與圓和圓都內切，記動圓圓心的軌跡為.
（1）求方程；
（2）已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點處的切線方程為：，試運用該性質解決以下問題：點為直線上一點（不在軸上），過點作的兩條切線，切點分別為.
（i）證明：直線過定點；
（ii）點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，設的面積分別為，求的最大值.
數學參考答案及評分標準
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
9．BD 10．AC 11．ACD
11題C選項提示：當時，．
當時，．
因為．
又滿足的整數n共有2m個．
故．
所以，．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12． 13．3 14．-9
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
解：（1）設事件“從中抽2道題，恰好抽到一道代數題和一道幾何題”，
. 5分
（2）根據題意，可能的取值為1,2,3
11分
所以的分布列為
1 2 3
故隨機變量的期望． 13分
16.（本小題滿分15分）
解：（1）由已知及正弦定理得． 2分
化簡得．
因為，所以． 4分
又，所以，. 6分
（2）由及得：. 8分
11分
在△ABC中，由（1）知，所以，，.
故，所以，. 15分
17．（本小題滿分15分）
解：（1）如圖，取的中點，連接，因為側面A1ACC1為菱形，∠A1AC=60°，
所以．又因為平面A1ACC1⊥平面ABC，
平面A1ACC1∩平面，
平面A1ACC1，所以平面ABC． 2分
又因為E是A1C1的中點，所以，四邊
形A1OCE為平行四邊形，所以A1O∥CE．所以CE⊥平面ABC． 4分
又平面DEC，所以平面DEC⊥平面ABC． 6分
（2）連接，因為為等邊三角形，則．
所以兩兩垂直．則以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
因為AB=2，所以．
故，
．
設，則，
即．， 9分
．
設平面的一個法向量為，
則則，取，則，．
故平面的一個法向量為．
又由（1）可知平面的一個法向量為， 12分
由題意可得，即．
解得．又，所以，線段CF的長為2． 15分
18．（本小題滿分17分）
解：（1）當a=2時，．
所以，． 2分
所以，當時，，單調遞增．
當時，，單調遞減．
綜上，的單調遞增區間為，單調遞減區間為． 4分
（2）當，成立，等價于當時，成立．
因為，設，則． 6分
所以，單調遞減，即單調遞減．
當時，．所以，單調遞減，，符合題意. 9分
當時，，所以存在，使得當時，．
此時單調遞增，，不符合題意.
綜上，. 11分
（3）由（2）知，當時，成立，令，，
則． 13分
當時，． 15分
所以，．
當時，．
綜上，． 17分
19．（本小題滿分17分）
解：（1）設動圓的半徑為r，由已知得圓C1和圓C2的半徑分別為，
因為與C1，C2都內切，所以|C1|=-r,|C2|=r -,
所以|C1|+|C2|=，又C1（-2,0），C2（2,0），
故|C1C2|=4<．所以，點的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓． 3分
設的方程為：，則2a=,2c=4,所以b2=a2-c2=4．
故的方程為． 4分
（i）證明：設M（x1，y1），N（x2，y2），P（8，t）（t≠0），由題意得，切線PM的
方程為，切線PN的方程為， 6分
因為兩條切線都經過點P（8，t），所以，
故直線MN的方程為：，當y=0時，x=1,
故直線MN過定點（1,0）． 8分
（ii）設直線MN的方程為：x=my+1(m≠0),
聯立，整理得(m2+2)y2+2my-7=0,
由韋達定理得， 10分
又(x1, -y1),所以直線N的方程為，令y=0得，
14分
所以，直線M'N經過定點Q(8,0)．又C2(2,0),
所以， ．
當且僅當時，即時取等號．所以，． 17分

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