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專題提優特訓 9 用二次函數解決實際問題
題型1 用二次函數解決銷售問題
1.(2025·山東濟南萊蕪區期末)網絡直播銷售已經成為一種熱門的銷售方式，某生產商在一銷售平臺上進行直播銷售板栗.已知板栗的成本價為6元/kg，每日銷售量 y(kg)與銷售單價x(元/kg)滿足一次函數關系，表格記錄的是有關數據，設公司銷售板栗的日獲利為w(元).
x/(元/ kg) 7 8 9
y/ kg 2700 2600 2500
(1)求日銷售量 y 與銷售單價x之間的函數關系式.(不用寫自變量的取值范圍)
(2)當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利w最大 最大利潤為多少元
題型2 用二次函數解決拱橋類問題
2.(2025·浙江嘉興期末)如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬12 m，橋洞頂部離水面4m .
(1)請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求出拋物線的函數解析式.
(2)若有一艘船的寬度為 4m ，高度為3m，則這艘船能否從該橋下通過
題型3 用二次函數解決噴水問題
3.(2025·浙江金華義烏期末)如圖(1)，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口 H 離地豎直高度 OH 為1.2m，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象(如圖(2))；把綠化帶橫截面抽象為矩形 DEFG，其水平寬度DE=3m,豎直高度 EF=1m.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點 A 離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，灌溉車到綠化帶的距離OD 為d(單位:m).
(1)求上邊緣拋物線的函數解析式；
(2)求出下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d 的取值范圍.
題型4 用二次函數解決投(踢、打)球問題
4.(2025·河南鄭州期末)某校羽毛球館有一架高度可調的羽毛球發球機，如圖(1)，發球機固定在地面點O處，其彈射出口記為點A，羽毛球的運動路徑呈拋物線狀，如圖(2)，設飛行過程中羽毛球與發球機的水平距離為x(米)，到地面的高度為y(米)，y與x的部分對應數據如表所示.
x/米 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y/米 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16
(1)求y與x 的函數解析式.
(2)求羽毛球的落地點 B 到點O 的水平距離.
(3)調整彈射出口 A 的高度可以改變球的落地點，為了訓練學員的后場能力，需要使羽毛球落地點到點 O 的水平距離增加1米.若此過程中拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，則發球機的彈射口高度OA 應調整為多少米
題型5 用二次函數解決圖形問題
5.方程思想(2025·上海浦東新區期末)一經營者要把如圖所示的區域分隔成三個面積相同的商鋪出租.已知鋪面兩面靠墻，墻長分別為 8 米和30米，三間商鋪都在沿街開一個1米寬的門.經營者共用去板材45米(不計損耗).
(1)若三間商鋪總面積為 180m ，求每間商鋪的長和寬分別是多少
(2)小王作為個體經商戶，希望同時租下三間鋪面開設不同的商鋪，但要求在不增加板材的基礎上，使這三間商鋪的總面積達到最大.已知商鋪的租金為每月每平方米200元，請問小王每月需要付給經營者多少租金
1.(1)設y與x之間的函數關系式為y= kx+b(k≠0),把x=7,y=2700和x=8,y=2600代入,得
解得
∴日銷售量 y與銷售單價x 之間的函數關系式為y=-100x+3400.
(2)由題意,得ω=(x-6)(-100x+3400)
=-100x +4000x-20400=-100(x-20) +19600.
∵a=-100<0,對稱軸為直線x=20,
∴當x=20時,ω有最大值為19600元.
∴當銷售單價定為20元時，銷售這種板栗日獲利w最大，最大利潤為19600元.
2.(1)如圖，以水面中心為坐標原點，以水面所在直線為x軸，垂直水面方向為y軸，建立平面直角坐標系，
則A(-6,0),B(6,0),頂點(0,4).
設拋物線的函數解析式為 ,把B(6,0)代入,得36a+4=0,解得
∴拋物線的函數解析式為
(2)∵船的寬度為4m,
∴令x=2,則
∴這艘船能從該橋下通過.
3.(1)由題意,知A(2,1.6),H(0,1.2),
設上邊緣拋物線的函數解析式為 將H(0,1.2)代入, ,得1.2=4a+1.6,解得
(2)由題意,知H(0,1.2)關于直線x=2的對稱點為(4,1.2),∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m 得到的.令y=0,得
解得x=6或x=-2(舍去)，∴上邊緣拋物線與x軸交于點(6,0),∴B(2,0).
(3)將y=1代入 得 ，整理，得(
解得 或 (舍去).
∵當x>2時，y隨x的增大而減小，
∴當0≤x≤6時,要使y≥1,則.
由下邊緣拋物線，得d≤OB=2.
綜上所述，d的取值范圍為
4.(1)由表格信息可知,拋物線的頂點為(2,2.25),
∴可設拋物線的函數表達式為.
∵圖象過點(2.2,2.24),
解得a=-0.25,
∴y關于x的函數表達式為
(2)當y=0時,
解得 (負值，舍去)，
∴羽毛球的落地點 B 到發球機點O的水平距離為5 米.
(3)∵拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，
∴可設拋物線的函數表達式為
∵要使發射出的羽毛球落地點到O 點的水平距離增加1米,∴當y=0時,x=5+1=6,
,解得k=4,
當x=0時,
故發球機的彈射口高度 OA 應調整為3米.
5.(1)設垂直于30米墻的一邊長x米,則GB=BD=DF= 米,由題意,得3x(16-x)=180,整理得. 解得.
由題意，得 解得6≤x≤8,∴x=6,∴16-x=10.
故每間商鋪的長為10米，寬為6米.
(2)設三間商鋪的總面積為 y平方米，則
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=8.
∵6≤x≤8,∴當x=8時,y最大,最大值為192,
∴總的租金為192×200=38400(元).
故小王每月需要付給經營者 38400元租金.
易錯警示 本題考查二次函數的應用.用代數式表示出每個小矩形的長容易出錯，應加以注意.

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