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22.3實際問題與二次函數
第 1課時 實際問題與二次函數 (1)
基礎鞏固提優
1.(2024·哈爾濱中考)二次函數 的最小值是（ ）.
A. - 1 B. 1 C. 2 D. 3
2.新情境飛機滑行 飛機著陸后滑行的距離s(單位：m)與滑行時間t(單位：s)的函數解析式為 飛機著陸后最后3s滑行的距離為( ).
A. 800m B. 782m C. 222m D. 18m
3.(2025·北京 13 中分校期中)二次函數y=-(x- 的最大值是 .
4.跨學科 小球運動 根據物理學規律，如果不考慮空氣阻力，以40 m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度 h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間的函數關系是： 則小球運動中的最大高度是 m.
5.教材P49問題·變式如圖，某高爾夫球手擊出一個球，球的高度h(m)和經過的水平距離d(m)可用公式 來估計.
(1)球上升的最大高度是多少
(2)若在擊球點 A 正東方向 101 m處有一球洞B，判斷此高爾夫球手這一桿能否把球從點A 直接打入球洞點B，并說明理由.
思維拓展提優
6.(2023·杭州中考)設二次函數y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是實數),則( ).
A.當k=2時，函數y的最小值為-a
B. 當k=2時,函數y的最小值為-2a
C.當k=4時，函數y的最小值為-a
D. 當k=4時,函數y的最小值為-2a
7.(2024·眉山中考)定義運算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),則函數y=(x+1) 2的最小值為( ).
A. - 21 B. - 9 C. - 7 D. - 5
8.(浙江溫州蒼南中學自主招生)二次函數 2ax+a在0≤x≤2上有最小值-6,則a 的值為 .
9.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率 y 與加工時間x(單位：min)滿足函數表達式 則最佳加工時間為 min.
10.(2024·泰安中考)如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園.已知房屋外墻長40 米，則可圍成的菜園的最大面積是 平方米.
11.(2024·徐州中考)如圖,A,B 為一次函數y=一x+5的圖象與二次函數 的圖象的公共點，點A，B的橫坐標分別為0，4.P 為二次函數 的圖象上的動點，且位于直線AB 的下方，連接PA，PB.
(1)求b,c的值;
(2)求△PAB 的面積的最大值.
12.(2024·南京秦淮區一模)已知周長為a cm(a 為定值)的矩形的一邊長 y(cm)與它的鄰邊長x(cm)之間的函數圖象如圖所示.
(1)a 的值為 .
(2)當x為何值時，該矩形的面積最大 最大面積是多少
延伸探究提優
13.中考新考法新定義問題我們把自變量為x 的函數記作f(x),f(x )表示自變量x=x 時,函數 f(x)的值.已知函數 f(x)=
(1)當-1≤x≤1時,不等式 f(x)≥2x+2m+1恒成立，求實數m 的取值范圍；
(2)設函數g(x)=x+b,若對任意 存在 使得 求實數b的取值范圍.
中考提分新題
14.中考新考法 面積最值問題 (2023·濰坊中考)工匠師傅準備從六邊形的鐵皮 ABCDEF 中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示.經測量，AB∥DE,AB 與DE 之間的距離為2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°. MH,HG,GN 是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當MH 的長度為多少時，矩形鐵皮 MNGH 的面積最大 最大面積是多少
1. D
2. D [解析]當s 取得最大值時,飛機停下來,s =80t— ,即當t=20時,飛機滑行了800 m停了下來,當t=17時,s=782, 800-782=18(m).故選 D.
3.-3 [解析]∵二次函數 中,a=-1<0,∴當x=h時，二次函數 的最大值是-3.
4.20 [解析] ∴當t=2時，h有最大值，最大值為20.
歸納總結 求最值的方法可用配方法或公式法.一般地，當a>0(或a<0)時,拋物線 的頂點是最低(高)點，也就是說，當 時，二次函數y= 有最小(大)值
∴當d=50時,h 有最大值,為25.
∴球上升的最大高度是25m.
(2)不能.理由如下：
依題意，得 解得 (舍去).
∵100<101，∴此高爾夫球手這一桿不能把球從點 A 直接打入球洞點B.
6. A [解析]令y=0,則(x-m)(x-m-k)=0,∴x =m,x =m+k,∴二次函數y=a(x-m)(x-m-k)與x軸的交點坐標是(m,0),(m+k,0),∴二次函數的對稱軸是直線 當 時，y有最小值，此時 當k=2時,函數y的最小值 當k=4時，函數y的最小值為 故選A.
7. B[解析]由題意,得.y=(x+1) 2=(x+1+2×2)·(x+1-2)=(x+5)(x-1),即 2) -9,∴函數y=(x+1) 2的最小值為-9.故選 B.
8.-6或 [解析] 的對稱軸為直線x=a.①當0≤a≤2時,∵二次函數 y= 在0≤x≤2上有最小值-6, 2a·a+a,解得 ，不符合題意；②當a<0時，函數在0≤x≤2上y隨x 增大而增大.∵二次函數 在0≤x≤2上有最小值-6,∴-6= ,解得a=-6;③當a>2時,函數在0≤x≤2上y隨x增大而減小.
∵二次函數 在0≤x≤2上有最小值-6, 解得
9.3.75 [解析]∵ ∴當 時，y取得最大值，故最佳加工時間為3.75 min.
10.450 [解析]由題意，設垂直于墻的邊長為x 米，則平行于墻的邊長為(60—2x)米.∵房屋外墻長為 40 米，∴0<60-2x≤40,∴10≤x<30.菜園的面積=x(60- ∴.當x=15時,可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米.
11.(1)當x=0時,y=-x+5=5;當x=4時,y=-x+5=1,∴A(0,5),B(4,1),代入二次函數的解析式，
得 解得
(2)由(1)可得 設 ,如圖,作 PE∥OA,交AB 于點E,
則E(m,-m+5),則
當m=2時,S△ABP 取最大值為8.
12.(1)44 [解析]∵周長為a cm(a 為定值)的矩形的一邊長y(cm)與它的鄰邊長x(cm),∴a=2(x+y).∵當x=12時,y=10,∴a=2(12+10)=44.
(2)∵由(1)知,2(x+y)=44,∴y=22-x,∴S矩形= ∴當 11時,
故當x=11cm時，該矩形的面積最大，最大面積是121cm .
13.(1)當-1≤x≤1時,不等式 f(x)≥2x+2m+1恒成立,即當-1≤x≤1時, 恒成立.
∵函數 的對稱軸為直線x=3，開口向上，∴函數在x=1處取得最小值，
∴只需要1-6-2m+5≥0,解得 m≤0.
對稱軸為x=2，開口向上，5≤x≤8,∴當x=5時,取得最小值,為. 6=11,
x=8時，取得最大值，
∴f(x)在5≤x≤8上的取值范圍是11≤f(x)≤38.
同理g(x)=x+b在1≤x≤4上的取值范圍是1+b≤g(x)≤4+b.
∵對任意 存在 使得
∴滿足11≤1+b且38≥4+b,解得10≤b≤34.
14.如圖,連接CF,交 HM 于點Q,交GN 于點 P.
∵AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,
∴AF∥BC,
∴四邊形ABCF 是矩形,
∴∠AFC=∠BCF=90°.
∵四邊形MNGH 是矩形,
∴∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG,
∴∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1米.
∵∠BCG=∠AFH=135°,∴∠HFQ=∠GCP=45°,
∴FQ=HQ,CP=GP,
∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1,同理,得CP=MH-1,
∴AM=NB=MH-1,∴MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH,
∴S矩形MNCH=MN·MH=(5-2MH)·MH=5MH-
∴當 米時，矩形鐵皮 MNGH 的面積最大，最大面積是 平方米.

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