資源簡介

22.2二次函數與一元二次方程
第 1課時 二次函數與一元二次方程 (1)
基礎鞏固提優
1.(2025·廣西欽州期中)已知拋物線 與x軸交于點A(1,0),B(-3,0),則關于x的方程 的解是（ ）.
2.已知二次函數 的圖象與x軸有交點，則k 的取值范圍是（ ）.
且k≠0
且k≠0
3.分類討論思想已知函數 的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數m 的值為 .
4.若二次函數 的圖象經過點(1，0)，則關于x 的一元二次方程 的根為 .
5.(2025·福建南平期中)已知二次函數 (m是常數).
(1)求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點.
(2)把該函數的圖象沿 y 軸向下平移多少個單位長度后，頂點在x軸上
思維拓展提優
6.(2023·衡陽中考)已知m>n>0,若關于x 的方程 的解為 關于x的方程 的解為x ， 則下列結論正確的是（ ）.
A. x C. x 7.(2025·浙江臺州路橋區期中)二次函數 bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列正確的是( ).
A. a<0 B. b<0
C. c<0
8.(2024·徐州中考)在平面直角坐標系中，將二次函數 y=(x-2023)(x-2024)+5的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線與x軸有兩個公共點 P,Q,則PQ= .
9.把二次函數 的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3 個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m 應滿足條件： .
10.中考新考法 新定義問題 規定：如果兩個函數的圖象關于 y 軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”.例如:函數y=x+3與y=-x+3互為“Y函數”.若函數 k—3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為 .
11.(浙江寧波鄞州中學大講堂自主招生)設m，n為正整數，且m≠2，如果對一切實數t，二次函數y= 的圖象與x軸的兩個交點間的距離不小于|2t+n|，求m，n的值.
12.(山東濱州惠民自主招生)已知拋物線
(1)求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；
(2)若此拋物線與直線y=x-3m+3的一個交點在y軸上，求m的值.
延伸探究提優
13.中考新考法 整點存在性問題 在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數，則稱這樣的點為整點.設函數 6a)x-4a+4(實數a 為常數)的圖象為圖象T.
(1)求證：無論a 取什么實數，圖象 T 與x軸總有公共點.
(2)是否存在整數a，使圖象 T 與x軸的公共點中有整點 若存在，求所有整數a 的值；若不存在，請說明理由.
14.整體思想(2024·云南中考)已知拋物線 bx-1的對稱軸是直線 設m 是拋物線 與 x 軸交點的橫坐標，記
(1)求b 的值;
(2)比較M與 的大小.
第 2課時 二次函數與一元二次方程(2)
基礎鞏固提優
1.如圖,點A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函數 的圖象上，則方程 的一個近似值可能是（ ）.
A. 2.18 B. 2.68 C. - 0.51 D. 2.45
2.教材P46例·變式 小穎用計算器探索方程 bx+c=0的根，作出如圖所示的圖象，并求得一個近似根x=-3.4，則方程的另一個近似根(精確到0.1)為 .
3.可以用如下方法求方程 的實數根的范圍：
利用函數 的圖象可知，當x=0時,y<0,當x=-1時,y>0,所以方程有一個根在-1和0之間.
(1)參考上面的方法，求方程 0的另一個根在哪兩個連續整數之間；
(2)若方程 有一個根在0 和1之間，求c 的取值范圍.
思維拓展提優
4.(2024·甘孜州中考)二次函數 0)的圖象如圖所示，給出下列結論：①c<0； ③當-1A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
5.(2024·達州模擬)如圖所示是拋物線 bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點坐標為(1,n),且與x軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間,則下列結論:①a-b+c>0;②3a+c>0; ；④一元二次方程。 n+1沒有實數根.其中正確的結論個數是（ ）.
A. 1 B.2 C. 3 D.4
6.如表是二次函數 的自變量x與函數值y的對應關系，則一元二次方程 的一個解x 的取值范圍是 .
x 6.1 6.2 6.3 6.4
-0.3 -0.1 0.2 0.4
7.(湖北黃岡自主招生)已知 當1≤m≤3時，y<0恒成立，那么實數x的取值范圍是
8.如圖，拋物線 的頂點為C(1,4),且與y 軸交于點 D(0,3),與x 軸交于A,B兩點.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)若直線 BD 的解析式為y= mx+n,請直接寫出不等式 的解集.
(3)在第一象限的拋物線上是否存在一個點 P，使得四邊形ABPD 的面積等于 10 若存在，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.
9.(2025·安徽合肥 45 中期中改編)已知拋物線 y= 經過A(3,0),對稱軸是直線x=1,點B(n-1,y ),C(2n+3,y )兩點在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若B,C兩點在直線x=1的兩側,且y >y ，請直接寫出n的取值范圍.
延伸探究提優
10.中考新考法 函數圖象和性質探究某班“數學興趣小組”對函數 的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整.
(1)自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y -5 0 3 154 4 3 4 154 m 0 一5 …
其中,m= ;
(2)根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中，直接畫出該函數的圖象；
(3)觀察函數圖象，寫出一條該函數的性質: ;
(4)已知函數y=-x+4的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象.直接寫出方程· 2|x|+3=-x+4的解.(保留一位小數,誤差不超過0.2)
22.2二次函數與一元二次方程
第1課時 二次函數與一元二次方程(1)
1. C
2. B [解析]∵二次函數 的圖象與x軸有交點， 且k≠0,
解得 且k≠0.故選B.
歸納總結 拋物線. 和x 軸的交點個數：當 時，拋物線與x軸有2個交點；當△= 時，拋物線與x軸有1個交點；當 4ac<0時，拋物線與x 軸沒有交點.
3.1或 [解析]當m=0時,y=-1,
切勿忽略對該種情況的討論與坐標軸只有一個交點，不符合題意；
當m≠0時,∵函數 的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，∴有以下兩種情況：
①過坐標原點,m-1=0,解得m=1;
②與x，y軸各一個交點， 解得m=0(舍去)或
綜上所述，m的值為1或
易錯警示 函數的圖象與坐標軸恰有兩個公共點個數，需對函數分情況討論，另外，拋物線與坐標軸恰有兩個公共點也要分類討論，否則易出錯.
5.
∴一元二次方程 沒有實數解，即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點.
(2)將二次函數 化成頂點式，得y=
∵函數向下平移后，頂點在x 軸上，
∴平移后得到二次函數 的圖象，它的頂點坐標是(m，0)，∴把該函數的圖象沿 y軸向下平移3個單位長度后，頂點在x軸上.
6. B [解析]關于x的方程 的解為拋物線 與直線y=m的交點的橫坐標，關于x的方程. 的解為拋物線 3與直線y=n的交點的橫坐標，如圖：
由圖可知， 故選 B.
7. B[解析]由題意，得拋物線開口向上，且與y軸交于正半軸,∴a>0,c>0,故 A,C錯誤.又對稱軸是直線 x= 故 B正確.∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，. ,故D錯誤.故選 B.
8.1 [解析]將二次函數y=(x-2023)(x-2024)+5的圖象向下平移5個單位長度，所得拋物線的解析式為 y=(x-2023)(x-2024),令y=(x-2023)(x-2024)=0,則x-2023=0或x-2024=0,
解得x=2023或2024,∴PQ=2024-2023=1.
9. m>3 [解析]∵把二次函數 m-4的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，∴平移后所得拋物線的解析式為y=(x+2- ∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點,∴△=4-4(m-2)<0,∴m>3.
10.(3,0)或(4,0) [解析]當k=0時,函數解析式為 y=-x-3，它的“Y函數”解析式為y=x-3，它們的圖象與x軸都只有一個交點，∴它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為(3,0);
當k≠0時，此函數為二次函數，若二次函數 (k-1)x+k-3的圖象與x軸只有一個交點，則二次函數的頂點在x 軸上，即 解得
k=-1，∴二次函數的解析式為 ∴它的“Y函數”解析式為 4) ,令y=0,則 解得x=4,∴二次函數的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為(4，0).
綜上，它的“Y函數”圖象與x 軸的交點坐標為(3，0)或(4,0).
11.因為一元二次方程 的兩根分別為 mt和-3，所以二次函數 的圖象與x軸的兩個交點間的距離為|mt+3|.
由題意,得| mt+3|≥|2t+n|,即( 即
由題意，知 ，且上式對一切實數t恒成立，
∵m,n為正整數, 或
12.(1)令y=0, ∴方程有兩個不相等的實數根，∴原拋物線與x軸必有兩個不同的交點.
(2)令x=0,根據題意,有 解得m=-3或m=1.
13.(1)當4a+2=0,即 時，函數解析式為y=12x+6,令y=0,得 此時函數 6a)x-4a+4(實數a為常數)的圖象與x軸有交點;
當 時， 為二次函數，
∴函數. 4(實數a 為常數)的圖象與x軸有交點.
綜上所述，無論a取什么實數，圖象 T與x軸總有公共點.
(2)存在整數a，使圖象 T與x軸的公共點中有整點.理由如下：
當 時，不符合題意；
不要忽視此種情況的存在
當 時，在 中,令y=0,得 解得 或 是整數,∴當2a+1是6的因數時, 是整數，
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6,
解得 或(a=-2或 或a=-1或a=0或 或a=1或
∵a是整數,∴a=-2或a=-1或a=0或a=1.
思路引導 (1)分一次函數和二次函數兩種情況分別證明函數圖象 T 與x軸總有交點即可；(2)明確整點的定義是正確解答的前提，解答時分當 時和當 時討論.
14.(1)∵拋物線 的對稱軸是直線 解得b=-3.
(2)∵m是拋物線 與x軸交點的橫坐標， 33m +10m=33(3m+1)+10m=99m+33+10m=109m+33,
由 可得
當 時， 即
當 時， 即
綜上，當 時， 當 時，
第2課時 二次函數與一元二次方程(2)
1. D [解析]∵圖象上有兩點分別為A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴當x=2.18時,y=-0.51;當x=2.68時,y=0.54,∴當y=0時,2.182. x=1.4
3.(1)利用函數 的圖象可知，當x=2時,y<0,當x=3時,y>0,所以方程的另一個根在2和3之間.
(2)∵函數 的圖象的對稱軸為直線x=1，方程 有一個根在0和1之間，
解得04. D [解析]∵函數圖象與y軸交于負半軸,∴當x=0時,y=c<0,故①正確.∵函數的圖象過點(-1,0),(3,0),∴a-b+c=0,且9a+3b+c=0,∴8a+4b=0.∴b=-2a,∴對稱軸是直線 故②正確.∵x=-1或x=3時,y=0,且拋物線. 開口向上，∴當-15. D[解析]∵拋物線頂點坐標為(1，n)，∴拋物線對稱軸為直線x=1.∵圖象與x軸的一個交點在(3,0),(4,0)之間,∴圖象與 x 軸另一交點在(-1,0),(-2,0)之間,∴x=-1時,y>0,即a-b+c>0,故①正確,符合題意.∵拋物線的對稱軸為直線 時,y=3a+c>0,故②正確,符合題意.∵拋物線頂點坐標為(1，n)， 有兩個相等實數根，. n)，故③正確，符合題意.∵ 的最大函數值為 沒有實數根，故④正確，符合題意.故選 D.
6.6.3[解析]∵1≤m≤3,y<0,∴當m=3時, 解得 當m=1時, 解得-38.(1)設拋物線的解析式為.
代入D(0,3),得 ,解得a=-1,∴y=
此拋物線的解析式為
(2)令y=0,則 解得
∴A(-1,0),B(3,0).
∵D(0,3),
∴不等式 的解集為0(3)不存在.理由如下：
假設存在一個點 P，使得四邊形ABPD 的面積等于10.
過P 點作 PE⊥AB 于E,交 DB 于 F,連接 PD,PB,如圖，
∵A(-1,0),B(3,0),D(0,3),
∴AB=4,OD=3,
∵四邊形 ABPD 的面積等于10,
把B,D的坐標代入y= mx+n,得 解得
∴直線 BD 的解析式為y=-x+3.
設 ,則F(x,-x+3),
∴PF=(-x +2x+3)-(-x+3)=-x +3x,
3x)·(3-x)=4,
整理，得
∴不存在這樣的點 P，使得四邊形 ABPD 的面積等于10.
知識拓展二次函數 (a,b,c 是常數,a≠0)與不等式的關系：①函數值y與某個數值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍；②利用兩個函數圖象在平面直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數解析式列成不等式求解.
9.(1)由題可得 解得
∴二次函數的解析式為
(2)若點 B 在對稱軸直線x=1的左側，點C 在對稱軸直線x=1的右側時，
由題意可得 解得-1若點C在對稱軸直線x=1的左側，點B 在對稱軸直線x=1的右側時，
由題意可得 不等式組無解.
綜上所述,-110.(1)3 [解析]把x=2代入函數 中，得y=-4+4+3=3,∴m=3.
(2)描點，連線得出函數圖象如圖：
(3)函數圖象關于y軸對稱(答案不唯一)
(4)由圖象可知方程 的解為
素養考向 本題主要運用了數形結合的核心素養.數形結合就是把兩者結合起來考慮問題，充分利用代數、幾何各自的優勢，數形互化，共同解決問題.

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