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母題變式提優(二) 二次函數圖象上的交點問題
母題學方法1 確定圖象臨界狀態
(1)根據已知條件畫出確定的圖象；(2)將直線在坐標系中上下平移，找到符合題意的臨界位置(常見位置：
①拋物線的頂點；②圖象的交點；③與拋物線的切點)；(3)聯立直線與拋物線的解析式得到一元二次方程，根據△求解；(4)臨界位置之間的部分即為滿足題意的部分.
1.如圖,已知拋物線c 的頂點為A(-1,4),與y軸的交點為D(0,3).
(1)請直接寫出c 的解析式；
(2)若直線l :y=x+m與c 僅有唯一的交點，求m 的值；
(3)若拋物線 c 關于 y 軸對稱的拋物線記作c ，平行于x軸的直線記作l :y=n.試結合圖象回答：當n為何值時，l 與c 和c 共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點.
子題練思維
變式1.1 (2025·陜西寶雞期中)如圖,拋物線 y= 與x軸交于點A 和點B(4,0),與 y軸交于點C(0,4),點 E 在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式；
(2)點 E 在第一象限內,過點 E 作 EF∥y 軸,交BC 于點 F,作EH∥x軸,交拋物線于點 H,點 H在點E 的左側，以線段 EF，EH 為鄰邊作矩形EFGH,當矩形 EFGH 的周長為11時,求線段EH 的長.
變式1.2 (2025·河北保定期中)如圖,拋物線 y= 與x軸交于點A 和點B(4，0),與 y 軸交于點 C,對稱軸為直線 x =3,OC=4OA.
(1)求拋物線的解析式；
(2)P為直線BC 下方拋物線上一動點，過點 P作y軸的平行線與直線BC 交于點Q.嘉嘉說：當點 P 與點A 重合時，PQ長最大；琪琪說：當點 P的橫坐標為1時，△PBC 的面積為6.請選擇其中一人的說法進行說理.
母題學方法2 端點值代入法
(1)確定由拋物線和線段所在直線的解析式得到的方程；(2)拋物線與線段 AB 僅有一個交點C 時的情況(以開口向上為例)：①如圖(1)，滿足條件△=0，且 ;②如圖(2),滿足條件△>0,且x=xB時， 時， ③如圖(3)，滿足條件△>0,且x=xB時, 時，
2.在平面直角坐標系xOy 中，二次函數 bx+c 的圖象經過點 A(0,-4)和B(-2,2).
(1)求c 的值，并用含 a 的式子表示b；
(2)當-2(3)直線AB 上有一點C(m,5),將點 C 向右平移4個單位長度，得到點 D，若拋物線與線段CD 只有一個公共點，求a 的取值范圍.
子題練思維
變式2.1已知拋物線 0)與x 軸交于A,B 兩點(點 A 在點B 左側),與y軸交于點C，頂點為點 D.
(1)拋物線的對稱軸為 ，點A 的坐標為 ;
(2)已知點 M(2,-4),N(1,-4),連接 MN所得的線段與該拋物線有交點，直接寫出 m 的取值范圍.
變式2.2如圖，點A，B為x軸上的點，點C為y 軸上一點，OA=OC=6，對稱軸為直線x=-2的拋物線經過A,B,C三點.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點 F 在對稱軸上運動，將線段 BC 繞著點 F逆時針方向旋轉 90°后得到線段 B C ，當點 B 與C 恰有一點落在拋物線上時，求點 F 的坐標.
1.(1)∵拋物線c 的頂點為A(-1,4),
∴設拋物線c 的解析式為. 把D(0,3)代入. ,得3=a+4,∴a=-1,∴拋物線c 的解析式為. 即
(2)由 得
∵直線l :y=x+m與c 僅有唯一的交點,
∴△=9-4m+12=0,解得
(3)∵拋物線c 關于y軸對稱的拋物線記作c ，
∴拋物線c 的頂點坐標為(1,4),與y軸的交點為(0,3),
∴拋物線c 的解析式為.
∴①當直線l 過拋物線c 的頂點(-1，4)和拋物線c 的頂點(1,4)時,即n=4時,l 與c 和c 共有兩個交點.
②當直線l 過點 D(0,3)時,即n=3時,l 與c 和c 共有三個交點.
③當3變式1.1 (1)∵拋物線圖象經過點 B(4,0)和C(0,4), 解得
∴拋物線的解析式為
(2)設直線 BC 的解析式為y= kx+4,則0=4k+4,解得k=-1,∴直線BC的解析式為y=-x+4.
設 且0∵拋物線的對稱軸為直線
.
依題意，得
解得x=5(舍去)或x=3,∴EH=2×3-2=4.
變式1.2 (1)∵拋物線與x軸交點A 和點B(4,0),對稱軸為直線x=3,∴A(2,0),∴OA=2.
∵OC=4OA,∴OC=8,∴C(0,8).
由題意可得 解得
∴拋物線的解析式為
(2)選擇嘉嘉.
設直線 BC 的解析式為y= mx+n.
由題意可得 解得
∴直線 BC 的解析式為y=-2x+8.
設點 P 的橫坐標為k，則P(k,k -6k+8),Q(k,-2k+8),
∴當x=2時,PQ長最大,此時P(2,0),與點A 重合,
∴當點 P 與點A 重合時，PQ長最大.
選擇琪琪.
設直線BC 的解析式為y= mx+n.把B(4,0),C(0,8)代入.y= mx+n,得 解得
∴直線 BC 的解析為y=-2x+8.
由題意可得點 P，Q的橫坐標為1，
將x=1代入. ,得y=1-6+8=3,∴P(1,3),
將x=1代入y=-2x+8,得y=-2+8=6,
∴Q(1,6),∴PQ=6-3=3,
2.(1)把點 A(0,-4)和B(-2,2)分別代入 c中,得c=-4,4a-2b+c=2,∴b=2a-3.
(2)當a<0時，依題意得拋物線的對稱軸需滿足
解得
當a>0時，依題意得拋物線的對稱軸需滿足 解得
∴a 的取值范圍是 或
(3)設直線AB 的表達式為y= kx+n,
則 解得
故直線AB解析式為y=-3x-4.
把C(m,5)代入,得m=-3,∴C(-3,5),由平移得 D(1,5).
①當a>0時，若拋物線與線段 CD 只有一個公共點，如圖(1)
當x=1時,y=3a-7,
則拋物線上的點(1，3a-7)在點D 的下方，∴3a-7<5,解得a<4,∴0②當a<0時，若拋物線的頂點在線段CD上，
則拋物線與線段只有一個公共點，如圖(2)，
即
解得 或
綜上，a 的取值范圍是0變式2.1 (1)直線x=1 (-1,0) [解析]拋物線的對稱軸為直線
令
解得x=3或-1,
∴點 A,B 的坐標分別為(-1,0),(3,0).
(2)當拋物線過點 M時,4m-4m-3m=-4,解得
當拋物線過點(1,-4)時,m-2m-3m=-4,解得m=1.
∴m的取值范圍為
變式2.2(1)由題意，得拋物線與x 軸交于A，B兩點，與y軸交于點C,OA=OC=6,對稱軸是直線x=-2,
∴A(-6,0),C(0,6),B(2,0).
設拋物線解析式為. ,將A,B 點的坐標代入，得 解得
∴拋物線解析式為
(2)如圖,設點 F(-2,t).則點B 逆時針方向旋轉90°后的坐標為 ，點C繞點 F 逆時針方向旋轉90°后的坐標為
當B (t-2,t+4)在拋物線上時,
化簡得 解得
時,F(-2,2),t =-4時,F(-2,-4).
經檢驗，此時點C 不在拋物線上.
當C (t-8,t+2)在拋物線上時, 2(t-8)+6,化簡得 解得
∴當 時,F(-2,4),當t =6時,F(-2,6).
經檢驗，此時點 B 不在拋物線上.
綜上,滿足題意的點 F 的坐標為(-2,2),(-2,-4),(-2,4),(-2,6).

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