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專題提優特訓7 二次函數 的圖象和性質
題型1 把二次函數. 化成頂點式
1.(2025·北京房山區期末)將二次函數. 化成 的形式為（ ）.
2.(2025·陜西西安西咸新區期末)將二次函數 4x-7化為頂點式，下列結果正確的是（ ）.
3.(2025·江蘇宿遷期末)二次函數 的頂點坐標是 .
題型2畫二次函數 的圖象
4.利用描點法畫二次函數 的圖象，列表如下：
x … -1 0 1 2 3
y -1 m -5 -1 n
(1)填空:表中m= ,n= ;
(2)在如圖所示的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象.
5.(2024·福建福州高新區實驗中學月考)已知二次函數
(1)用配方法求函數圖象頂點坐標、對稱軸，并寫出圖象的開口方向；
(2)在所給網格中建立平面直角坐標系并直接畫出此函數的圖象.
題型3二次函數 的性質
6.已知二次函數 的y與x的部分對應值如下表，則下列判斷中正確的是（ ）.
x … -1 0 1 3
y -3 1 3 1
A.拋物線開口向上
B.拋物線與 y 軸交于負半軸
C.當x大于1.5時，y隨著x的增大而減小
D. 當x=4時,y>0
7.關于拋物線 下列說法錯誤的是（ ）.
A. 當a=-1時,對稱軸是y軸
B.當a=2時，經過坐標原點O
C. 不論a 為何值,都過定點(1,-2)
D. a>0時,對稱軸在 y 軸的左側
題型4 已知二次函數圖象上對稱的兩點求對稱軸
8.已知拋物線 經過(-1,n)和(2,n)兩點,則m+n的值為( ).
A. - 2 B. 0 C. 1 D. 2
9.已知二次函數 與x軸的兩個交點坐標分別為A(-2,0)和B(3,0),則b的值為 .
10.若拋物線 經過點A(0,-3),B(2,-3),C(-2,5),則該拋物線上縱坐標為5 的另一個點 D 的坐標是 .
題型5 用待定系數法求二次函數解析式
11.(2025·湖北黃岡期中)已知二次函數 bx+c(a≠0)的y與x的部分對應值如表:
x … -3 -1 1 3
y … -3 0 1 0
(1)求這個二次函數解析式；
(2)在平面直角坐標系中畫出這個函數圖象；
(3)當x的取值范圍為 時,y>-3.
12.(2025·陜西西安期末)若二次函數 bx+1(a≠0)的圖象經過A(1,0),B(2,1)兩點，求該二次函數的解析式.
題型6 二次函數的平移
13.(2025·浙江寧波鎮海區期末)將拋物線 6x+5先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的函數解析式為( ).
14.(2025·北京密云區期末)已知拋物線
(1)求拋物線的頂點坐標、對稱軸；
(2)拋物線 可以由拋物線 經過平移得到，任寫出一種平移方法.
15.(2025·上海楊浦區一模改編)已知拋物線 bx+c(a≠0)經過點 A(0,3),點 B(4,3),點 C(1,0).
(1)求此拋物線的解析式.
(2)將上述拋物線平移，使它的頂點移動到點(-2，2)的位置，那么該如何平移
1. B 2. A 3.(3,-2)
4.(1)—4—1 [解析]∵二次函數為 ∴令x=0,y=-4,∴m=-4;令 -1,∴n=-1.
(2)描出五個點(-1,-1),(0,-4),(1,-5),(2,-4),(3,-1),
畫出圖象如圖所示：
該函數圖象的頂點坐標為(2，-4)，對稱軸是直線x=2，圖象的開口向上.
∴當x=6時,y=0,當x=-2時,y=0.
令x=0,y=-3,令x=4,y=-3.
∴該函數過點(-2,0),(6,0),(0,-3),(4,-3),(2,-4).
畫出函數圖象如圖所示.
6. C[解析]A.由表可知，隨著x的增大，y先增大后減小，∴拋物線開口向下，故本選項錯誤；B.∵x=0時,y=1,∴拋物線與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；C.∵當x=0時,y=1,當x=3時,y=1,∴對稱軸為直線 ∵拋物線開口向下，∴當x大于1.5時，y隨著x的增大而減小，故本選項正確；D.根據對稱性，當x=4時與x=-1時的函數值相同，即y=-3<0，故本選項錯誤.故選C.
7. D [解析]A.∵拋物線
∴當a=-1時，對稱軸是直線 即y軸，故選項 A 正確，不符合題意；B.當(a=2時, 3x過點(0,0),故選項B正確,不符合題意;C.當x=1時,y=-2，此時解析式中的a正好可以消掉，故選項C正確，不符合題意；D.拋物線的對稱軸是直線 當.a>0時， 對稱軸在y軸右側，故選項D錯誤，符合題意.故選 D.
8. B[解析]由拋物線過點(-1,n)和(2,n)可得拋物線的對稱軸為直線 ,將(-1,n)代入. 得n=1+1-1=1,∴m+n=0.故選 B.
9.-1
10.(4,5) [解析]∵拋物線 經過點A(0,-3),B(2,-3),∴其對稱軸為 設D(x,5),∵點C(-2,5)在此拋物線上, 解得x=4,∴D(4,5).
11.(1)由表格知二次函數圖象與x軸的兩個交點，故可用交點式求解析式.
設二次函數的解析式為y=a(x+1)(x-3),把(1,1)代入得1=a×2×(-2),解得 ∴二次函數的解析式為 即
(2)畫出函數圖象如圖所示.
(3)-3-3.
12.由題知，因為二次函數 的圖象經過A(1,0),B(2,1)兩點,
所以 解得
所以二次函數的解析式為
13. D [解析]∵ ∴將拋物線 先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到的拋物線對應的函數解析式為y=(x- 即 故選 D.
14.(1)因為
所以拋物線的頂點坐標為(2，-5)，對稱軸為直線x=2.
(2)拋物線 可以由拋物線 先向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到(答案不唯一).→結合“上加下減，左加右減”的平移法則
15.(1)∵拋物線 經過點A(0,3),點B(4,3),點C(1,0), 解得
∴該拋物線的解析式為
∴拋物線的頂點為(2,-1).
要將頂點移動到點(-2，2)的位置，則拋物線應向左平移4個單位長度，再向上平移3個單位長度.(答案不唯一)

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