資源簡介

22.1.4二次函數 的圖象和性質 (2)
基礎鞏固提優
1.(2025·浙江杭州期中)二次函數 的圖象如圖所示,則點(a,b+c)位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.二次函數 的圖象如圖所示，則一次函數 y=ax+b的圖象一定不經過（ ）.
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知拋物線的頂點為(-1，-3)，與y 軸的交點為(0，-5)，則此拋物線的解析式是 .
4.(2025·浙江金華義烏繡湖中學月考)設a，b是常數，且b>0,拋物線 為圖中四個圖象之一，則a 的值為 .
5.(2025·廣東廣州期中)如圖，拋物線與x軸交于點 A(-1,0)和 B,與y軸交于點 C，下列結論：
①abc<0;②2a+b<0;
③4a-2b+c>0;④3a+c>0.
正確的是 (寫編號).
6.(2025·廣東惠山期中)如圖，已知二次函數 y= 的圖象經過點A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
(1)求二次函數的解析式；
(2)判斷點 P(-2，3)是否在該二次函數的圖象上，如果在，請求出△ABP 的面積；如果不在，試說明理由.
思維拓展提優
7.教材P39探究·拓展在“探索函數 bx+c 的系數a,b,c 與圖象的關系”活動中,老師給出了如圖所示的平面直角坐標系中的四個點:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同學們探索了經過這四個點中的三個點的二次函數圖象，發現這些圖象對應的函數解析式各不相同，其中 a 的值最大為（ ）.
A. B. C. D.
8.(2024·東營中考)已知拋物線 (a≠0)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( ).
A. abc<0
B. a-b=0
C. 3a-c=0
(m為任意實數)
9.(2024·蘇州中考)二次函數. 的圖象過點A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,—m),其中m,n 為常數,則 的值為 .
10.(2025·山東東營期中)如圖,拋物線 經過點A(-3,0),點 B 在拋物線上，CB∥x軸，且AB 平分∠CAO,則此拋物線的解析式是 .
11.在平面直角坐標系中，點A(m，n)為拋物線 上一動點，當012.如圖，二次函數與一次函數的圖象交于頂點A(-4,-1)和點 B(-2,3),一次函數的圖象與y軸交于點C.
(1)求二次函數的解析式.
(2)y軸上是否存在點 P 使△PAB 的面積為3 若存在，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.
13.(2024·舟山三模)已知一次函數 y=x-5 的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B.將點 A 向左平移4 個單位，得到點 A′，且點 A′恰好在二次函數 (a,b.是常數，a≠0)圖象的對稱軸上.
(1)用含a 的代數式表示b；
(2)求證：二次函數與一次函數圖象交于一個定點，并求出該點的坐標；
(3)若二次函數圖象與線段 AB 恰有一個公共點，結合函數圖象，求a 的取值范圍.
14.中考新考法 存在性問題 如圖，拋物線 bx+c 經過點A(-1,0),點 B(2,-3),與y 軸交于點C，拋物線的頂點為 D.
(1)求拋物線的解析式.
(2)拋物線上是否存在點 P，使△PBC 的面積是△BCD 面積的4倍 若存在，請直接寫出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.
延伸探究提優
15. 分類討論思想(2023·南充中考) 如圖(1),拋物線y= 與x 軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式；
(2)點 P 在拋物線上,點 Q 在x軸上,以 B,C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點 P 的坐標；
(3)如圖(2)，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點 E,過點 K(1,3)的直線(直線 KD 除外)與拋物線交于G,H 兩點,直線 DG,DH分別交x軸于點M,N.試探究 EM·EN 是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.
中考提分新題
16.中考新考法 定值問題探究 (2024·宿遷中考)如圖(1)，已知拋物線 與x軸交于兩點O(0,0),A(2,0),將拋物線y 向右平移兩個單位長度，得到拋物線 y .點P 是拋物線y 在第四象限內一點，連接PA 并延長，交拋物線y 于點 Q.
(1)求拋物線y 的表達式；
(2)設點 P 的橫坐標為 xp，點Q 的橫坐標為xQ,求xQ-xp的值;
(3)如圖(2),若拋物線 與拋物線 交于點C，過點 C 作直線MN,分別交拋物線 y 和 y 于點 M,N(M，N均不與點C 重合)，設點 M 的橫坐標為m,點 N 的橫坐標為n,試判斷|m-n|是否為定值.若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由.
1. B [解析]∵二次函數圖象開口向下，∴a<0.∵對稱軸在y軸的右側，∴b>0.∵二次函數的圖象與y軸的正半軸有交點,∴c>0,∴b+c>0,∴(a,b+c)在第二象限.故選 B.
知識拓展 拋物線圖象與系數的關系，其中 a 決定拋物線的開口方向；a與b 同號對稱軸在 y軸左邊，a與b 異號對稱軸在 y軸右邊；c的符號決定拋物線與y軸的交點在正半軸或負半軸；拋物線與x 軸的交點個數與根的判別式的正負有關，此外還可以在拋物線圖象上找出特殊點對應函數值的正負來進行判斷.
2. C[解析]由二次函數圖象，可得 ∴y=ax+b的圖象過第一、二、四象限，不過第三象限.故選 C.
[解析]由題意可設 將(0,-5)代入,得a-3=-5,解得a=-2,則拋物線解析式為 。
4.-1 [解析]∵題圖(1)和題圖(2)表示 y=0時,有1和-1兩個根，代入表達式能得出b=-b，即b=0，不合題意，∴排除前兩個圖象.∵第三個圖象中ca>0,又 ∴b<0，與已知矛盾，排除，∴拋物線 5a-6的圖象是第四個圖，由圖象可知，拋物線經過原點(0， ,解得a=-1或6.∵a<0,∴a=-1.
5.③④ [解析]∵該拋物線開口向上，對稱軸在y 軸右側，與y軸相交于負半軸，
∴a>0,b<0,c<0,∴abc>0,故①不正確;
∵對稱軸為直線 故②不正確；由圖可知,當x=-2時,y=4a-2b+c>0,故③正確;由圖可知,當x=-1時,y=a-b+c=0,∵2a+b>0,∴2a>-b.∴a+2a+c>a-b+c,即3a+c>0,故④正確.綜上所述，正確的有③④.
6.(1)設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-1),把C(0,3)代入,得3=a×3×(-1),解得a=-1,∴拋物線解析式為y=-(x+3)(x-1),即
(2)當x=-2時,y=-4+4+3=3,
∴點 P(-2，3)在該二次函數的圖象上.
∵A(-3,0),B(1,0),P(-2,3),
∴△ABP 的面積
7. A[解析]由圖象知，經過A，B，D三點的二次函數圖象開口向上，a>0；經過A，B，C三點的二次函數圖象開口向上，a>0；經過B，C，D三點的二次函數圖象開口向下，a<0；經過A，D，C三點的二次函數圖象開口向下，a<0.即只需比較圖象經過A，B，D三點的二次函數的a值和圖象經過A，B，C三點的二次函數的a值即可.
設圖象經過A，B，C三點的二次函數的解析式為y = ,將A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入,
得 解得
設圖象經過A，B，D三點的二次函數的解析式為y = ,將A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入,
得 解得
∴a 的最大值為 .故選A.
思路引導 比較任意三個點組成的二次函數中的a 值時，先比較開口方向，若開口向下，則a<0，只需把開口向上的二次函數解析式求出即可.
8. D [解析]由函數圖象可知,a<0,b<0,c>0,所以 abc>0.故A選項不符合題意.因為拋物線經過點(-3，0)和(1，0)，所以拋物線的對稱軸為直線x=-1，則 所以2a-b=0.故B選項不符合題意.因為拋物線過點(1，0),所以a+b+c=0.將b=2a代入a+b+c=0得,a+2a+c=0,所以3a+c=0.故C選項不符合題意.因為拋物線與x軸的交點坐標為(-3，0)和(1，0)，所以拋物線的對稱軸為直線 又因為拋物線開口向下，所以當x=-1時，函數取得最大值a-b+c，所以對于拋物線上的任意一點(橫坐標為m)，總有 b+c,即 故D選項符合題意.故選 D.
知識拓展 二次函數圖象與系數的關系：二次函數y= ：①二次項系數a 決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下.|a|還可以決定開口大小，|a|越大，開口就越小；②一次項系數b和二次項系數a 共同決定對稱軸的位置.當a 與b 同號(即ab>0)時，對稱軸在 y 軸左側；當a 與b 異號(即ab<0)時，對稱軸在 y 軸右側(簡稱：左同右異)；③常數項c 決定拋物線與 y軸的交點，拋物線與 y軸交于點(0,c).
[解析]將A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代入 得 把(C(2,n)代入 得
[解析]在 中，令x=0,得y=4,∴C(0,4),即OC=4.∵點A 的坐標為(-3,0),∴OA =3.在 Rt△AOC 中,由勾股定理,得 軸,∴∠CBA=∠BAO.∵AB平分∠CAO,∴∠CAB=∠BAO,∴∠CAB=∠CBA,∴BC=AC=5.
∵CB∥x軸,∴B(5,4).把A,B 兩點坐標代入 bx+4中,得 解得
∴此拋物線的解析式為
11.012.(1)∵二次函數的頂點為A(-4,-1),
∴設二次函數的解析式為
∵二次函數的圖象經過 解得a=1，∴二次函數的解析式為
(2)設直線 AB 的解析式為
把A(-4,-1)和B(-2,3)代入,
得 解得
∴一次函數的解析式為y =2x+7.
由一次函數 可知C(0,7),
設P(0,n),∴PC=|n-7|,
∴|n-7|=3,∴n=4或110,∴P(0,4)或P(0,10).
解題通法 用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數解析式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出解析式，從而代入數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.
13.(1)令y=0,則x=5,∴A(5,0),
∴將點A 向左平移4個單位,得到點 A′(1,0).
∵點A′恰好在二次函數 (a,b是常數,a≠0)圖象的對稱軸上，
(2)∵二次函數必過定點(0，-3)，且二次函數的對稱軸是直線x=1,∴二次函數也過定點(2,-3).
當x=2時，一次函數的函數值恰好也是-3，∴二次函數與一次函數必定交于一個定點，該點的坐標為(2，-3).
(3)①當a<0時，∵二次函數的對稱軸為直線x=1，拋物線與y軸交于點(0,-3),一次函數與y軸交于點(0,-5),且兩函數必定交于一個定點為(2，-3)，
∴由圖象可得，a<0時，均符合題意；
②當a>0時，由圖象可得，當x=5時，y<0，或者二次函數與線段AB 只有一個交點(2，-3)時，符合題意.
當x=5時,y=25a-10a-3<0,解得
當二次函數與線段AB 只有一個交點(2，-3)時，
由 得 則△=0,解得
綜上所述，a的取值范圍是a<0或 或
一題多解(2)由 得 +2=0,化簡得(ax-1)(x-2)=0,解得 ∴二次函數與一次函數必定交于一個定點，該點的坐標為(2,-3).
14.(1)∵拋物線 經過點A(-1,0),點 B(2,-3), 解得
∴拋物線的解析式為
(2)存在.理由如下：
.點D的坐標為(1,-4).
令x=0,則y=-3,∴點C的坐標為(0,-3).
又點 B 的坐標為(2,-3),∴BC∥x軸,
設拋物線上的點 P 坐標為(
當 時，解得：
當 時，
當 時，
綜上所述，點P 的坐標為( 或
解后反思 本題考查二次函數的性質，掌握待定系數法求函數解析式的方法，理解二次函數圖象上點的坐標特征，利用方程思想解題是關鍵.
15.(1)由題意，得拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)=
∴-3a=3,∴a=-1,
∴拋物線的解析式為.
(2)設點 P 的坐標為( 點Q的坐標為(x,0).當 BC 或BP 為對角線時，由中點坐標公式，得 2t+3,解得t=0(舍去)或2,∴點 P 的坐標為(2,3).
當BQ為對角線時，同理可得 解得 ∴點 P 的坐標為( 或 綜上所述，點P 的坐標為(2，3)或( 或(1-
(3)EM·EN 是定值.理由如下:
由直線GH 過點 K(1,3),可設直線GH 的表達式為 y=k(x-1)+3,設點G,H 的坐標分別為 和(
聯立y=k(x-1)+3和. 并整理，得x +(k-2)x-k=0,∴m+n=2-k, mn=-k.
.由點G,D的坐標易得直線GD 的表達式為y=-(m-1)(x-1)+4,令y=0,則 即點 則 同理可得 則
思路引導 (1)由待定系數法即可求解；(2)當BC 或 BP為對角線時，由中點坐標公式列出等式，即可求解；當BQ為對角線時，同理可解；(3)求出直線GD 的表達式為y=-(m-1)(x-1)+4,得到點 同理可得 即可求解.
16.(1)由題意,得
將拋物線y 向右平移兩個單位長度得到拋物線 y ，則y 過點(2,0),(4,0),
(2)設點 ,直線 PA 的表達式為y=k(x-2)，將點 P 的坐標代入，得
解得k=p，∴直線AP的表達式為y=p(x-2),
聯立上式和拋物線y 的表達式，得 2),解得xQ=4+p或xQ=2(舍去),
(3)由(1)知 ∴M(m,m -2m),聯立y ,y 得
解得 .點
由點 C，M的坐標，得直線 CM 的表達式為 y =
聯立上式和y 的表達式，得
整理，得
則 即
∴n-m=6,∴|m-n|=6為定值.

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