資源簡介

22.1.4二次函數 的圖象和性質 (1)
基礎鞏固提優
1.教材P39練習·變式(2025·安徽亳州期中)已知拋物線 下列結論錯誤的是（ ）.
A.拋物線開口向上
B.拋物線的對稱軸為直線x=2
C.拋物線的頂點坐標為(2，-1)
D.當x<2時，y隨x的增大而增大
2.(2024·南通中考)將拋物線 向右平移3 個單位后得到新拋物線的頂點坐標為( ).
A. (-4,-1) B. (-4,2)
C. (2,1) D. (2,-2)
3.(2025·安徽亳州期中)將拋物線 向右平移4個單位長度，再向上平移4個單位長度，所得拋物線的函數解析式是 .
4.已知關于x 的二次函數 (a<0),當x>m時,y隨x 的增大而減小,則m 的取值范圍是 .
5.(2025·浙江杭州期中)已知點A(x ,n),B(x ,n)是拋物線 上不同的兩點，若點(x +x ，m)也在拋物線上，則m 的值為 .
6.已知二次函數 的圖象經過點(1,2),頂點坐標為(-1,-2).
(1)求這個函數的解析式；
(2)試判斷點(3，14)是否在此函數圖象上.
思維拓展提優
7.(2025·北京十二中聯合學校總校月考)在同一平面直角坐標系中，直線y=ax+1與二次函數y= 的圖象可能是（ ）.
8.(2024·樂山中考)已知二次函數 x≤t-1),當x=-1時,函數取得最大值;當x=1時，函數取得最小值，則t 的取值范圍是( ).
A. 0C. 2≤t≤4 D. t≥2
9.已知二次函數 的圖象經過兩個定點，則這兩個定點的坐標為 .
10.已知二次函數 圖象的頂點在第二象限，且過點(1，0)，若a+b的值為非零整數，則b的值為 .
11.(2024·上海普陀區期末)如圖，拋物線 4x的頂點為 P，M為對稱軸上一點，如果PM=OM,那么點 M 的坐標是 .
12.(2023·寧波中考)如圖，已知二次函數 bx+c 圖象經過點A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標；
(2)當y≤-2時，請根據圖象直接寫出x 的取值范圍.
13.分類討論思想(2024·北京中考)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線
(1)當a=1時，求拋物線的頂點坐標；
(2)已知M(x ,y )和 N(x ,y )是拋物線上的兩點.若對于 都有 求a的取值范圍.
延伸探究提優
14.(2023·麗水中考)已知點(-m,0)和(3m,0)在二次函數 (a,b是常數，a≠0)的圖象上.
(1)當m=-1時,求a 和b的值;
(2)若二次函數的圖象經過點A(n，3)且點A不在坐標軸上，當-2(3)求證:
中考提分新題
15.數形結合思想(2024·淮安中考)二次函數 bx+c 的圖象經過點A(0,8),頂點為 P.
(1)c= .
(2)當 時，
①若頂點 P 到x軸的距離為10,則b= .
②直線m 過點(0,2b)且垂直于 y軸,頂點 P到直線m 的距離為h.隨著b的增大，h的值如何變化 請描述變化過程，并說明理由.
若二次函數圖象交 x 軸于 B，C兩點，點 B 坐標為(8,0),且△ABC 的面積不小于20，求a 的取值范圍.
1. D[解析]拋物線a=1>0，拋物線開口向上，因此 A 選項正確，不符合題意；由解析式，得對稱軸為直線x=2，因此B選項正確，不符合題意；由解析式，得當x=2時，y取最小值，最小值為-1，所以拋物線的頂點坐標為(2，-1)，因此C選項正確，不符合題意；因為拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2，因此當x<2時，y隨x的增大而減小，因此 D選項錯誤，符合題意.故選 D.
2. D [解析]因為
所以拋物線 的頂點坐標為(-1,-2),所以將此拋物線向右平移3個單位長度后，所得新拋物線的頂點坐標為(2,-2).故選D.
[解析]` ∴拋物線向右平移4個單位長度，再向上平移4個單位長
度，所得拋物線的函數表達式是
4. m≥1 [解析]拋物線 a，對稱軸為直線x=1，開口向下，x>1時，y隨x的增大而減小.∵x>m時,y隨x的增大而減小,∴m≥1.
5.4 [解析]∵A(x ,n),B(x ,n)是拋物線 4上不同的兩點,∴A(x ,n)和B(x ,n)關于拋物線 y= 的對稱軸對稱， 點 ,即(-b,m)在拋物線上,∴m=
6.(1)由題意，得對稱軸為直線 將點(-1,-2)代入函數,得y=a-b+c=-2,將點(1,2)代入函數,得a+b+c=2,解得a=1,b=2,c=-1.∴這個函數的解析式為
(2)當x=3時,. ∴(3,14)在此函數圖象上.
7. C[解析]A.根據一次函數圖象可知a<0，與y軸的交點不是(0，1)，故A 選項錯誤，不符合題意；B.根據二次函數的圖象可知a<0，同時與y軸的交點是(0，1)，但是根據一次函數的圖象可知a>0，故B選項錯誤，不符合題意；C.根據圖象可知兩個函數圖象與 y 軸的交點坐標為(0，1)，同時也得到a>0，故C選項正確，符合題意；D.根據一次函數圖象可知a<0，根據二次函數的圖象可知a>0，故D選項錯誤，不符合題意.故選 C.
方法技巧假設其中一個圖象正確，然后根據圖象得到系數的取值范圍，然后根據系數的取值范圍確定另一個圖象的位置，看是否和題圖中圖象相符即可求解.
8. C [解析]因為
所以拋物線的對稱軸為直線x=1，且頂點坐標為(1，-1).因為1-(-1)=3-1,所以x=-1和x=3時的函數值相等.因為-1≤x≤t-1,當x=-1時,函數取得最大值,所以t-1≤3.因為當x=1時，函數取得最小值，所以t-1≥1,所以 1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.故選 C.
9.(0,3),(2,3) [解析]∵
n是不等于0的任意數， 2x=0,y-3=0,解得x=0,y=3或x=2,y=3,∴拋物線經過定點(0,3),(2,3).
10. 或 [解析]依題意知。 即 b+2=0,∴b>0,且b=a+2,a+b=a+a+2=2a+2,∴a+2>0,∴-2或
11. (2, [解析]如圖,由題意,設OM=PM=x.
∵拋物線 2) +4,∴P(2,4).
∴OG=2,PG=4.∴MG=PG-PM=4-x.
∵在 Rt△MGO 中,(
12.(1)把A(1,一2)和B(0,一5)代入 得 解得
∴二次函數的解析式為
∴頂點坐標為(-1,-6).
(2)如圖,過點 A 作AC∥x 軸交拋物線于點C.
∵點 A(1,-2)關于對稱軸直線x=-1的對稱點 C 的坐標為(-3,-2),
∴當y≤-2時，x的取值范圍是-3≤x≤1.
13.(1)將a=1 代入,得
∴頂點坐標為(1,-1).
(2)由題意，得
①當a>0時，
或 解得 或
∵3≤x ≤4,∴3a<3或-a>4,∴a<1或a<-4.
∵a>0,∴0②當a<0時,
或 解得
解得a<-4.
綜上所述,0一題多解 問題(2)還可利用數形結合的思想解答.
①當a>0 時,如圖(1),
M(x ,y )和IN(x ,y )都在對稱軸右側,此時 y 隨x 增大而增大.
②當a<0時,如圖(2),
M(x ,y )在對稱軸左側,N(x ,y )在對稱軸右側,點M(3a，y )關于對稱軸的對稱點 在對稱軸右側，在對稱軸右側，y隨x 增大而減小.
綜上所述,014.(1)當m=-1時,二次函數. 圖象過點(1,0)和(-3,0), 解得 ∴a的值是-1,b的值是-2.
圖象過點(-m,0)和(3m,0),
∴拋物線的對稱軸為直線x=m.
的圖象過點A(n,3),(0,3),且點A 不在坐標軸上，∴拋物線的對稱軸也為
(3)∵拋物線對稱軸為直線x=m，
把(-m,0),(3m,0)分別代入 得
②
①×3+②,得
思路引導 (1)利用待定系數法可得a，b的值；(2)根據圖象上點的坐標特征，可知拋物線的對稱軸為直線x=m，由已知圖象過點A，且點A 不在坐標軸上，得到m，n間的關系，再根據m的范圍求出n的范圍；(3)由對稱軸得到a，b，m間的關系，即b=-2am，由圖象上點的坐標特征得到 即可證明出結論.
15.(1)8
[解析]當 時，拋物線的解析式為 ∵頂點 P 到x軸的距離為10，
解得
②頂點 P 的縱坐標為
則
令h=0，則b=2或-4，函數h的大致圖象如圖：
從圖象看,當b>2或-4(3)由題意知
∴BC≥5.設拋物線的對稱軸直線 與x軸交點為E，則
把B(8,0)和c=8代入 得64a+8b+8=0,∴b=-1-8a,
或
解得 或 且a≠0.

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