資源簡介

22.1.3 二次函數(shù) 的圖象和性質(zhì) (3)
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.(2023·沈陽中考)二次函數(shù). 圖象的頂點(diǎn)所在的象限是（ ）.
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2025·浙江寧波鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院月考)已知拋物線 下列說法正確的是（ ）.
A.開口向上
B. 與y軸的交點(diǎn)為(0, ）
C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為((3, ）
D.當(dāng)x<-4時(shí),y 隨x 的增大而增大
3.(2024·涼山州中考)拋物線 經(jīng)過(-2,y ),(0,y ),( ,y )三.點(diǎn),則y ,y ,y 的大小關(guān)系正確的是（ ）.
4.(2025·江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)期中)將拋物線 先向上平移3個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得新拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 .
5.實(shí)驗(yàn)班原時(shí) 已知拋物線 當(dāng)x≥2時(shí)，y 隨x的增大而減小，那么 h 的取值范圍是 .
6.(2024·濱州中考)將拋物線 先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，則平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .
7.教材P36例4·變式，某幢建筑物，從 米高的窗口 A 用水管向外噴水，噴的水流呈拋物線(拋物線所在平面與墻面垂直)，如圖，如果拋物線的最高點(diǎn) M 離墻2米，離地面12米，求水流落地點(diǎn) B 到墻的距離OB.
思維拓展提優(yōu)
8.(2025·江蘇蘇州姑蘇區(qū)振華中學(xué)期中)二次函數(shù) y= 與一次函數(shù)y=cx+a在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）.
9.已知函數(shù) 若使 y=k成立的x的值恰好有3個(gè)，則k 的值為（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.(2025·安徽安慶四中期中)已知一條拋物線的形狀與拋物線 形狀相同，與另一條拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，這條拋物線的解析式為 .
11.二次函數(shù) 的部分圖象如圖所示拋物線,則a+k= .
12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4,2).若拋物線y= (h,k 為常數(shù))與線段 AB 交于C,D 兩點(diǎn),且 則 k 的值為 .
13.(2025·安徽淮南期中)如圖，拋物線 3(a 為常數(shù)且a≠0)與 y軸交于點(diǎn)A(0, ).
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若直線 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x ,x ,當(dāng). 時(shí)，求k 的值.
14.分類討論思想(2025·浙江金華期中)已知點(diǎn) P(m,n)在拋物線 (a為常數(shù),a≠0)上.
(1)若m=2,n=4,
①求拋物線的解析式；
②若點(diǎn)A(t-1,y ),B(t,y )在該二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn) A 在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)B 在對(duì)稱軸右側(cè)，若y 15.已知函數(shù) 將該函數(shù)的圖象記為圖象W.
(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象W；
(2)當(dāng)y=1時(shí),x= ;
(3)若直線y=k與圖象 W 有2個(gè)公共點(diǎn)，求k 的取值范圍；
(4)若直線y=k與圖象 W 有4個(gè)公共點(diǎn)，求k 的取值范圍.
延伸探究提優(yōu)
16.將軍飲馬模型(2025·廣東中山一中期中)[問題背景]已知拋物線 (a,b為常數(shù)，a>0)的頂點(diǎn)為 P，對(duì)稱軸與x 軸相交于點(diǎn)D,點(diǎn)M(m,1)在拋物線上,m>1,O 為坐標(biāo)原點(diǎn).
[構(gòu)建聯(lián)系]
(1)如圖(1),當(dāng)a=1,與 y 軸交于點(diǎn)(0,-1)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)；
(2)如圖(2),當(dāng) 時(shí)，求a的值；[深入探究]
(3)如圖(3)，若N 是拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn) N在第四象限,∠MDN=90°,DM=DN,點(diǎn) E在線段 MN 上,點(diǎn) F 在線段 DN 上,NE+ 當(dāng)DE+MF 取得最小值為 時(shí)，求a 的值.
中考提分新題
17.(2024·通遼中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，拋物線 (k為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn) D 且交x軸于A,B 兩點(diǎn).
(1)求拋物線表示的函數(shù)解析式；
(2)若點(diǎn) P 為拋物線的頂點(diǎn),連接AD,DP,CP.求四邊形ACPD 的面積.
二次函數(shù) 的圖象和性質(zhì)(3)
1. B
2. D [解析]A. a=-1<0,拋物線開口向下,故選項(xiàng) A不符合題意；B.拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 故選項(xiàng)B不符合題意；C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3, ),故選項(xiàng)C不符合題意；D.當(dāng)x<-4時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D符合題意.故選 D.
3. D [解析]∵拋物線 開口向上，對(duì)稱軸是直線 x=1,∴當(dāng)x<1時(shí),y 隨x 的增大而減小. 關(guān)于直線 x=1的對(duì)稱點(diǎn)是 且 故選 D.
[解析]將拋物線 先向上平移3個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，所得新拋物線的函數(shù)關(guān)系式為. 即
5.h≥-2 [解析]∵ ，對(duì)稱軸為直線x=-h.∵a=-2<0,∴拋物線開口向下,
∴在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小.
∵當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴-h≤2,解得h≥-2.
6.(1,2) [解析]將拋物線. 先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后拋物線解析式為 y= ∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2).
7.設(shè)拋物線解析式為 ，把點(diǎn).A(0, 代入拋物線解析式，得 解得
故拋物線解析式為
令y=0,則
解得. (舍去),x =5,即可得OB=5米.
故水流落地點(diǎn) B 到墻的距離OB 為5米.
8. A [解析]A.一次函數(shù)y=cx+a的圖象過第一、二、四象限,a>0,c<0,二次函數(shù). 的圖象開口向上,頂點(diǎn)為(3,c)在第四象限,a>0,c<0,故A正確;B.一次函數(shù)y=cx+a的圖象與y軸交于負(fù)半軸，a<0，與二次函數(shù) 的圖象開口向上，即a>0相矛盾，故B錯(cuò)誤；C.二次函數(shù) 的對(duì)稱軸為直線x=3,應(yīng)在y軸右側(cè),故C錯(cuò)誤;D.一次函數(shù)y= cx+a的圖象過第一、二、三象限，c>0，與拋物線. c的頂點(diǎn)(3，c)在第四象限，c<0相矛盾，故D 錯(cuò)誤.故選 A.
9. D [解析]函數(shù)的圖象如圖，根據(jù)圖象知道當(dāng)y=3時(shí)，對(duì)應(yīng)成立的x的值恰好有三個(gè)，∴k=3.故選 D.
解題關(guān)鍵 利用二次函數(shù)的圖象解決交點(diǎn)問題，關(guān)鍵是把解方程的問題轉(zhuǎn)換為根據(jù)函數(shù)圖象找交點(diǎn)的問題.
[解析]∵一條拋物線的形狀與拋物線 形狀相同，∴a=±2.設(shè)拋物線的解析式為 由 可知頂點(diǎn)坐標(biāo)是(—1,—2),∴此拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是(—1,—2),
∴拋物線的解析式為
11.3[解析]由圖象,知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,3),
12. [解析]∵點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4,2),∴AB=4.
∵拋物線 (h,k為常數(shù))與線段 AB交于C，D兩點(diǎn)，且 設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(c,2),則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為((c+ 解得
13.(1)∵拋物線 (a為常數(shù)且a≠0)與y軸交于點(diǎn)
∴該拋物線的解析式為
(2)∵直線 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)， 整理，得
解得 或k=2,∴k的值為2或
14.(1)①將點(diǎn) P(2,4)代入 得a+3=4,解得a=1,
∴拋物線的解析式為.
②拋物線 的對(duì)稱軸為直線x=1，根據(jù)題意，得 解得
(2)當(dāng)a>0時(shí),y≥3,與題意不符,∴a<0,
∴拋物線 開口向下，對(duì)稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)x≤1時(shí),y 隨x的增大而增大,當(dāng)x≥1時(shí),y 隨x的增大而減小,∴當(dāng)m=-1時(shí),n=-2.
將P(-1,-2)代入
得-2=4a+3,解得
15.(1)對(duì)于函數(shù)
當(dāng)x=0時(shí),
當(dāng)x=1時(shí),
當(dāng)x=-1時(shí),
當(dāng)x=3時(shí),
當(dāng)x=-3時(shí),
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象W.
(2)0或2或-2 [解析]將y=1代入 2(x≥0),得: ，解得. 2;將y=1代入 得1=-(x+ 解得 (舍去).
綜上所述,當(dāng)y=1時(shí),x=0或2或-2.
(3)由圖，知當(dāng)直線y=k與直線y=2重合時(shí)，直線y=k與圖象 W 有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k=2；
當(dāng)直線 y=k 在直線y=1下方時(shí),直線 y=k 與圖象 W也有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k<1.
綜上所述，k的取值范圍為k=2或k<1.
(4)由圖，知當(dāng)直線y=k在直線y=2與直線y=1之間時(shí),直線y=k 與圖象 W 有4個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)116.(1)∵a=1,與y軸交于點(diǎn)(0,-1),
,解得k=-2,
∴該拋物線的解析式為.
∴該拋物線頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1,-2).
(2)如圖(1),過點(diǎn) M(m,1)作 MH⊥x軸,垂足為 H,m>1,
則∠MHO=90°,HM=1,OH=m.
在 Rt△MOH 中,由勾股定理,得
解得 (不合題意，舍去)，
∴點(diǎn)M 的坐標(biāo)為( ,1).
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1..
∵對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn) D,∴OD=1,∠ODP=90°.
在 Rt△OPD 中, 由勾股定理，得OD +
解得 或 (不合題意，舍去).
由a>0，得該拋物線頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為
∴該拋物線的解析式為
∵點(diǎn)M( ，1)在該拋物線上，
解得a=10.
(3)如圖(2),過點(diǎn) M(m,1)作 MH⊥x軸,垂足為 H,m>1,則∠MHO=90°,HM=1,OH=m,
∴DH=OH-OD=m-1,
∴在Rt△DMH 中,I
過點(diǎn) N作NK⊥x軸,垂足為K,則∠DKN=90°,
在△NDK 和△DMH 中,
∴△NDK≌△DMH(AAS),
∴ DK = MH = 1, NK = DH =m-1,
∴點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(2,1-m).
在 Rt△DMN 中,∠DMN=∠DNM=45°,
即
根據(jù)題意， 得ME=NF.
在△DMN 的外部,作∠DNG=∠DME=45°,且 NG=DM,連接GM,得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.
在△GNF 和△DME中
∴△GNF≌△DME(SAS),∴GF=DE,
∴DE+MF=GF+MF≥GM,
當(dāng)滿足條件的點(diǎn) F 落在線段GM上時(shí)，DE+MF 取得最小值，即(
在 Rt△GMN 中,(
得
解得 (舍去),
∴點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(3,1),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(2,-2).
∵點(diǎn)M(3,1),N(2,-2)都在拋物線 上， 解得a=1,k=-3.
名師點(diǎn)評(píng) 解二次函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用這類問題時(shí)，關(guān)鍵是善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件.解決本題需熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用方程思想、分類討論思想.
17.(1)在 中,令x=0,得:y=3,∴D(0,3).
∵拋物線 經(jīng)過點(diǎn)D(0,3),
解得k=4,
∴拋物線表示的函數(shù)解析式為
(2)如圖,連接OP,
在 中,令y=0,得x=2,
∴C(2,0),OC=2.
在 中,令y=0,得 3,解得x=6或x=-2,
∴A(-2,0),OA=2.
由 可得頂點(diǎn) P 坐標(biāo)為(2,4),
故四邊形ACPD 的面積為10.

展開更多......

收起↑