資源簡介

第二十一章一元二次方程提優(yōu)測(cè)評(píng)卷
時(shí)間:90分鐘 總分:100分
第Ⅰ卷(選擇題 共20分)
一、選擇題(本題包括10 小題，每小題2分，共20分)
1.(2024·汕頭澄海實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.
A. x+2y=1
2.一元二次方程 的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）.
A. 3,-5,-4 B. 3,-4,5 C. 3,-4,-5 D. 3,-5,4
3.(2024·北京中考)若關(guān)于x 的一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c 的值為( ).
A. - 16 B. - 4 C. 4 D. 16
4.方程 的解是（ ）.
B. x=0
5.(2024·德州中考)把多項(xiàng)式 進(jìn)行配方，結(jié)果為（ ）.
6.方程2x(x-3)+5(3-x)=3-x 的根是( ).
A. x=2 B. x=3
7.若關(guān)于x 的一元二次方程的根為 則這個(gè)方程是（ ）.
8.(2024·淮安中考)若關(guān)于x 的一元二次方程. 有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k 的取值范圍是（ ）.
A. k≥4 B. k>4 C. k≤4 D. k<4
9.(2024·天津西青區(qū)期末)已知一元二次方程 的兩根為x ，x ，下列式子正確的是( ).
10.數(shù)學(xué)文化 印度古算書印度古算書中有一首用韻文寫成的詩：“一群猴子分兩隊(duì)，高高興興在游戲.八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里.其余十二高聲喊，充滿活躍的空氣.告我總數(shù)共多少，兩隊(duì)猴子在一起 ”大意是說：“一群猴子分成兩隊(duì)，一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的 的平方，另一隊(duì)猴子數(shù)是12，那么這群猴子的總數(shù)是多少 ”設(shè)這群猴子的總數(shù)是x只，根據(jù)題意可列出的方程是（ ）.
第Ⅱ卷(非選擇題 共80分)
二、填空題(本題包括8小題，每小題2分，共16分)
11.(2024·宿州碭山一模)方程( 是關(guān)于x 的一元二次方程，則m= 。
12.(2024·重慶萬州區(qū)期末)已知a 是關(guān)于x 的一元二次方程 的一個(gè)根，則代數(shù)式10a 的值為 .
13.一個(gè)三角形的兩邊長分別為1 和2，另一邊長是方程 的解，則這個(gè)三角形的周長是 .
14.三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程 的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是 .
15.如果(m+n+2)(m+n-2)=2,那么m+n的值為 .
16.(2024·西寧中考)已知方程 的兩根分別為 a 和b，則 的值為 .
17.已知實(shí)數(shù)a，b滿足 則
18.(2025·湖南永州京華中學(xué)期中)新定義：關(guān)于x 的一元二次方程( 與 k=0稱為“同族二次方程”，如 與 是“同族二次方程”.現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程 與 是“同族二次方程”，那么代數(shù)式 能取的最小值是 .
三、解答題(本題包括8小題，第19題6分，第26題10分，其余每題8分，共64分)
19.解方程:
(1)(2024·安徽中考). (2)(2024·齊齊哈爾中考)
20.整體思想(2024·河南洛陽汝陽期中)若m 是一元二次方程 的根，求代數(shù)式 的值.
21.數(shù)學(xué)文化《代數(shù)學(xué)》閱讀下面的材料：
一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中.到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法，我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著《勾股圓方圖注》中也給出了類似的解法.
以 為例，花拉子米的幾何解法步驟如下：
①如圖(1)，在邊長為x的正方形的兩個(gè)相鄰邊上作邊長分別為x和5 的矩形，再補(bǔ)上一個(gè)邊長為5 的小正方形，最終把圖形補(bǔ)成一個(gè)大正方形；
②一方面大正方形的面積為( 另一方面它又等于圖中各部分面積之和，因?yàn)?可得方程( ，則方程的正數(shù)解是
根據(jù)上述材料，解答下列問題.
(1)補(bǔ)全花拉子米的解法步驟②；
(2)根據(jù)花拉子米的解法，在圖(2)的兩個(gè)構(gòu)圖①②中，能夠得到方程 的正數(shù)解的正確構(gòu)圖是 (填序號(hào)).
22.中考新考法 新定義問題我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d有 其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求 的值；
(2)已知關(guān)于x的方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m 的取值范圍.
23.(2024·遼寧中考)某商場出售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y(件)與每件售價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：
每件售價(jià)x/元 45 55 65
日銷售量y/件 55 45 35
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍).
(2)該商品日銷售額能否達(dá)到2600元 如果能，求出每件售價(jià)；如果不能，說明理由.
24.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).
素材1 隨著數(shù)字技術(shù)、新能源、新材料等不斷突破，我國制造業(yè)發(fā)展迎來重大機(jī)遇.某工廠一車間借助智能化，對(duì)某款車型的零部件進(jìn)行一體化加工，生產(chǎn)效率提升，該零件4月份生產(chǎn)100個(gè)，6月份生產(chǎn)144個(gè).
素材2 該廠生產(chǎn)的零件成本為30元/個(gè)，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)零件售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為 600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元，則月銷售量將減少10個(gè).
問題解決
任務(wù)1 該車間4月份到6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率.
任務(wù)2 為使月銷售利潤達(dá)到10000 元，而且盡可能讓車企得到實(shí)惠，則該零件的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元
25.綜合與探究：如果關(guān)于x 的一元二次方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”.例如：一元二次方程 的兩個(gè)根是 則方程 是“鄰根方程”.
(1)通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：
已知關(guān)于x的一元二次方程 (m是常數(shù))是“鄰根方程”，求m 的值.
26.換元法當(dāng)解某些計(jì)算較復(fù)雜的一元二次方程時(shí)，可考慮用“縮根法”簡化運(yùn)算.“縮根法”是指將一元二次方程先轉(zhuǎn)化成系數(shù)比原方程簡單的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并將新方程的兩根同時(shí)縮小若干倍，從而得到原方程的兩個(gè)根.
已知：關(guān)于x的一元二次方程( 的兩根為 求關(guān)于x的一元二次方程 的兩根.
答案解：
令px=t,得新方程
∵新方程的解為
∴原方程的兩根為
這種解一元二次方程的方法叫做“縮根法”.
舉例：用縮根法解方程
解：
令7x=t,得新方程
解得
∴原方程的兩根為
請(qǐng)利用上面材料解決下列問題，并寫出具體步驟：
(1)用縮根法解方程：
(2)用縮根法解方程：
第二十一章提優(yōu)測(cè)評(píng)卷
1. D 2. C 3. C 4. A 5. B
6. C [解析]2x(x-3)+5(3-x)=3-x,
2x(x-3)-5(x-3)+x-3=0,
(x-3)(2x-5+1)=0,x-3=0或2x-5+1=0,所以 故選C.
7. C
8. D[解析]∵關(guān)于x 的一元二次方程. 有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，. 即16-4k>0,解得k<4.故選D.
9. C[解析]根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得， 所以 A，B選項(xiàng)不符合題意； ，所以C選項(xiàng)符合題意； 所以D選項(xiàng)不符合題意.故選C.
10. D[解析]∵這群猴子的總數(shù)是x 只，∴一隊(duì)猴子數(shù)是 只.根據(jù)題意.得 故選D.
11.—2 [解析]∵方程( 是關(guān)于x的一元二次方程，
且m-2≠0,解得m=-2.
12.-7 [解析]把x=a 代入. 得 1=0,所以 所以 5a)-5=-2-5=-7.
13.5 [解析]∵x -5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,解得 ∵一個(gè)三角形的兩邊長分別為1 和2，∴另一邊長是2，不能是3，∴這個(gè)三角形的周長是1+2+2=5.
14.24或8 [解析]∵
∴(x-6)(x-10)=0,解得.
當(dāng)x=6時(shí)，則三角形是等腰三角形，如圖(1)，
AB=AC=6,BC=8,AD 是高,
當(dāng)x=10時(shí),如圖(2),AC=6,BC=8,AB=10.
∴△ABC 是直角三角形,∠C=90°,
∴該三角形的面積是24或8
[解析]∵(m+n+2)(m+n-2)=2,∴(m+
16.16 [解析]∵方程 的兩根分別為a和b，
或2 [解析]∵實(shí)數(shù)a,b滿足 ，∴可將a，b看作一元二次方程3 4x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴當(dāng)a=b時(shí),則 當(dāng)a≠b時(shí), 則
18.2030 [解析]∵ 與( +8=0是“同族二次方程”，
,
最小值為0，
最小值為2030,即 最小值為2030.
配方，得 即
則x-1=2或.
(2)∵x -5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,
則x-2=0或x-3=0,解得.
20.∵m是一元二次方程. 的根，
且
即
21.(1)55 25 3
(2)①[解析]如題圖(2)的①，在邊長為x 的正方形的兩個(gè)相鄰邊上，分別在內(nèi)部截取邊長為x和3的矩形，一方面左下角的正方形的面積為(x-3) ，另一方面它又等于圖中大正方形減去兩個(gè)矩形面積，再加上重合的面積9.因?yàn)?可等方程( 則方程的正數(shù)解為x=7.
素養(yǎng)考向 本題介紹中外關(guān)于一元二次方程的幾何解法，學(xué)生通過閱讀，理解解法，考查學(xué)生的理解能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).
22.(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根據(jù)題意,得x(mx+1)-m(2x-1)=0,整理，得
∵關(guān)于x 的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 且m≠0,解得 且m≠0.
23.(1)由題意,設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y= kx+b,又結(jié)合表格數(shù)據(jù)圖象過(45,55),(55,45),
∴所求函數(shù)關(guān)系式為.y=-x+100.
(2)由題意，銷售額 又銷售額是2600元，
∵△=(-100) -4×2600=10000-10400=-400<0.
∴方程沒有解，該商品日銷售額不能達(dá)到2600元.
24.(1)設(shè)該車間 4 月份到 6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率為x，根據(jù)題意得
解得x =0.2=20%,x =-2.2(不符合題意,舍去).
故該車間4月份到6月份生產(chǎn)數(shù)量的平均增長率為20%.
(2)設(shè)該零件的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為 y元，則每個(gè)的銷售利潤為(y-30)元,月銷售量為600-10(y-40)=(1000-10y)個(gè),根據(jù)題意,得(y—30)(1000—10y)=10000,整理得 ,解得y =50,y =80.
∵要盡可能讓車企得到實(shí)惠，∴y=50.
故該零件的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元.
25.(1)①∵x +x-6=0,∴(x+3)(x-2)=0,
不是“鄰根方程”.
是“鄰根方程”.
∵方程x -(m-2)x-2m=0(m是常數(shù))是“鄰根方程”,∴m=-2+1或m=-2-1,∴m=-1或-3.
26.(1)設(shè)6x=t,得到新方程
解得
∴原方程的兩根是
(2)原方程整理為 設(shè)3x=t，得到新方程； 解得 ∴原方程的兩根是

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