資源簡介

22.1.2二次函數 的圖象和性質
基礎鞏固提優
1.(2025·安徽安慶期中)二次函數 的圖象的對稱軸是（ ）.
A. y軸 B. x軸
C. 直線x=1 D. 直線x=-1
2.(2024·廣東中考)若點(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函數. 的圖象上，則（ ）.
3.拋物線 共有的性質是( ).
A.開口向下 B.對稱軸是 y軸
C.都有最低點 D. y隨x的增大而減小
4.中考新考法 滿足結論的條件開放 (2025·浙江湖州期中)已知拋物線 的開口向上，寫出一個滿足條件的k值 .
5.如果一個二次函數圖象的頂點在x 軸上，且在y 軸的右側部分是上升的，請寫出一個符合條件的函數解析式： .
6.教材P32練習·變式 已知二次函數 當x=3時,y=3.
(1)求當x=-2時,y的值;
(2)寫出它的圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向.
思維拓展提優
7.下列圖象中，當 ab>0時，函數 與y=ax+b 的圖象是( ).
8.中考新考法 新定義問題 設 max{x,y}表示x,y兩個數中的最大值，例如““max{1,3}=3, max{-2,則關于x 的函數 y= max{2x,的最小值為 .
9.二次函數 的圖象如圖所示，點A。位于坐標原點，點A ,A ,A ,……,A 在 y 軸的正半軸上,點B ,B ,B ,…,B 在二次函數 位于第一象限的圖象上,若△A B A ,△A B A ,△A B A ,…,△A B A 都為等邊三角形，則 的邊長= .
10.(2025·江西贛州會昌實驗學校月考)已知點(-2,-3)在二次函數 的圖象上.
(1)求a的值;
(2)若點 都在二次函數 的圖象上,請將 y ,y ,y 直接用“<”連接起來.
11.(2025·山東濱州期中)如圖，已知一次函數 y=kx+b的圖象與二次函數 的圖象交于點A(1,m)和B(-2,4),與y軸交于點C.
(1)求兩個函數的解析式；
(2)求△AOB 的面積.
延伸探究提優
12.方程思想如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線 OA 交二次函數 的圖象于點A,∠AOB=90°,點 B 在該二次函數的圖象上,設過點(0,m)(其中m>0)且平行于 x軸的直線交直線 OA 于點 M,交直線 OB 于點 N,以線段OM,ON 為鄰邊作矩形OMPN.
(1)若點 A 的橫坐標為8.
①用含 m 的代數式表示點 M 的坐標.
②點 P 能否落在該二次函數的圖象上 若能，求出 m 的值；若不能，請說明理由.
(2)當m=2時，若點 P 恰好落在該二次函數的圖象上，請直接寫出此時滿足條件的所有直線OA 的函數解析式.
中考提分新題
13.(2023·巴中中考)如圖，在平面直角坐標系中，直線y= kx+1與拋物線 交于A,B兩點，設A(x ,y ),B(x ,y ),則下列結論正確的個數為（ ）.
③當線段 AB 長取最小值時，則△AOB 的面積為2;
④若點 N(0,-1),則AN⊥BN.
1 B. 2 C. 3 D. 4
1. A 2. A
3. B [解析] 和 共有的性質是頂點為原點，對稱軸為y軸，開口大小相同.故選B.
知識拓展 二次函數 中a的作用：①a的正負決定拋物線的開口方向和函數的最值.②|a|的大小決定拋物線的開口大小，|a|越大，開口越小；|a|越小，開口越大；|a|相等，說明開口大小相同.
4.3(答案不唯一)
(答案不唯一)
6.(1)把x=3,y=3代入. 得 解得 ∴這個二次函數的解析式為
當x=-2時,
(2)∵在. 中， ∴它的圖象的對稱軸是y軸，頂點坐標是(0，0)，開口向上.
7. D [解析]A.對于直線y= ax+b,得a>0,b<0,與 ab>0矛盾，所以A選項錯誤；B.由拋物線. 開口向上得到a>0，而由直線y=ax+b經過第一、二、四象限得到a<0，矛盾，所以B選項錯誤；C.由拋物線. 開口向下得到a<0，而由直線y=ax+b經過第一、三、四象限得到a>0，矛盾，所以C選項錯誤；D.由拋物線y=ax 開口向下得到a<0，由直線y=ax+b經過第二、三、四象限得到a<0,b<0,符合 ab>0,所以D選項正確.故選 D.
8.-1 [解析]如圖,將y=2x,y=-x-2和. 畫在同一個平面直角坐標系中，易得點A 的坐標為(-1，-1)，點B 的坐標為(0，0).由題意可知，關于x 的函數y=max{2x,-x-2,-x }|的圖象,即y=2x,y=-x-2和 在不同范圍內的部分圖形，即當x≤-1時，y=-x-2,當x=-1時,有最小值,為-1;當-1≤x≤0時, ,當x=-1時,有最小值,為-1;當x≥0時，y=2x，當x=0時，有最小值，為0.綜上所述，關于x的函數y= max{2x,-x-2,-x }的最小值為-1.
素養考向 本題通過引入新定義，考查了二次函數和一次函數的性質.學生應具備邏輯推理和判斷能力相關素養，運用比較、歸納、演繹、分析與綜合等思維方法解決此類新定義問題.
9.2025 [解析]如圖,分別過B ,B ，B 作y軸的垂線，垂足分別為 A, B, C, 設 A A = a, 則 在△A B A 中, 代入 中，得 解得a=1或a=0(舍去),即 在△A B A 中, 代入 中，得 解得b=2或b=-1(舍去),即 在△A B A 中， 代入y= 中，得 解得c=3或c=-2(舍去)，即 由此可得 的邊長為2025.
10.(1)∵點(-2,-3)在二次函數 的圖象上， 解得
(2)由(1)得 其圖象的對稱軸為y軸，離對稱軸越遠函數值越小.
∵點 都在該函數圖象上
11.(1)把點 B(-2,4)代入二次函數 得4a=4,解得a=1,
∴二次函數的解析式為
點A(1，m)代入二次函數解析式，得m=1，
把點A(1,1),B(-2,4)代入一次函數y= kx+b,得 解得
(2)令x=0,則y=2,∴一次函數與y軸交于點C(0,2),
12.(1)①∵點A 在二次函數 的圖象上，且點 A 的橫坐標為8,∴A(8,16),∴直線OA 的解析式為y=2x.
∵點M 的縱坐標為m，且點 M 在直線OA 上，
∴點M 的坐標為(
②能.
假設點 P 能落在該二次函數的圖象上，如圖，連接OP.∵∠AOB=90°,直線 OA 的解析式為y=2x,
∴直線 OB 的解析式為
∵點 N 在直線OB 上,點 N 的縱坐標為m，
∴N(-2m,m),∴MN 的中點的坐標為
∵矩形的對角線互相平分，且點O 的坐標為(0，0)，
把點 P 的坐標代入 得 解得 或m=0(舍去).
(2)①當點A 在y軸的右側時，設.
∴直線 OA 的解析式為
∵∠AOB=90°,即 OB⊥OA,∴直線 OB 的解析式為 可得
把點 P 的坐標代入 得 解得 (負值已舍去)，
∴直線 OA 的解析式為
②當點 A 在 y 軸的左側時，即為①中點 B 的位置，∴直線 OA 的解析式為
綜上所述，滿足條件的直線OA 的解析式為 或
13. C[解析]由題意，聯立方程組 得x ,x 滿足方程 滿足方程 依據根與系數的關系，得. ①②正確;
由兩點間距離公式，得. ∴當k=0時,AB 最小值為4,此時 AB=2,∴③正確;
由題意，得
∴當k=0時,AN⊥BN;當k≠0時,AN 與BN 不垂直,∴④錯誤.故選 C.
知識拓展 若直線 與直線 垂直，則有

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