資源簡介

22.1.3二次函數 的圖象和性質 (1)
基礎鞏固提優
1.(2025·廣西期中)拋物線 的對稱軸是( ).
A. x 軸 B. y軸
C. 直線 y=0 D. 直線x=1
2.(2025·江蘇蘇州姑蘇區景范中學月考)將二次函數 y= 的圖象沿 y軸向下平移2個單位長度，則得到的圖象對應的函數解析式為（ ）.
3.(2025·陜西西安期中)拋物線. 的頂點是
4.已知二次函數. 的圖象經過點(1，1)，則這個二次函數的解析式為 .
5.教材P33練習·變式(2025·福建廈門湖里區華師希平雙語學校月考)在如圖所示的平面直角坐標系中畫出二次函數 與二次函數 1的圖象，并說明兩個函數圖象性質的相同點與不同點.
思維拓展提優
6.在同一平面直角坐標系中，一次函數y=ax+k與二次函數 的圖象可能是（ ）.
7.如果將拋物線 繞著原點旋轉 180°得到一條新拋物線，那么下列關于這兩條拋物線的描述中，正確的是（ ）.
A.開口方向相同 B.頂點坐標相同
C.變化情況相同 D.對稱軸相同
8.(2024·赤峰中考)如圖,正方形ABCD 的頂點A,C在拋物線 上,點D 在 y 軸上.若A,C兩點的橫坐標分別為m,n(m>n>0)，下列結論正確的是（ ）.
A. m+n=1 B. m-n=1
C. m=1
9.(四川南充高級中學自主招生)已知函數 1324在0實驗班提優訓練
10.(2025·重慶豐都期中)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 的圖象經過正方形ABOC 的三個頂點A,B,C.
(1)求點A，B，C的坐標；(用含c的代數式表示)
(2)求 ac 的值.
延伸探究提優
11.中考新考法線段間數量關系探究 已知點C 為拋物線 的頂點.
(1)直接寫出點C 的坐標為 ；
(2)若拋物線經過點(2,3).
①直接寫出拋物線的解析式為 ；
②如圖(1),點 B(0,5),以OB 為底的等腰直角三角形OAB 交拋物線于點 P，將點 P 繞原點O 順時針旋轉45°到點 P',求點 P'的坐標;
(3)如圖(2)，過拋物線上一點 M 作直線l平行于y軸，直線CE 交拋物線另一點于點 E，交直線l 于點 D，過點M 作MN∥x軸，交拋物線于另一點 N,過點 E作EF⊥MN 于點 F.若點 M的橫坐標為 ,試探究 DM 與 FM 之間的數量關系，并說明理由.
中考提分新題
12.數形結合思想 (2024·湖南中考改編)已知二次函數 的圖象經過點A(-2,5),點P(x ,y ),Q(x ,y )是此二次函數的圖象上的兩個動點.
(1)求此二次函數的解析式；
(2)如圖，此二次函數的圖象與x 軸的正半軸交于點B，點P 在直線AB 的上方，過點 P作 PC⊥x軸于點 C,交 AB 于點 D,連接AC,DQ,PQ.若 求證： 的值為定值.
1. B 2. C 3.(0,1)
5.函數圖象如圖所示：
相同點：①拋物線的開口的大小相同；②對稱軸都是 y軸；③頂點到x軸的距離相同.
不同點：①開口的方向不同；②當x>0時，函數 +1隨x的增大而增大，函數 隨x的增大而減??；當x<0時，函數 隨x的增大而減小，函數 隨x的增大而增大.
歸納總結 形如 的二次函數的圖象的顯著特征是對稱軸為y軸，頂點在y軸上.
6. C [解析] A.由拋物線可知,a>0,k>0,由直線可知,a<0，k>0，矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；
B.由拋物線可知,a>0,k<0,由直線可知,a>0,k>0,矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；
C.由拋物線可知,a<0,k>0,由直線可知,a<0,k>0,故本選項正確，符合題意；
D.由拋物線可知,a<0,k<0,由直線可知,a>0,k<0,矛盾，故本選項錯誤，不符合題意.故選 C.
思路引導 解決二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出一個函數關系式中系數的符號，然后判斷另一個函數關系式中系數的符號，對應符號相同的即為正確選項.
7. D[解析]A.它們的開口方向相反，不符合題意；B.它們的頂點坐標關于原點對稱，不符合題意；C.它們的開口方向相反，頂點坐標關于原點對稱，即選項的變化情況不相同，不符合題意；D.它們的對稱軸相同，符合題意.故選 D.
8. B[解析]如圖，分別過點A 和點C 作y軸的垂線，垂足分別為M和N，將A，C兩點的橫坐標代入函數解析式，得點A 的坐標為( 點C的坐標為( 4),∴AM=m,MO=-m +4,CN=n,NO=-n +4.∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠CDN
+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°,
∴∠CDN=∠DAM.
在△CDN 和△DAM中,
∴△CDN≌△DAM(AAS),∴DM=CN=n,DN =AM=m,∴MN=DM+DN=m+n.∵MN=NO- ,即(m+n)(m-n)=m+n.∵m>n>0,∴m+n≠0,∴m-n=1.故選 B.
9.(1,3) [解析]若0則有 解得 即(a,b)=(1,3).
10.(1)如圖,連接 BC 交OA 于點 D,當x=0時,y=c,
∴AO=c,A(0,c).
∵四邊形ABOC 是正方形，
∴BC⊥AO,BC=OA=c,BD=
(2)把點 C坐標代入 得 由圖知c>0,∴ac=-2.
11.(1)(0,1) [解析]令x=0,得y=1,∴點 C 的坐標為(0,1).
[解析]把(2,3)代入 得3=4a+1,解得
故拋物線的解析式為
②∵點 B 的坐標為(0,5),△OAB 為等腰直角三角形,∴點A 的坐標為
設直線 AB 的解析式為y= kx+5,
將點A 的坐標代入y=kx+5,得 解得k=-1,∴直線AB 的解析式為y=-x+5.
聯立 解得 或 (舍去),∴點 P 的坐標為(2,3).
如圖，設將點 P'繞原點O 順時針旋轉 45°到點 P"，則OP⊥OP".
由旋轉的性質，得點 P"的坐標為(3，-2)，
連接 PP"交OP'于點 H,則點 H 是 PP"的中點.
由中點坐標公式，得點
則直線 OH 的解析式為
設點 由題意，得(OP=OP',
即 解得 (負值已舍去).
故點 P'的坐標為
(3)DM=2FM.理由如下:
對于 當 時， 1，∴點M的坐標為
設直線 CE 的解析式為 將點C的坐標代入. ,得b=1,
∴直線 CE 的解析式為y=k'x+1,∴D( ,+1).
聯立 解得 或
∴點 E 的坐標為 ∴點 F 的坐標為 即DM=2FM.
解后反思 解二次函數與幾何知識的綜合應用這類問題關鍵是善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件.
12. (1)將點 A 的坐標代入拋物線解析式,得5=-4+c,∴c=9，∴此二次函數的解析式為.
(2)令 ,則x=±3,則點 B(3,0).由點A,B 的坐標,得直線AB 的解析式為y=-x+3.由題意，得點 P，Q，D的坐標分別為(
同理可得 為定值.

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