9.新情境 俄羅斯方塊游戲 在俄羅斯方塊游戲中，屏幕上方圖形向下運(yùn)動(dòng)，若某行被小方格填滿，則該行中的所有小方格會(huì)自動(dòng)消失.如圖，假如屏幕上方圖形“L”可直接經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到圖中左下方的陰影位置，則旋轉(zhuǎn)中心為圖中的點(diǎn) .(填“A”“B”“C”或“D”)
10.如圖,正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為2cm ,以各邊中點(diǎn)為圓心，1cm為半徑依次作 圓，將正方形分成四部分.
(1)這個(gè)圖形 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形(填“是”或“不是”)；若是，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) ，最小旋轉(zhuǎn)角是 度；
(2)求圖形OBC 的周長(zhǎng)和面積.
延伸探究提優(yōu)
11.新情境數(shù)學(xué)與生活融合 數(shù)學(xué)在我們生活中無(wú)處不在，一節(jié)廣播操的運(yùn)動(dòng)過(guò)程就有數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖(1)為一節(jié)廣播操動(dòng)作的示意圖，為了研究方便，兩手手心位置分別記為A，B兩點(diǎn)，兩腳腳跟位置分別記為C，D兩點(diǎn)，若A，B，C，D在同一個(gè)平面內(nèi)，做操過(guò)程中將手腳運(yùn)動(dòng)近似看作A，B，C，D繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，其中O為該平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn).
(1)在腿部運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，A，O，B三點(diǎn)始終共線.如圖(2)，當(dāng)A，B不在水平方向上時(shí)，若∠COD=37°,∠AOD:∠BOC=4:3,求∠AOD 的度數(shù);
(2)圖(3)為體側(cè)運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)前,A,O,B 三點(diǎn)共線,且AB∥CD,∠COD=30°,OE 平分∠COD,且OE⊥CD. OA,OB 繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),若OA 的旋轉(zhuǎn)速度為 67.5°/s,OB 的旋轉(zhuǎn)速度為37.5°/s,當(dāng)OB 運(yùn)動(dòng)到OD 位置時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.
①運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，直接寫(xiě)出∠AOD= ；(用小于平角的度數(shù)表示)
②判斷運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠AOC 與∠BOE 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
中考提分新題
12.(2023·蘭州中考)如圖，將面積為 7 的正方形OABC 和面積為 9 的正方形 ODEF 分別繞原點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使OA，OD 落在數(shù)軸上，點(diǎn) A，D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為a，b，則b-a= .
第2課時(shí) 圖形的旋轉(zhuǎn)(2)
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.如圖，把△ABC 以點(diǎn)A 為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,點(diǎn) B,C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) D,E,且點(diǎn)E 在BC 的延長(zhǎng)線上，連接BD，則下列結(jié)論一定正確的是( ).
A. ∠CAE=∠BED B. AB=AE
C. ∠ACE=∠ADE D. CE=BD
2.(2024·無(wú)錫中考)如圖,在△ABC 中,∠B=80°,∠C=65°,將△ABC 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'.當(dāng)AB'落在AC 上時(shí),∠BAC'的度數(shù)為( ).
A. 65° B. 70° C. 80° D. 85°
3.教材P60例·變式 (2025·福建福州晉安區(qū)期中)如圖，D是等邊三角形ABC 內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD 繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AE,連接CD,BE.
(1)求證:△AEB≌△ADC;
(2)連接DE,若∠ADC=96°,求∠BED 的度數(shù).
思維拓展提優(yōu)
4.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2.點(diǎn) D 在BC 上,且 BD:CD=1: 3.連接AD，線段AD 繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 AE,連接 BE,DE,則△BDE 的面積是( ).
A. B. C. D.
5.如圖,在△AOB 中,∠AOB=90°,AO=4,BO=8,△AOB 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A'OB'處,此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E 為BO的中點(diǎn)，則線段B'E的長(zhǎng)度為( ).
6.(重慶沙坪壩區(qū)自主招生)如圖,△ABC,△CDE 都是等邊三角形，將△CDE 繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE.若BE=2,AE=7,則CD的長(zhǎng)是 .
7.(2025·西安交大附中模擬)如圖,線段 AB=5,點(diǎn) C為線段AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將線段 BC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)120°得到線段CD,連接AD,E 為AD 的中點(diǎn),連接BE，則線段BE 的最小值為 .
8.將一副直角三角板 DOE 與 AOC 疊放在一起,如圖(1),∠O=90°,∠A=30°,∠E=45°,OD>OC.在兩三角板所在平面內(nèi)，將三角板DOE 繞點(diǎn)O 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°)到三角板 D OE 的位置,使OD ∥AC,如圖(2).
(1)求α的值;
(2)如圖(3),繼續(xù)將三角板 DOE 繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn) E 落在邊AC上點(diǎn)E 處，點(diǎn) D 落在點(diǎn)D 處,設(shè)E D 交OD 于點(diǎn) G,OE 交AC 于點(diǎn) H,若點(diǎn) G 是E D 的中點(diǎn),試判斷四邊形OHE G 的形狀，并說(shuō)明理由.
延伸探究提優(yōu)
9.分類討論思想如圖，點(diǎn)O 是等邊三角形ABC 內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC 繞點(diǎn)C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD.填空:
(1)線段OD 與OC 的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)當(dāng)α=150°時(shí),試判斷△AOD 的形狀,并說(shuō)明理由；
(3)直接寫(xiě)出當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD 為等腰三角形.
中考提分新題
10. (2024·北京中考)已知 點(diǎn) B,C分別在射線AN,AM上,將線段 BC繞點(diǎn)B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-2α得到線段BD，過(guò)點(diǎn) D 作AN 的垂線交射線AM 于點(diǎn)E.
(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn) D 在射線AN 上時(shí),求證:C是AE 的中點(diǎn);
(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn) D 在∠MAN 內(nèi)部時(shí),作DF∥AN,交射線 AM于點(diǎn) F,用等式表示線段 EF 與AC 的數(shù)量關(guān)系，并證明.
專題大招10 旋轉(zhuǎn)中的全等模型
大招1 “手拉手”模型
“手拉手”模型是指兩個(gè)頂角相等的等腰三角形具有共同的頂點(diǎn)，左底角頂點(diǎn)互連，右底角頂點(diǎn)互連所組成的圖形.若把等腰三角形頂角看作“頭”，左底角看作“左手”，右底角看作“右手”，則可以描述成：頭對(duì)頭，左手拉左手，右手拉右手.這也正是“手拉手”模型名稱的由來(lái).
如圖(1),已知CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD.左右手判斷：如圖(2)，共用頂點(diǎn)為頭，按照順時(shí)針(或逆時(shí)針)分別命名左右手.
結(jié)論：如圖(2)，左拉左，右拉右，圍成的兩個(gè)三角形全等.
1.如圖，等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 4,點(diǎn) O 是△ABC 的中心,∠FOG=120°,繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)∠FOG,分別交線段 AB,BC 于D,E 兩點(diǎn),連接DE,給出下列四個(gè)結(jié)論:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四邊形 ODBE 的面積始終等于 ④△BDE 周長(zhǎng)的最小值為6.上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形(22OA(1)如圖(1),連接AM,BN,求證:AM=BN;
(2)將△MON 繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
①如圖(2),當(dāng)點(diǎn) M 恰好在邊AB 上時(shí),求證:
②當(dāng)點(diǎn) A,M,N 在同一條直線上時(shí),若OA=4,OM=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 AM 的長(zhǎng).
大招2 “半角”模型
“半角”模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角.通過(guò)旋轉(zhuǎn)或作輔助線可以構(gòu)造全等三角形.常見(jiàn)的“半角”模型有 90°角含 45°角和 120°角含 60°角.“半角”模型在應(yīng)用中會(huì)證兩次全等.如圖，△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF.
3. 一題多問(wèn)如圖,在四邊形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°, ∠MBN= 60°, ∠MBN繞點(diǎn)B 旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)E,F.
(1)當(dāng)∠MBN 繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到 AE =CF 時(shí)(如圖(1)),AE,CF,EF 之間的數(shù)量關(guān)系為
(2)當(dāng)點(diǎn) E 在AD 上,點(diǎn) F 在DC上,但AE≠CF(如圖(2))時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立 請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn) E 在AD 延長(zhǎng)線上,點(diǎn) F 在 DC 延長(zhǎng)線上(如圖(3))時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立 若不成立，線段 AE，CF，EF 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.
大招3 “費(fèi)馬點(diǎn)”模型
“費(fèi)馬點(diǎn)”是指到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和的最小值的點(diǎn).主要分為兩種情況：
角度條件：①在一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形中，“費(fèi)馬點(diǎn)”是對(duì)各邊的張角都是 120°的點(diǎn)，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°;②若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于 120°，則“費(fèi)馬點(diǎn)”就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).
證明方法：“費(fèi)馬點(diǎn)”的證明通常涉及旋轉(zhuǎn)變換的思想.具體步驟如下：
如圖,將△APB 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△A'P'B,此時(shí)PB=P'B=PP',PA=P'A'.
因此PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC.
當(dāng)A',P',P,C 四點(diǎn)共線時(shí),PA+PB+PC 取得最小值，此時(shí) 從而證明了“費(fèi)馬點(diǎn)”的位置.
應(yīng)用場(chǎng)景：“費(fèi)馬點(diǎn)”模型在解決線段最值問(wèn)題時(shí)非常有用，尤其是在求一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和的最小值時(shí).此外，該模型也可以推廣到更多點(diǎn)的情況，用于解決更復(fù)雜的最優(yōu)化問(wèn)題.在實(shí)際應(yīng)用中，“費(fèi)馬點(diǎn)”模型還可以應(yīng)用于物流系統(tǒng)中存放點(diǎn)位置的優(yōu)化，減少運(yùn)輸成本和時(shí)間.
4.如圖,已知∠BAC=60°,AB=4,AC=6,點(diǎn) P在△ABC 內(nèi),將△APC 繞著點(diǎn)A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△AEF,求AE+PB+PC 的最小值.
23.2 中 心 對(duì) 稱
第 1 課時(shí) 中 心 對(duì) 稱
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.(2024·廣州中考)下列圖案中，點(diǎn)O 為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn) O 對(duì)稱的是( ).
2. 教材P64思考·拓展(2025·福建福州長(zhǎng)樂(lè)區(qū)期中)如圖，在等邊三角形 ABC 中,O為 BC 的中點(diǎn),AB=2,△BPQ 與△BAO關(guān)于點(diǎn) B 成中心對(duì)稱，連接CP,則CP 的長(zhǎng)為 .
3.(2025·河南新鄉(xiāng)長(zhǎng)垣期中)如圖，在四邊形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一點(diǎn),點(diǎn) D 與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn) E 成中心對(duì)稱，連接 AE 并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)E 是線段CD 的 ,點(diǎn) A 與點(diǎn) F 關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱；
(2)若AB=AD+BC,求證:△ABF 是等腰三角形.
思維拓展提優(yōu)
4.(湖北荊門龍泉高級(jí)中學(xué)“龍泉杯”自主招生)如圖，正方形 ABCD 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(-6,4),點(diǎn) B,C 在x 軸上.將正方形ABCD 平移后，點(diǎn)O 成為新正方形的對(duì)稱中心，則正方形ABCD 的平移過(guò)程可能是( ).
A.向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 4 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度
5.(2024·浙江湖州期末)如圖,在菱形 ABCD 中,點(diǎn)O為對(duì)稱中心，點(diǎn)E 從點(diǎn) A 出發(fā)沿AB 向點(diǎn)B 移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn) B 停止，作射線EO，交邊CD 于點(diǎn)F，則四邊形 AECF 形狀的變化依次為( ).
A.平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形
B.平行四邊形→正方形→矩形→菱形
C.平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形
D.平行四邊形→菱形→正方形→矩形
6.如圖,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,點(diǎn) D,E 分別是AB,AC 的中點(diǎn),點(diǎn)G,F 在邊 BC 上(均不與端點(diǎn)重合),DG∥EF.將△BDG 繞點(diǎn)D 旋轉(zhuǎn)180°,將△CEF 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)180°,拼成四邊形 MGFN,則四邊形MGFN 周長(zhǎng)的最小值是 .
7.(2024·溫州鹿城區(qū)一模)如圖,△AOB 繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)180°得到△COD,點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,分別延長(zhǎng) OB,OD 至點(diǎn)E,F,且 BE=DF,連接AF,FC,CE,EA.
(1)求證：四邊形 AFCE 是平行四邊形；
(2)若OE=CE,∠EAC=45°,EF=2 求,:四邊形 AFCE 的周長(zhǎng).
8.如圖,在 ABCD 中,AB=4,BC=8,∠B=60°，過(guò)平行四邊形的對(duì)稱中心 O 的一條直線與邊BC,AD 分別交于點(diǎn)E,F,設(shè)直線 EF 與BC 的夾角為α.
(1)求證：四邊形 AECF 是平行四邊形；
(2)填空:
①當(dāng)α的度數(shù)是 時(shí)，四邊形 AFCE為菱形；
②當(dāng)α的度數(shù)是 時(shí)，四邊形 AFCE為矩形.
延伸探究提優(yōu)
9. 字型如圖,在△ABC中,BC=2AB,D,E 分別是邊BC,AC 的中點(diǎn),將△CDE 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)180度,得到△AFE.
(1)判斷四邊形 ABDF 的形狀，并證明；
(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四邊形ABDF的面積S.
第 2課時(shí)中心對(duì)稱圖形
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.傳統(tǒng)文化剪紙(2024·哈爾濱中考)剪紙是我國(guó)最古老的民間藝術(shù)之一.下列剪紙圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( ).
2.教材P67練習(xí)T1·變式 給出以下 4 個(gè)圖形：①等邊三角形；②平行四邊形；③菱形；④正方形.其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是 .(填寫(xiě)序號(hào))
3.(2025·廣東深圳光明區(qū)公明中學(xué)期中)如圖，是由五個(gè)形狀、大小都相同的正方形組成的圖形，如果去掉其中一個(gè) (第3題)正方形，使得剩下的圖形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，那么不同的去法有 種.
4.中考新考法 滿足條件的結(jié)論開(kāi)放 (2025·貴州遵義期中)如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)你認(rèn)真觀察圖(1)中的三個(gè)網(wǎng)格中陰影部分構(gòu)成的圖案，解答下列問(wèn)題：
(1)這三個(gè)圖案都具有以下共同特征：都是 對(duì)稱圖形，都不是 對(duì)稱圖形.
(2)請(qǐng)?jiān)趫D(2)中設(shè)計(jì)出一個(gè)面積為 4，且具備上述特征的圖案，要求所畫(huà)圖案不能與圖(1)中所給出的圖案相同.
思維拓展提優(yōu)
5.傳統(tǒng)文化 建筑磚雕(2024·淮安中考)中國(guó)古典建筑中的鏤空磚雕圖案精美，下列磚雕圖案中不是中心對(duì)稱圖形的是( ).
6.如圖,在四邊形ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,對(duì)角線AC與BD 交于點(diǎn)O,點(diǎn) E 是AD的中點(diǎn),連接OE,△ABD 的周長(zhǎng)為 12cm,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ).
A. OE∥AB
B.四邊形 ABCD 是中心對(duì)稱圖形
C. △EOD 的周長(zhǎng)等于 3cm
D. 若∠ABC=90°,則四邊形 ABCD 是軸對(duì)稱圖形
7.如圖,在菱形ABCD 中,AB=6,∠A=60°,將菱形 ABCD 沿菱形ABCD 某一邊所在直線平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到菱形 A B C D ；將菱形A B C D 沿菱形A B C D 某一邊所在直線平移a 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到菱形A B C D ；將菱形A B C D 沿菱形A B C D 某一邊所在直線平移 a 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到菱形A B C D .若四個(gè)菱形構(gòu)成的整個(gè)圖形為中心對(duì)稱圖形，且四個(gè)菱形重疊部分面積為 ,則a= .
8.中考新考法 歸納一般結(jié)論將兩個(gè)大小相等的圓部分重合，其中重疊的部分(如圖中的陰影部分)我們稱之為一個(gè)“花瓣”，由一個(gè)“花瓣”及圓組成的圖形稱之為花瓣圖形，下面是一些由“花瓣”和圓組成的圖形.
(1)在A,B,C,D,E這5個(gè)圖形中,是軸對(duì)稱圖形的有 ，是中心對(duì)稱圖形的有 .
(2)設(shè)“花瓣”在圓中是均勻分布的，當(dāng)花瓣數(shù)大于1時(shí)，若花瓣的個(gè)數(shù)是 ，則花瓣圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；若花瓣的個(gè)數(shù)是 ，則花瓣圖形僅是軸對(duì)稱圖形.
(3)根據(jù)上面的結(jié)論，試判斷下列花瓣圖形是什么對(duì)稱圖形.
①九瓣圖形： ；
②十二瓣圖形： .
9.(2025·吉林吉林九中期中)如圖，在所給的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫(huà)出格點(diǎn)四邊形.
(1)在圖(1)中畫(huà)出一個(gè)以點(diǎn) A,B,C,D 為頂點(diǎn)的格點(diǎn)四邊形，使其是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；
(2)在圖(2)中畫(huà)出一個(gè)以點(diǎn)A,B,C,P 為頂點(diǎn)的格點(diǎn)四邊形，使
延伸探究提優(yōu)
10.知識(shí)背景：過(guò)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心的任意一條直線都將其分成全等的兩個(gè)部分.
(1)如圖(1),直線 m 經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，則 S四邊形AEFB S四邊形DEFC(填“>”“<”或“=”);
(2)兩個(gè)正方形如圖(2)所示擺放，O為小正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，求作過(guò)點(diǎn)O 的直線將整個(gè)圖形分成面積相等的兩部分；
(3)八個(gè)大小相同的正方形如圖(3)所示擺放，求作直線將整個(gè)圖形分成面積相等的兩部分(用三種方法分割).
第3課時(shí) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.(2024·成都中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn) P(1，-4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ).
A.(-1,-4) B. (-1,4)
C. (1,4) D.(1,-4)
2.實(shí)驗(yàn)班原創(chuàng) 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(-6，1)與點(diǎn) Q(6,-1)的位置關(guān)系是( ).
A.關(guān)于x 軸對(duì)稱 B.關(guān)于 y軸對(duì)稱
C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.沒(méi)有對(duì)稱關(guān)系
3.教材P70習(xí)題T4·變式 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(a+2,2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(4,-b),則ab 的值為( ).
A. - 4 B. 4
C. 12 D.-12
4.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn) P(2，-1)與點(diǎn)Q(-2,m)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則m 的值是 .
5.(2025·廣東廣州期中)若點(diǎn)(a,—9)與(3,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則a+b= .
6.(2025·安徽蕪湖無(wú)為期中)已知點(diǎn) M(3m—2,2m+1),解答下列問(wèn)題：
(1)若點(diǎn) M 與點(diǎn)(-7,-7)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求m的值；
(2)若點(diǎn) N(3,9),且直線 MN 平行于x 軸,求點(diǎn)M 的坐標(biāo).
思維拓展提優(yōu)
7.(2024·陜西中考)一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(n,-6).若點(diǎn) A 與點(diǎn)B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為( ).
A. y=3x B. y=-3x
8.數(shù)形結(jié)合思想(浙江寧波余姚中學(xué)自主招生)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn) P(a,b)(|a|≠|(zhì)b|),設(shè)點(diǎn)P 關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，則△PQR 的形狀是( ).
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不能確定
9.(2025·四川成都期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)A(0,2),點(diǎn) B(2,0),點(diǎn) C(0,-2),點(diǎn) D(-2,0),M為四邊形 ABCD 邊上一點(diǎn).對(duì)于點(diǎn) P(6,0)，給出如下定義：若 P M，點(diǎn)P 在x軸下方，點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，我們稱點(diǎn) Q 為點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn)M 為直角頂點(diǎn)的“變換點(diǎn)”；則P 關(guān)于點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)的“變換點(diǎn)”坐標(biāo)為 ；若直線 y=kx+3k(k≠0)上存在點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) M 為直角頂點(diǎn)的“變換點(diǎn)”，則k 的取值范圍為 .
10.(2025·江西景德鎮(zhèn)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P(x ,y ),Q(x ,y )為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 現(xiàn)有A(3,8),B(1,4),C(-1,6)三點(diǎn),點(diǎn) D 為線段AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)C'為點(diǎn)C 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，求線段DC'的中點(diǎn)坐標(biāo).
11.(2025·河南鶴壁外國(guó)語(yǔ)中學(xué)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為( ,o),點(diǎn)A 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B.
(1)若以 AB 為一邊向上作一個(gè)等邊三角形ABC，直接寫(xiě)出點(diǎn)C 的坐標(biāo).
(2)求(1)中的三角形ABC 的周長(zhǎng)和面積.
延伸探究提優(yōu)
12.中考新考法 新定義問(wèn)題 規(guī)定：若兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“守望函數(shù)”，這對(duì)點(diǎn)稱為“守望點(diǎn)”.例如:點(diǎn)P(2,4)在函數(shù) 上，點(diǎn)Q(-2,-4)在函數(shù)y=-2x-8的圖象上，點(diǎn)P 與點(diǎn) Q 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù) 和 y=-2x-8互為“守望函數(shù)”,點(diǎn) P 與點(diǎn)Q 則為一對(duì)“守望點(diǎn)”.
(1)函數(shù)y=-2x-1和函數(shù)y=4x是否互為“守望函數(shù)” 若是，求出它們的“守望點(diǎn)”；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)已知函數(shù) 和y=4x+n-2 022互為“守望函數(shù)”，求n 的最大值并寫(xiě)出取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的“守望點(diǎn)”.
(3)已知二次函數(shù) 與y=2bx+1互為“守望函數(shù)”，有且僅有一對(duì)“守望點(diǎn)”，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為 M，與x 軸交于A(x ,0),B(x ,0),其中 AB=2,又 過(guò)頂點(diǎn)M作x 軸的平行線l交y軸于點(diǎn)N,直線 y=2bx+1與y 軸交點(diǎn)為點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn) E 在x軸上運(yùn)動(dòng)，求拋物線 上的一點(diǎn) F 的坐標(biāo)，使得四邊形 FQEN 為平行四邊形.
專題提優(yōu)特訓(xùn) 11 中心對(duì)稱
題型1 畫(huà)已知圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖形
1.如圖，將△ABC 放置于平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,5),B(-4,1),C(-1,2).
(1)將△ABC 向右平移6 個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A B C ,請(qǐng)畫(huà)出△A B C ;
(2)以點(diǎn)O 為對(duì)稱中心,畫(huà)出與△A B C 成中心對(duì)稱的△A B C ;
(3)若將△ABC 繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A B C ，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).
題型2 根據(jù)對(duì)稱圖形的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、角
2.已知點(diǎn) O 是矩形ABCD 的對(duì)稱中心，連接OA,OB,若∠OAD=20°,則∠OBA 的度數(shù)是 °.
3.(2025·湖南永州祁陽(yáng)期末)如圖，△ABC 和△DEC 關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱,若 AC=2,AB=3,∠BAC= 90°,則AE 的長(zhǎng)是 .
4.如圖，直線a，b垂直相交于點(diǎn)O，曲線C 關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A′，AB⊥a于點(diǎn)B,A'D⊥b于點(diǎn)D.若OB=4,OD=3，求陰影部分的面積.
題型3 中心對(duì)稱圖形探索規(guī)律
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OA B 是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形,作△B A B 與△OA B 關(guān)于點(diǎn) B 成中心對(duì)稱,再作△B A B 與△B A B 關(guān)于點(diǎn) B 成中心對(duì)稱，如此作下去，則 (n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A n的坐標(biāo)是( , ).
6.中考新題型規(guī)律探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C 的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,1),(-1,0).一個(gè)電動(dòng)玩具從坐標(biāo)原點(diǎn) O 出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn) P ，使得點(diǎn) P 與點(diǎn) O 關(guān)于點(diǎn) A 成中心對(duì)稱；第二次跳躍到點(diǎn) P ，使得點(diǎn) P 與點(diǎn)P 關(guān)于點(diǎn) B 成中心對(duì)稱；第三次跳躍到點(diǎn)P ，使得點(diǎn) P 與點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) C 成中心對(duì)稱；第四次跳躍到點(diǎn) P ，使得點(diǎn) P 與點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn)A 成中心對(duì)稱；第五次跳躍到點(diǎn) P ，使得點(diǎn)P 與點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) B 成中心對(duì)稱；…，照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 .
23.3課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì)
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.如圖(1)是香港特別行政區(qū)的區(qū)徽中間的紫荊花圖案，這個(gè)圖案可以是由一個(gè)如圖(2)的基本圖形經(jīng)過(guò)五次旋轉(zhuǎn)得到，每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是( ).
A. 60° B. 50° C. 72° D. 36°
2.(2025·北京西城區(qū)育才學(xué)校期中)學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)后，小毓將圖案∠繞某點(diǎn)以相同角度α連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正五邊形的圖案(如圖)，則α不可能為( ).
A. 36° B. 72° C. 144° D. 216°
3.下面的圖形中必須由“基本圖形”既平移又旋轉(zhuǎn)而形成的圖形是( ).
4.中考新考法滿足條件的結(jié)論開(kāi)放 第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素.如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角 旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，則角α可以為 度.(寫(xiě)出一個(gè)即可)
思維拓展提優(yōu)
5.教材P73閱讀與思考·變式 觀察如圖所示的圖案，它可以看作圖案的 通過(guò) (方式)得到的( ).
A.三分之一，平移 B.四分之一，平移
C.三分之一，旋轉(zhuǎn) D.四分之一，旋轉(zhuǎn)
6.(2024·海南海口龍華區(qū)期末)下列圖案都是在一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上，在“幾何畫(huà)板”軟件中拖動(dòng)一點(diǎn)后形成的，它們的共性是都可以由一個(gè)“基本圖案”通過(guò)連續(xù)旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)的角度是( ).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7.(2023·寧波中考)在4×4 的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫(huà)出格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上).
(1)在圖(1)中先畫(huà)出一個(gè)以格點(diǎn) P 為頂點(diǎn)的等腰三角形PAB，再畫(huà)出該三角形向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的△P'A'B';
(2)將圖(2)中的格點(diǎn)三角形 ABC 繞點(diǎn)C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，畫(huà)出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A'B'C.
8.圖(1)、圖(2)都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谠?×4的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)一個(gè)與△ABC 有公共邊的三角形：
(1)使得所畫(huà)出的三角形和△ABC 組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形；
(2)使得所畫(huà)出的三角形和△ABC 組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形.
(請(qǐng)將兩個(gè)小題依次作答在圖(1)、圖(2)中，均只需畫(huà)出符合條件的一種情形)
9.如圖，在網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形OABC 圖案.
(1)請(qǐng)你畫(huà)出此圖案繞點(diǎn) O 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,180°,270°的圖案,你會(huì)得到一個(gè)美麗的圖案，千萬(wàn)不要將陰影位置涂錯(cuò)；
(2)這個(gè)美麗的圖案能夠說(shuō)明一個(gè)著名結(jié)論的正確性，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)結(jié)論.
10.中考新考法 滿足條件的結(jié)論開(kāi)放正方形綠化場(chǎng)地?cái)M種植兩種不同顏色(用陰影部分和非陰影部分表示)的花卉，要求種植的花卉能組成軸對(duì)稱或中心對(duì)稱圖案，如圖是三種不同設(shè)計(jì)方案中的一部分.
(1)請(qǐng)把圖(1)、圖(2)補(bǔ)成既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，并畫(huà)出一條對(duì)稱軸；
(2)把圖(3)補(bǔ)成只是中心對(duì)稱圖形，并把中心標(biāo)上字母 P.
延伸探究提優(yōu)
11.中考新考法解題方法型閱讀理解題 閱讀理解并解決問(wèn)題：一般地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度α(α小于 360°)后，能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，α叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角.請(qǐng)依據(jù)上述定義解答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90°，這個(gè)圖形可以是 ；
(2)為了美化環(huán)境，某中學(xué)需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成六塊：①分割后的整個(gè)圖形必須既是軸對(duì)稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；②六塊圖形的面積相同.請(qǐng)你按上述兩個(gè)要求，分別在圖中的兩個(gè)正六邊形中畫(huà)出兩種不同的分割方法(只要求畫(huà)圖正確，不寫(xiě)作法).
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