資源簡介

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第一章 預備知識—第六章 統計
一、選擇題
1．下列說法中正確的是（　?。?br/>A．有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例進行分層隨機抽樣調查，若抽取的甲個體數為9，則樣本容量為30
B．若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為7，則這兩組數據中較穩定的是乙
C．數據1，2，3，4，4，5的平均數、中位數相同
D．數據1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的眾數是2和4
2．設全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，2，3}，則A∩（ UB）＝（　?。?br/>A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e為自然對數的底數），則下列說法一定成立的是（　?。?br/>A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
4．樣本（x1，x2…，xn）的平均數為，樣本（y1，y2，…，ym）的平均數為（）．若樣本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均數α（1﹣α），其中0＜α，則n，m的大小關系為（　?。?br/>A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能確定
5．已知函數若y＝f（x）的圖象上存在兩個點A，B關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
6．下列結論不正確的是（　?。?br/>A．“x∈N“是“x∈Q”的充分不必要條件
B．“ x∈N*，x2﹣3＜0”是真命題
C．△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，“a2+b2＝c2”是“△ABC是直角三角形”的充要條件
D．命題“ x＞0，x2﹣3＞0“的否定是“ x＞0，x2﹣3≤0”
7．佩戴香囊是端午節傳統習俗之一，香囊內通常填充一些中草藥，有清香、驅蟲、防病的功效．經研究發現一批香囊中一種草藥甲的含量x（單位：克）與香囊功效y之間滿足y＝15x﹣x2，現從中隨機抽取了6個香囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均值為6克，香囊功效的平均值為15，則這6個香囊中草藥甲含量的標準差為（　?。?br/>A．克 B．克 C．3克 D．15克
8．若 p：0＜a＜b，q：3aa＜3bb，則p是q的（　　）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
二、填空題
9．水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病，容易在春天爆發，武漢疾控中心為了調查某高校高一年級學生注射水痘疫苗的人數，在高一年級隨機抽取了5個班級，每個班級的人數互不相同，若把每個班抽取的人數作為樣本數據，已知樣本平均數為5，樣本方差為4，則樣本數據中最大值為　 　 ．
10．求值：　 　 ．
11．已知函數f（x），若f（a﹣2）+f（a）＞0，則實數a的取值范圍是　 　 ．
三、多選題
（多選）12．建三江國際家樂購大型超市因為開車前往購物的人員較多，因此超市在制定停車收費方案時，需要考慮顧客停車時間的長短．現隨機采集了200個停車時間的數據（單位：min），其頻率分布直方圖如圖：
超市決定對停車時間在40分鐘及以內的顧客免收停車費（同一組數據用該區間的中點值代替），則下列說法正確的是（　?。?br/>A．a＝0.0225
B．免收停車費的顧客約占總數的25%
C．開車購物的顧客的平均停車時間約為58min
D．所采集數據中停車時間在區間[60，80）的最多，可以將70作為眾數的估計值
（多選）13．下列說法中正確的有（　?。?br/>A．lg2﹣lg3lg5＝3
B．命題“ x＞0，2x＞1”的否定為“ x≤0，2x≤1“
C．已知3a＝4b＝12，1
D．若冪函數f（x）＝xα（α∈R）的圖像經過點（，2），則α＝﹣3
（多選）14．下列說法正確的是（　?。?br/>A．函數在區間（2，+∞）上單調遞增
B．函數f（x）＝lg（x2﹣4x）在區間（2，+∞）上單調遞增
C．函數的圖象與x軸有兩個交點
D．函數的值域為（0，16]
（多選）15．定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），對于定義域內任意的x，y都有，f（3）＝4，且當x＞1時，f（x）＞1，則下列結論正確的是（　　）
A．f（1）＝1
B．f（x）是奇函數
C．f（3）＞f（9）
D．f（x）在（0，+∞）上單調遞增
四、解答題
16．（1）已知67x＝27，603y＝81，求的值；
（2）已知a＞0，b＞0，ab＝8，求log2a log2b的最大值．
17．某地新建一家服裝廠，從7月份開始投產，并且前4個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產品質量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好．為了推銷員在推銷產品時接收訂單不產生過多或過少的情況，需要估測以后幾個月的產量，假如你是廠長，就月份x、產量y給出四種函數模型：f（x）＝ax+b，g（x）＝ax2+bx+c，h（x）b，l（x）＝a bx+c．你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產量？
18．設集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求實數a的值；
（2）若A∪B＝A，求實數a的取值范圍．
19．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對該市不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分為100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有m人，按年齡分為5組，其中第一組為[20，25），第二組為[25，30），第三組為[30，35），第四組為[35，40），第五組為[40，45），得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．
（1）根據頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡．
（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者．若第四組宣傳志愿者年齡的平均數與方差為37和，第五組宣傳志愿者年齡的平均數與方差為43和1，據此估計這m人中35～45所有人的年齡的方差．
20．冪函數f（x）＝（p2﹣3p+3）xp，滿足f（x）在（﹣∞，0）上是增函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在[1，2）內有且只有一個零點，求a的取值范圍；
（3）函數h（x）＝﹣（f（x））2+2f（x），是否存在實數b，c（b＜c），使得x∈[b，c]時，函數的值域為[3b，3c]，若存在，求出b，c的值；若不存在，說明理由．
21．已知a∈R，函數f（x）＝log2（a）．
（1）設a＞0，若對任意t∈[，1]，函數f（x）在區間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過2，求a的最小值；
（2）若關于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一個元素，求a的取值范圍．
第一章 預備知識—第六章 統計
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．下列說法中正確的是（　?。?br/>A．有甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例進行分層隨機抽樣調查，若抽取的甲個體數為9，則樣本容量為30
B．若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為7，則這兩組數據中較穩定的是乙
C．數據1，2，3，4，4，5的平均數、中位數相同
D．數據1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的眾數是2和4
【答案】D
【分析】對于A，結合分層抽樣的定義，即可求解，
對于B，結合方差的定義，即可求解，
對于C，結合平均數和中位數的定義，即可求解，
對于D，結合眾數的定義，即可求解．
【解答】解：對于A，若抽取的甲個體數為9，
則樣本容量為，故A錯誤，
對于B，若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為7，
則這兩組數據中較穩定的是甲，故B錯誤，
對于C，數據1，2，3，4，4，5的平均數為，中位數為，故C錯誤，
對于D，數據1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的眾數是2和4，故D正確．
故選：D．
【點評】本題主要考查分層抽樣的定義，以及方差、平均數、中位數、眾數的定義，屬于基礎題．
2．設全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，2，3}，則A∩（ UB）＝（　?。?br/>A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
【答案】D
【分析】根據集合的基本運算即可求解．
【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣3，2，3}，
∴ UB＝{﹣2，﹣1，0，1}，
∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，
∴A∩（ UB）＝{﹣1，0，1}，
故選：D．
【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e為自然對數的底數），則下列說法一定成立的是（　?。?br/>A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
【答案】A
【分析】推導出（x1+x2）（）≥4，e，由此能推導出1．
【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e為自然對數的底數），
∴e，
而（x1+x2）（）＝11≥2+24．
即（x1+x2）（）≥4，
又e，
∴1．
故選：A．
【點評】本題考查有理數指數冪，是中檔題，解題時要認真審題，注意有理數指數冪性質、運算法則的合理運用．
4．樣本（x1，x2…，xn）的平均數為，樣本（y1，y2，…，ym）的平均數為（）．若樣本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均數α（1﹣α），其中0＜α，則n，m的大小關系為（　?。?br/>A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能確定
【答案】A
【分析】通過特殊值判斷α的范圍，是否滿足題意即可得到選項．
【解答】解：法一：不妨令n＝4，m＝6，設樣本（x1，x2…，xn）的平均數為6，
樣本（y1，y2，…，ym）的平均數為4，
所以樣本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均數α（1﹣α）6α+（1﹣α）4，
解得α＝0.4，滿足題意．
解法二：依題意nx+my＝（m+n）[ax+（1﹣a）y]，
∴n（x﹣y）＝a（m+n）（x﹣y），x≠y，
∴a∈（0，），m，n∈N+，
∴2n＜m+n，
∴n＜m．
故選：A．
【點評】本題考查眾數、中位數、平均數，考查計算能力，特殊值法是解題的常用方法．
5．已知函數若y＝f（x）的圖象上存在兩個點A，B關于原點對稱，則實數a的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】D
【分析】根據題意，求出與f（x）＝﹣x，（x＜0）關于原點對稱函數解析式，分析可得函數f（x）＝2x﹣a與g（x）＝﹣x在區間（0，+∞）上有交點，方程2x﹣a＝﹣x在區間（0，+∞）上有解，設h（x）＝2x+x，分析其值域，即可得a的取值范圍．
【解答】解：根據題意，函數
當x＜0時，f（x）＝﹣x，關于原點對稱的函數為g（x）＝﹣x，（x＞0），
若y＝f（x）的圖象上存在兩個點A，B關于原點對稱，則函數f（x）＝2x﹣a與g（x）＝﹣x在區間（0，+∞）上有交點，
即方程2x﹣a＝﹣x在區間（0，+∞）上有解，
對于2x﹣a＝﹣x，變形可得a＝2x+x，
設h（x）＝2x+x，x∈（0，+∞），其導數h′（x）＝2xln2+1＞0，h（x）在區間（0，+∞）為增函數，
則h（x）＞20+0＝1，
若方程2x﹣a＝﹣x在區間（0，+∞）上有解，必有a＞1，即a的取值范圍為（1，+∞），
故選：D．
【點評】本題考查函數與方程的關系，涉及函數的奇偶性的性質以及應用，屬于基礎題．
6．下列結論不正確的是（　?。?br/>A．“x∈N“是“x∈Q”的充分不必要條件
B．“ x∈N*，x2﹣3＜0”是真命題
C．△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，“a2+b2＝c2”是“△ABC是直角三角形”的充要條件
D．命題“ x＞0，x2﹣3＞0“的否定是“ x＞0，x2﹣3≤0”
【答案】C
【分析】根據充分不必要條件的定義可判斷選項A；舉例可判斷選項B；根據充要條件的定義可判斷選項C；根據全稱命題的否定是特稱命題可判斷選項D．
【解答】解：自然數一定是有理數，但有理數不一定是自然數，所以“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要條件，選項A正確；
當x＝1時，滿足x2﹣3＜0，所以命題“ x∈N*x2﹣3＜0”是真命題，選項B正確；
若a2+b2＝c2，則，所以△ABC是直角三角形；但△ABC是直角三角形，不一定是，所以“a2+b2＝c2”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要條件，選項C錯誤；
全稱命題的否定是特稱命題，所以選項D正確．
故選：C．
【點評】本題考查了充分必要條件的判斷，含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題．
7．佩戴香囊是端午節傳統習俗之一，香囊內通常填充一些中草藥，有清香、驅蟲、防病的功效．經研究發現一批香囊中一種草藥甲的含量x（單位：克）與香囊功效y之間滿足y＝15x﹣x2，現從中隨機抽取了6個香囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均值為6克，香囊功效的平均值為15，則這6個香囊中草藥甲含量的標準差為（　?。?br/>A．克 B．克 C．3克 D．15克
【答案】B
【分析】利用標準差和均值公式完成計算．
【解答】解：設抽取的6介香囊中草藥甲的含量分別為xi克，香囊功效分別為yi，i＝1，2，3，4，5，6，
∵香囊中草藥甲的含量的平均值為6克，香囊功效的平均值為15，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6＝36，
y1+y2+y3+y4+y5+y6＝15（x1+x2+x3+x4+x5+x6）﹣（）＝90，
∴450，
∴這6個香囊中草藥甲含量的方差為：
S2[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2+（x5﹣6）2+（x6﹣6）2]
[（）﹣12（x1+x2+x3+x4+x5+x6）+6×36]
39．
∴這6個香囊中草藥甲含量的標準差為．
故選：B．
【點評】本題考查平均數、方差、標準差的定義、計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
8．若 p：0＜a＜b，q：3aa＜3bb，則p是q的（　?。?br/>A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】令f（x）＝3xx＝3x+log5x，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增，可得q的等價條件，進而求得結論．
【解答】解：令f（x）＝3xx＝3x+log5x，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴q：3aa＜3bb，可得0＜a＜b，
故p是q的充要條件，
故選：C．
【點評】本題考查了充分必要條件，考查函數單調性的應用，是一道基礎題．
二、填空題
9．水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病，容易在春天爆發，武漢疾控中心為了調查某高校高一年級學生注射水痘疫苗的人數，在高一年級隨機抽取了5個班級，每個班級的人數互不相同，若把每個班抽取的人數作為樣本數據，已知樣本平均數為5，樣本方差為4，則樣本數據中最大值為　8　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由題意得：x1+x2+x3+x4+x5＝25，[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣5）2]＝4，由此能求出樣本據中的最大值
【解答】解：設樣本數據為：x1，x2，x3，x4，x5，
平均數＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝5；
方差s2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣752]÷5＝4．
從而有x1+x2+x3+x4+x5＝2，①
（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣5）2＝20②
若樣本數據中的最大值為9不妨設x5＝9
則 ②式變為：
（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2＝4，
由于樣本數據互不相同，這是不可能成立的；
若樣本數據為2，4，5，6，8，
代入驗證知①②式均成立，此時樣本數據中的最大值為 8
故答案為：8．
【點評】本題考查樣本據中的最大值的求法，考查平均數、方差的性質，考查運算求解能力，是基礎題
10．求值：　　 ．
【答案】．
【分析】利用對數運算的性質及冪運算的性質化簡即可．
【解答】解：
＝log53 log351
1，
故答案為：．
【點評】本題考查了對數運算性質及冪運算的性質的應用，屬于基礎題．
11．已知函數f（x），若f（a﹣2）+f（a）＞0，則實數a的取值范圍是　a＜1　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】作出函數的圖象，判斷函數的奇偶性和單調性，利用函數奇偶性和單調性進行求解即可．
【解答】解：作出函數f（x）的圖象，由圖象知函數為奇函數，且為減函數，
則由f（a﹣2）+f（a）＞0得f（a﹣2）＞﹣f（a）＝f（﹣a），
則a﹣2＜﹣a，即a＜1，
即實數a的取值范圍是a＜1，
故答案為：a＜1．
【點評】本題主要考查不等式的求解，作出分段函數的圖象，判斷函數的單調性和奇偶性是解決本題的關鍵．
三、多選題
（多選）12．建三江國際家樂購大型超市因為開車前往購物的人員較多，因此超市在制定停車收費方案時，需要考慮顧客停車時間的長短．現隨機采集了200個停車時間的數據（單位：min），其頻率分布直方圖如圖：
超市決定對停車時間在40分鐘及以內的顧客免收停車費（同一組數據用該區間的中點值代替），則下列說法正確的是（　?。?br/>A．a＝0.0225
B．免收停車費的顧客約占總數的25%
C．開車購物的顧客的平均停車時間約為58min
D．所采集數據中停車時間在區間[60，80）的最多，可以將70作為眾數的估計值
【答案】BCD
【分析】根據頻率分布直方圖中小長方形的面積和等于1，即可判斷A；結合頻率分布直方圖求出停車時間在40分鐘及以內的頻率即可判斷B；根據頻率分布直方圖求出平均數即可判斷C；依據眾數的概念即可判斷D．
【解答】解：（0.0025+0.0100+a+0.0150+0.0100）×20＝1，解得：a＝0.0125，故A錯誤；
開車購物的顧客免交停車費的頻率為（0.0025+0.0100）×20＝0.25＝25%，故B正確；
開車購物的顧客平均停車時間約為0.0025×20×10+0.0100×20×30+0.0125×20×50+0.0150×20×70+0.0100×20×90＝58，故C正確；
由眾數的概念可知：眾數為70，故D正確．
故選：BCD．
【點評】本題考查頻率分布直方圖相關知識，屬于基礎題．
（多選）13．下列說法中正確的有（　?。?br/>A．lg2﹣lg3lg5＝3
B．命題“ x＞0，2x＞1”的否定為“ x≤0，2x≤1“
C．已知3a＝4b＝12，1
D．若冪函數f（x）＝xα（α∈R）的圖像經過點（，2），則α＝﹣3
【答案】AC
【分析】利用對數的運算性質可判斷AC，由全稱命題的否定為特稱命題可判斷B，由冪函數的定義可判斷D．
【解答】解：對于A，lg2﹣lg3lg5＝lg2+2lg2+3lg5＝3lg2+3lg5＝3（lg2+lg5）＝3，故A正確，
對于B，因為全稱命題的否定為特稱命題，所以命題“ x＞0，2x＞1”的否定為“ x＞0，2x≤1“，故B錯誤，
對于C，∵3a＝4b＝12，∴a＝log312，b＝log412，
∴log123+log124＝log1212＝1，故C正確，
對于D，∵冪函數f（x）＝xα（α∈R）的圖像經過點（，2），
∴2，
∴α，故D錯誤，
故選：AC．
【點評】本題主要考查了對數的運算性質，考查了命題的否定，以及冪函數的定義，屬于基礎題．
（多選）14．下列說法正確的是（　?。?br/>A．函數在區間（2，+∞）上單調遞增
B．函數f（x）＝lg（x2﹣4x）在區間（2，+∞）上單調遞增
C．函數的圖象與x軸有兩個交點
D．函數的值域為（0，16]
【答案】ACD
【分析】結合指數函數，二次函數及復合函數的單調性可檢驗選項A；
結合對數函數及二次函數，復合函數的單調性可檢驗選項B；
結合二次函數及對數函數的性質可檢驗選項C；
結合指數及二次函數的性質可檢驗選項D．
【解答】解：因為y＝x2﹣4x在區間（2，+∞）上單調遞增，y＝et單調遞增，
根據復合函數的單調性在區間（2，+∞）上單調遞增，A正確；
由x2﹣4x＞0得x＞4或x＜0，
根據二次函數的性質可知，y＝x2﹣4x在（4，+∞）上單調遞增，
故f（x）＝lg（x2﹣4x）在區間（4，+∞）上單調遞增，B錯誤；
由0得log2x＝3或log2x＝﹣1，
所以x＝8或x，即f（x）的圖象與x軸有兩個交點，C正確；
由于x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4≥﹣4，
故016，即函數的值域（0，16]．
故選：ACD．
【點評】本題主要考查了復合函數的單調性，值域的求解，還考查了指數函數，對數函數的性質，屬于中檔題．
（多選）15．定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），對于定義域內任意的x，y都有，f（3）＝4，且當x＞1時，f（x）＞1，則下列結論正確的是（　　）
A．f（1）＝1
B．f（x）是奇函數
C．f（3）＞f（9）
D．f（x）在（0，+∞）上單調遞增
【答案】AD
【分析】A．令x＝y＝1代入計算即可；
B．令x＝1，y＝﹣1，求出f（﹣1），再令y＝﹣1，則有f（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣1）+1＝f（x）得f（x）是偶函數；
C．由f（）＝f（9）﹣f（3）+1，即f（9）＝2f（3）﹣1＝7，即可比較f（3）與f（9）的大??；
D任取x1，x2，使0＜x1＜x2，則有，f（）＞1，f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣1＞0，即可判斷．
【解答】解：因為，
令x＝y＝1，則有f（1）＝f（1）﹣f（1）+1＝1，所以A正確；
令x＝1，y＝﹣1，則有f（﹣1）＝f（1）﹣f（﹣1）+1，所以2f（﹣1）＝2，f（﹣1）＝1＝f（1），
令y＝﹣1，則有f（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣1）+1＝f（x），故f（x）是偶函數，所以B錯誤；
因為f（1）＝1，f（3）＝4，
所以f（）＝f（9）﹣f（3）+1，即f（9）＝2f（3）﹣1＝7＞4＝f（3），故C錯誤；
任取x1，x2，使0＜x1＜x2，則有，f（）＞1，
所以f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣1＞0，
所以f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以D正確．
故選：AD．
【點評】本題考查了抽象函數的求值、單調性的判斷，采用賦值法即可，屬于中檔題．
四、解答題
16．（1）已知67x＝27，603y＝81，求的值；
（2）已知a＞0，b＞0，ab＝8，求log2a log2b的最大值．
【答案】（1）﹣2；
（2）．
【分析】（1）由已知可得67，603，進而可得，計算即可；
（2）由已知可得log2a log2b＝（log28﹣log2b） log2b，計算可得log2a log2b的最大值．
【解答】解：（1）∵67x＝27，603y＝81，∴67，603，
∴9＝32，∴2，故2；
（2）∵a＞0，b＞0，ab＝8，
∴log2a log2b＝（log28﹣log2b） log2b＝（3﹣log2b） log2b＝3log2b﹣（log2b）2
（log2b）2，當且僅當b時，取得最大值．
【點評】本題考查指數冪，對數的運算，屬中檔題
17．某地新建一家服裝廠，從7月份開始投產，并且前4個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產品質量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好．為了推銷員在推銷產品時接收訂單不產生過多或過少的情況，需要估測以后幾個月的產量，假如你是廠長，就月份x、產量y給出四種函數模型：f（x）＝ax+b，g（x）＝ax2+bx+c，h（x）b，l（x）＝a bx+c．你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產量？
【答案】模型y＝abx+c．
【分析】由題意分別列式求出兩種函數模型的待求系數，然后分別取x＝4求出相應的函數值，得到與實際數據的差，比較大小得答案．
【解答】解：由前4個月的產量得到散點A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37），
（1）對于函數模型f（x）＝ax+b，將B，C兩點的坐標代入，有，
解得a＝0.1，b＝1，則f（x）＝0.1x+1，
當x＝4時，f（x）＝1.4，與實際誤差為0.03；
（2）對于函數模型g（x）＝ax2+bx+c，將A，B，C三點的坐標代入，有，
解得a＝﹣0.05，b＝0.35，c＝0.7，則g（x）＝﹣0.05x2+0.35x+0.7，
當x＝4時，g（4）＝1.3，與實際誤差為0.07；
（3）對于函數模型h（x），將A，B兩點的坐標代入，有，
解得a＝0.48，b＝0.52，則h（x）＝0.480.52，
當x＝4時，h（4）＝1.48；與實際誤差為0.11；
（4）對于函數模型l（x）＝abx+c，將將A，B，C兩點的坐標代入，有，
解得a＝﹣0.8，b＝0.5，c＝1.4，則l（x）＝﹣0.8×0.5x+1.4，
當x＝4時，l（4）＝1.35，與實際誤差為0.02．
綜上所述：模型y＝abx+c越往后所得數據與實際誤差越小，可以估算以后幾個月的產量．
【點評】本題考查函數的模型選擇及應用，考查簡單的數學建模思想方法，考查計算能力，是中檔題．
18．設集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求實數a的值；
（2）若A∪B＝A，求實數a的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）可求出A＝{﹣2，2}，根據A∩B＝{﹣2}即可得出﹣2∈B，從而可解出a的值，然后驗證所得a的值是否滿足題意即可；
（2）根據A∪B＝A可得出B A，然后可討論△的取值情況：Δ＜0，即a＜﹣3時，顯然滿足題意；Δ＝0，即a＝﹣3時，B＝{2}，滿足題意；Δ＞0，即a＞﹣3時，可得出B＝{﹣2，2}，然后根據韋達定理求出a的值，最后即可得出a的取值范圍．
【解答】解：（1）A＝{﹣2，2}，
∵A∩B＝{﹣2}，
∴﹣2∈B，4﹣4（a+1）+a2﹣5＝0，解得a＝﹣1或5，
a＝﹣1時，B＝{﹣2，2}，A∩B＝{﹣2，2}，不滿足題意，應舍去，
∴a＝5；
（2）∵A∪B＝A，
∴B A，
①Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＜0，即a＜﹣3時，B＝ ，滿足題意；
②Δ＝0，即a＝﹣3時，B＝{2}，滿足題意；
③Δ＞0，即a＞﹣3時，B＝{﹣2，2}，則，解得a＝﹣1，
綜上得，實數a的取值范圍為{a|a≤﹣3或a＝﹣1}．
【點評】本題考查了元素與集合的關系，交集、并集的定義及運算，子集的定義，分類討論的思想，一元二次方程根的情況和判別式△的取值的關系，考查了計算能力，屬于基礎題．
19．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對該市不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分為100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有m人，按年齡分為5組，其中第一組為[20，25），第二組為[25，30），第三組為[30，35），第四組為[35，40），第五組為[40，45），得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．
（1）根據頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡．
（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者．若第四組宣傳志愿者年齡的平均數與方差為37和，第五組宣傳志愿者年齡的平均數與方差為43和1，據此估計這m人中35～45所有人的年齡的方差．
【答案】（1）32.25（歲）；
（2）估計這m人中年齡在35～45歲的所有人的年齡的方差約為10．
【分析】（1）中間值作代表求解平均值；
（2）計算出第四組、第五組的宣傳志愿者年齡的平均數和方差，利用公式求出整體平均數和方差．
【解答】解：（1）這m人的平均年齡為，
則
＝32.25（歲）；
（2）由題意得，這五組的頻率之比為1：7：6：4：2，
故第四組應抽取人，第五組應抽取人，
設第四組、第五組的宣傳志愿者年齡的平均數分別為，，方差分別為，，
則，，方差分別為，，
設第四組和第五組所有宣傳志愿者的年齡平均數為，方差為s2，
則，
，
據此估計這m人中年齡在35～45歲的所有人的年齡的方差約為10．
【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了平均數和方差的計算，屬于中檔題．
20．冪函數f（x）＝（p2﹣3p+3）xp，滿足f（x）在（﹣∞，0）上是增函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在[1，2）內有且只有一個零點，求a的取值范圍；
（3）函數h（x）＝﹣（f（x））2+2f（x），是否存在實數b，c（b＜c），使得x∈[b，c]時，函數的值域為[3b，3c]，若存在，求出b，c的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）f（x）＝x；
（2）；
（3）存在b＝﹣1，c＝0．
【分析】（1）根據冪函數的定義與性質能求出f（x）的解析式；
（2）由g（x）＝0，得x＝2log2a或x＝3log2a，只需滿足1≤2log2a＜2，且2≤3log2a或2log2a＜1，且1≤3log2a＜2，解不等式能求出a的取值范圍；
（3）求出函數h（x）＝﹣x2+2x的單調區間，討論h（x）在[b，c]上的單調性，結合最值，能求出結果．
【解答】解：（1）∵冪函數f（x）＝（p2﹣3p+3）xp，滿足f（x）在（﹣∞，0）上是增函數，
∴，解得p＝1，
∴f（x）的解析式為f（x）＝x；
（2）∵在[1，2）內有且只有一個零點，
∴g（x）（x﹣2log2a）（x﹣3log2a）在[1，2）內有且只有一個零點，
由g（x）＝0，得x＝2log2a或x＝3log2a，
∴只需滿足1≤2log2a＜2，且2≤3log2a或2log2a＜1，且1≤3log2a＜2，
解得或，
∴a的取值范圍是[，2）∪[，）；
（3）函數h（x）＝﹣（f（x））2+2f（x）＝﹣x2+2x，
假設存在實數b，c（b＜c），使得x∈[b，c]時，函數的值域為[3b，3c]，
∵h（x）＝﹣x2+2x的單調增區間是（﹣∞，1]，單調減區間是[1，+∞），
∴當c≤1時，h（x）在[b，c]上單調遞增，∴h（b）＝﹣b2+2b＝3b，h（c）＝﹣c2+2c＝3c，
解得b＝﹣1，c＝0，
當b＜1＜c時，h（x）max＝h（1）＝﹣1+2＝3c，解得c，與1＜c矛盾，故不存在；
當b≥1時，h（x）在[b，c]上單調遞減，所以h（b）＝﹣b2+2b＝3c，h（c）＝﹣c2+2c＝3b，
∴（﹣b2+2b）﹣（﹣c2+2c）＝3c﹣3b，∴（c﹣b）（c+b）＝5（c﹣b），
∵b＜c，∴b+c＝5，
將b＝5﹣c代入﹣c2+2c＝3b，得c2﹣5c+15＝0，
∵Δ＝25﹣4×15＜0，∴c無解，故不存在．
綜上，存在b＝﹣1，c＝0，使得x∈[b，c]時，函數的值域為[3b，3c]．
【點評】本題考查冪函數的定義和性質、函數的零點、單調性、最值等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
21．已知a∈R，函數f（x）＝log2（a）．
（1）設a＞0，若對任意t∈[，1]，函數f（x）在區間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過2，求a的最小值；
（2）若關于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一個元素，求a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用函數的單調性得到以，再利用對數函數y＝log2x的單調性得到f（x）的取值范圍，表示出最大值與最小值的差不超過2，轉化為y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，求解函數的最小值即可；
（2）將方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0轉化為（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且只有一解，然后對系數a﹣2進行分類討論，分別求解即可得到答案．
【解答】解：（1）因為在x∈[t，t+1]上為減函數，
所以，
又因為y＝log2x在上為增函數，
所以，
所以在恒成立，
即對恒成立，
即3at2+3（a+1）t﹣1≥0對恒成立，
等價于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，
因為y＝3at2+3（a+1）t﹣1在為增函數，
所以，
故，解得，
所以a的最小值為；
（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，
即，
可轉化為（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，
①當a﹣2＝0，即a＝2時，x＝﹣2，符合題意；
②當a﹣2≠0，即a≠2時，，
1°當，即時，符合題意；
2°當，即a≠﹣2且時，
要滿足題意，則有或，解得；
綜上可得，a的取值范圍為．
【點評】本題考查了函數的綜合應用，涉及了函數的最值及其幾何意義的應用，解題的關鍵是要學會將復雜問題進行等價轉化，轉化為一個熟悉的簡單問題進行研究，屬于難題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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