資源簡介

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第一章 預備知識—第五章 函數應用
一、選擇題
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，則 UM為（　　）
A．{x|x＝1} B．{x|x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}
2．下列說法正確的是（　　）
A．“對任意一個無理數x，x2也是無理數”是真命題
B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要條件
C．命題“ x∈R，x2+1＞0”的否定是“ x∈R，x2+1＜0”
D．若“1＜x＜3”的一個必要不充分條件是“m﹣2＜x＜m+2”，則實數m的取值范圍是[1，3]
3．給出下列命題：①冪函數y＝xa（a∈R）圖象一定不過第四象限；②函數f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的圖象過定點（﹣1，﹣1）；③y＝lg奇函數；④函數f（x）＝2x﹣x﹣2有兩個零點．其中正確的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
4．設函數f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）＝x2．又函數g（x）＝|sin（πx）|，則函數h（x）＝g（x）﹣f（x）在區間[﹣1，3]上零點的個數為（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知函數f（x），則下列說法正確的是（　　）
A．f（x） 的值域為（0，+∞）
B．函數f（x） 的圖象與直線y＝2有兩個交點
C．f（x） 是單調函數
D．f（x） 是偶函數
6．函數，因其圖像類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數”，下列說法中正確的個數為（　?。?br/>①函數f（x）的定義域為{x|x≠1且x≠﹣1}；
②；
③函數f（x）的圖像關于直線x＝1對稱；
④當x∈（﹣1，1）時，f（x）max＝﹣1；
⑤方程f（x）﹣x2+4＝0有四個不同的根．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若a＞1，設函數f（x）＝ax+x﹣4的零點為m，g（x）＝logax+x﹣4的零點為n，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．
8．已知實數x1，x2為函數f（x）|log2（x﹣1）|的兩個零點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．（x1﹣2）（x2﹣2）∈（0，+∞） B．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（0，1）
C．（x1﹣1）（x2﹣1）＝1 D．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（1，+∞）
二、填空題
9．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|kx+1＝0}，且N M，則k的可能值組成的集合為　 　 ．
10．已知a∈R，函數f（x）若f（f（））＝3，則a＝　 　 ．
11．已知函數
（1）當a＝0時，集合{x∈R|f（x）＝k} 中恰有三個元素，則實數k的取值范圍是 　 　 ；
（2）若集合 {x∈R|f（x）＝f（﹣x）} 中恰有兩個元素，則實數a 的取值范圍是 　 　 ．
12．下列命題中：
①y＝2x與y＝log2x互為反函數，其圖象關于直線y＝x對稱；
②已知函數f（x﹣1）＝x2﹣2x﹣1，則f（5）＝26；
③當a＞0且a≠1時，函數f（x）＝ax﹣2﹣3必過定點（2，﹣2）；
④已知2a＝3b＝k（k≠1），且，則實數k＝18．
上述命題中的所有正確命題的序號是 　 　 ．
三、多選題
（多選）13．一輛賽車在一個周長為3km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反映了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關系．
根據圖1，以下四個說法中正確的是（　?。?br/>A．在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車速度逐漸增加
B．在整個跑道上，最長的直線路程不超過0.6km
C．大約在這第二圈的0.4km到0.6km之間，賽車開始了那段最長直線路程的行駛
D．在圖2的四條曲線（注：s為初始記錄數據位置）中，曲線B最能符合賽車的運動軌跡
（多選）14．若函數f（x）＝x的定義域為（]，則下列說法正確的是（　?。?br/>A． x∈（，5]，使得f（x）＜0
B．當x＝1時f（x）取最小值
C．f（x）的最大值為2
D．f（x）的圖象與直線y＝1有2個交點
（多選）15．已知f（x）是定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函數，函數g（x）＝f（x），f（1）＝﹣1，當x2＞x1＞0時，x1x2f（x1）﹣x1＞x1x2f（x2）﹣x2恒成立，則（　?。?br/>A．g（x）在（0，+∞）上單調遞增
B．g（x）的圖象與x軸有2個交點
C．f（3）+f（﹣2）＜log642
D．不等式g（x）＞0的解集為（﹣1，0）∪（0，1）
（多選）16．已知函數．若0＜a＜b＜c，則f（a）f（b）f（c）＜0，那么下列說法一定正確的是（　?。?br/>A．f（x）有且只有一個零點
B．f（x）的零點在（0，1）內
C．f（x）的零點在（a，b）內
D．f（x）的零點在（c，+∞）內
四、解答題
17．設集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）當x∈Z時，求A的非空真子集個數；
（2）當B A，求m的取值范圍．
18．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①y＜0的解集為{x|﹣1＜x＜3}；②a＝﹣1；③y的最小值為﹣4．
（1）請寫出滿足題意的兩個條件的序號，并求a，b，c的值；
（2）求關于x的不等式y≥（m﹣2）x+2m2﹣3（m∈R）的解集．
19．2009年某市某地段商業用地價格為每畝60萬元，由于土地價格持續上漲，到2021年已經上漲到每畝120萬元，現給出兩種地價增長方式，其中P1：f（t）＝at+b（a，b∈R）是按直線上升的地價，P2：g（t）＝clog2（d+t）（c，d∈R）是按對數增長的地價，t是2009年以來經過的年數．2009年對應的t值為0．
（1）求f（t），g（t）的解析式；
（2）2021年開始，國家出臺“穩定土地價格”的相關調控政策，為此，該市要求2025年的地價相對于2021年上漲幅度控制在10%以內，請分析比較以上兩種增長方式，確定出最合適的一種模型．（參考數據：lg2≈0.3）
20．設關于x的方程 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0．
（1）若k＝3，求方程的解；
（2）若該方程在[0，2]內有解，求k的取值范圍．
21．已知函數f（x）sinx．
（1）試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對，不等式ex+acosx≥ax2恒成立，求實數a的取值范圍．
22．已知函數f（x）＝log2x．
（Ⅰ）若g（x）＝f（4x+1）+kx是偶函數，求k的值；
（Ⅱ）若方程|f（x）|﹣2﹣x＝0有兩個不等的實數根x1，x2（x1＜x2），比較x1x2與1的大小；
（Ⅲ）設函數，若 a，b∈R，使得y＝F（x）在定義域[2a，2b]上單調遞增，且值域為[a，b]，求m的取值范圍．
第一章 預備知識—第五章 函數應用
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，則 UM為（　　）
A．{x|x＝1} B．{x|x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】C
【分析】由題意全集U＝R，根據補集的定義和運算法則進行計算即可．
【解答】解：全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，
∴ UM＝{x|x＜1}．
故選：C．
【點評】本題主要考查集合的補集運算，考查基礎知識，基本概念，屬容易題．
2．下列說法正確的是（　?。?br/>A．“對任意一個無理數x，x2也是無理數”是真命題
B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要條件
C．命題“ x∈R，x2+1＞0”的否定是“ x∈R，x2+1＜0”
D．若“1＜x＜3”的一個必要不充分條件是“m﹣2＜x＜m+2”，則實數m的取值范圍是[1，3]
【答案】D
【分析】舉反例說明A，B錯誤；
根據特稱命題的否定判斷C；
根據題意列出關于m的不等式，求出m的取值范圍判斷D．
【解答】解：對于A，令x是無理數，但x2＝2是有理數，故A錯；
對于B，當x＜0，y＜0時，x+y＜0，所以充分性不滿足，取x＝﹣1，y＝2，滿足x+y＝1＞0，但xy＝﹣2＜0，必要性也不滿足，故B錯；
對于C，命題“ x∈R，x2+1＞0”的否定是：“ x∈R，x2+1≤0”，故C錯誤；
對于D，因為“1＜x＜3”的一個必要不充分條件是“m﹣2＜x＜m+2”，
所以，解得1≤m≤3，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查了特稱命題的否定、舉反例判斷命題為假及根據必要不充分條件求參數的范圍，屬于基礎題．
3．給出下列命題：①冪函數y＝xa（a∈R）圖象一定不過第四象限；②函數f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的圖象過定點（﹣1，﹣1）；③y＝lg奇函數；④函數f（x）＝2x﹣x﹣2有兩個零點．其中正確的個數是（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據指數函數，對數函數，冪函數的性質依次判斷即可；
【解答】解：根據冪函數的性質，可知冪函數y＝xa（a∈R）圖象一定不過第四象限．∴①對；
②函數f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1），令x+1＝0，可得x＝﹣1，代入可得y＝﹣1，圖象過定點（﹣1，﹣1）；∴②對；
③f（﹣x）＝lglglglgf（x），是奇函數，∴③對；
④函數f（x）＝2x﹣x﹣2的零點．看成函數y＝2x與y＝x+2的交點問題，通過圖象我們可發現有兩個交點，即f（x）＝2x﹣x﹣2有兩個零點；∴④對；
故選：D．
【點評】本題考查了指數函數，對數函數，冪函數的圖象和性質，屬于基礎題．
4．設函數f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），且當x∈[0，1]時，f（x）＝x2．又函數g（x）＝|sin（πx）|，則函數h（x）＝g（x）﹣f（x）在區間[﹣1，3]上零點的個數為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根據條件判斷函數f（x）的周期性，令h（x）＝0，得g（x）＝f（x），分別作出函數f（x）和g（x）的圖象，利用圖象判斷兩個函數的交點個數即可得到結論．
【解答】解：∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），
∴f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），
即函數是偶函數，且函數是周期為2的周期數列，
設x∈[﹣1，0]，則﹣x∈[0，1]，
則f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2，
即f（x）＝x2．x∈[﹣1，1]，
由h（x）＝g（x）﹣f（x）＝0，則f（x）＝g（x），
∵g（x）＝|sin（πx）|，
∴在坐標系中作出函數f（x），g（x）的圖象如圖：
由圖象可知，兩個圖象的交點個數為6個，
故函數h（x）＝g（x）﹣f（x）在區間[﹣1，3]上零點的個數為6個，
故選：A．
【點評】本題主要考查函數零點個數的判斷，利用數形結合轉化為兩個函數的圖象交點個數是解決本題的關鍵．
5．已知函數f（x），則下列說法正確的是（　　）
A．f（x） 的值域為（0，+∞）
B．函數f（x） 的圖象與直線y＝2有兩個交點
C．f（x） 是單調函數
D．f（x） 是偶函數
【答案】B
【分析】當x≤0時，y＝（）x≥0，函數是單調遞減函數；當x＞0時，y0，函數是單調遞增函數．由此能求出結果．
【解答】解：函數f（x），
當x≤0時，y＝（）x≥0，函數是單調遞減函數；
當x＞0時，y0，函數是單調遞增函數．
對于A，f（x） 的值域為[0，+∞），故A錯誤；
對于B，函數f（x） 的圖象與直線y＝2有兩個交點（，2），（4，2），故B正確；
對于C，f（x）是先減后增函數，故C錯誤；
對于D，f（x）是非奇非偶函數，故D錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查函數的單調性、奇偶性、圖象和性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
6．函數，因其圖像類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數”，下列說法中正確的個數為（　?。?br/>①函數f（x）的定義域為{x|x≠1且x≠﹣1}；
②；
③函數f（x）的圖像關于直線x＝1對稱；
④當x∈（﹣1，1）時，f（x）max＝﹣1；
⑤方程f（x）﹣x2+4＝0有四個不同的根．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】對于①：函數f（x）的定義域為{x|x≠1且x≠﹣1}，即可判斷①是否正確；
對于②：先計算f（2022），再計算f（f（2020）），即可判斷②是否正確；
對于③：由函數的奇偶性的定義可得f（﹣x）＝f（x），即可判斷③是否正確；
對于④，⑤：作出函數f（x）與y＝x2﹣4的圖像，即可判斷④⑤是否正確．
【解答】解：對于①：函數f（x）的定義域為{x|x≠1且x≠﹣1}，故①正確；
對于②：f（f（2022））＝f（），故②正確；
對于③：因為f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）關于y軸對稱，故③錯誤；
對于④，⑤：f（x），
作出函數f（x）與y＝x2﹣4的圖像如圖所示：
所以當x∈（﹣1，1）時，f（x）max＝﹣1，
方程f（x）﹣x2+4＝0有四個不同的根，故④⑤正確，
故選：B．
【點評】本題考查函數的圖像和性質，解題中注意轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．
7．若a＞1，設函數f（x）＝ax+x﹣4的零點為m，g（x）＝logax+x﹣4的零點為n，則的取值范圍是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．
【答案】B
【分析】把函數零點轉化為兩個函數圖象交點的橫坐標，根據指數函數與對數函數互為反函數，得到兩個函數圖象之間的關系求出m，n之間的關系個，根據兩者之和是定值，利用基本不等式得到要求的結果．
【解答】解：函數f（x）＝ax+x﹣4的零點是函數y＝ax與函數y＝4﹣x圖象交點A的橫坐標，
函數g（x）＝logax+x﹣4的零點是函數y＝logax與函數y＝4﹣x圖象交點B的橫坐標，
由于指數函數與對數函數互為反函數，
其圖象關于直線y＝x對稱，
直線y＝4﹣x與直線y＝x垂直，
故直線y＝4﹣x與直線y＝x的交點（2，2）即是A，B的中點，
∴m+n＝4，
∴，
當m＝n＝2等號成立，
而m+n＝4，故1，
故所求的取值范圍是[1，+∞）．
故選：B．
【點評】本題綜合函數零點、考查反函數的性質，考查利用基本不等式求最值．考查根據函數圖象的對稱性找到兩個函數零點的關系．是一道在知識網絡的交匯處命題的優秀試題．
8．已知實數x1，x2為函數f（x）|log2（x﹣1）|的兩個零點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．（x1﹣2）（x2﹣2）∈（0，+∞）
B．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（0，1）
C．（x1﹣1）（x2﹣1）＝1
D．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（1，+∞）
【答案】B
【分析】作出函數的圖象，設x1＜2＜x2，可得，，進而判斷（x1﹣1）（x2﹣1），（x1﹣2）（x2﹣2）的大小關系．
【解答】解：作出函數的圖象如下圖所示，
則x1，x2為函數的圖象交點的橫坐標，不妨設x1＜2＜x2，
則，
∴，，
∴（x1﹣1）（x2﹣1），
又，
∴0＜（x1﹣1）（x2﹣1），
故選項CD錯誤，選項B正確；
又x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，則（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，選項A錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查函數零點與方程根的關系，考查數形結合思想及運算求解能力，屬于基礎題．
二、填空題
9．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|kx+1＝0}，且N M，則k的可能值組成的集合為　{0，，}　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}分別解出集合M最簡單的形式，然后再根據N M，求出k的值；
【解答】解：∵集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，∴集合M＝{2，﹣3}，
∵N M，N＝{x|kx+1＝0}，
∴N＝ ，或N＝{2}或N＝{﹣3}三種情況，
當N＝ 時，可得k＝0，此時N＝ ；
當N＝{2}時，∵N＝{x|kx+1＝0}，∴k；
當N＝{﹣3}，k，
∴k的可能值組成的集合為{0，，}，
故答案為{0，，}．
【點評】此題考查集合子集的概念，用到分類討論的思想，其中當N為空集，這一情況許多同學容易漏掉，要注意一下．
10．已知a∈R，函數f（x）若f（f（））＝3，則a＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】利用分段函數的解析式，先求出f（）的值，進而求出f（f（）），列出方程，求解a的值即可．
【解答】解：因為函數f（x），
所以，
則f（f（））＝f（2）＝|2﹣3|+a＝3，解得a＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了函數的求值問題，主要考查的是分段函數求值，解題的關鍵是根據自變量的值確定使用哪一段解析式求解，屬于基礎題．
11．已知函數
（1）當a＝0時，集合{x∈R|f（x）＝k} 中恰有三個元素，則實數k的取值范圍是 ?。ī?，3）　 ；
（2）若集合 {x∈R|f（x）＝f（﹣x）} 中恰有兩個元素，則實數a 的取值范圍是 　[﹣3，3]　 ．
【答案】（﹣1，3）；[﹣3，3]．
【分析】（1）作出此時函數的圖象，數形結合分析即得解；
（2）通過數形結合分析得到h（x）＝x+3（x≤a）必須包含（﹣3，0），g（x）＝（x﹣1）（x﹣3），（x＞a）必須包含點（3，0），即得解．
【解答】解：（1）a＝0時，，函數的圖象如圖所示，
若集合{x∈R|f（x）＝k}恰有三個元素，所以實數k的取值范圍是（﹣1，3）；
（2）對于函數g（x）＝（x﹣1）（x﹣3），滿足g（x）＝g（﹣x）的只有x＝0；
對于函數h（x）＝x+3，滿足h（x）＝h（﹣x）的只有x＝0；
又g（3）＝h（﹣3）＝0，
如圖所示，
要使集合{x∈R|f（x）＝f（﹣x）}恰有兩個元素，
則h（x）＝x+3（x≤a）必須包含（﹣3，0），g（x）＝（x﹣1）（x﹣3），（x＞a）必須包含點（3，0），
所以﹣3≤a≤3，
故答案為：（﹣1，3）；[﹣3，3]．
【點評】本題考查了分段函數的零點問題，屬于中檔題．
12．下列命題中：
①y＝2x與y＝log2x互為反函數，其圖象關于直線y＝x對稱；
②已知函數f（x﹣1）＝x2﹣2x﹣1，則f（5）＝26；
③當a＞0且a≠1時，函數f（x）＝ax﹣2﹣3必過定點（2，﹣2）；
④已知2a＝3b＝k（k≠1），且，則實數k＝18．
上述命題中的所有正確命題的序號是 ?、佗邰堋?．
【答案】①③④．
【分析】對于①，結合反函數的定義，即可求解，
對于②，結合函數f（x﹣1）的解析式，令x＝6，即可求解，
對于③，結合指數函數的性質，即可求解，
對于④，結合對數函數的公式，即可求解．
【解答】解：對于①，根據同底的指數函數和對數函數互為反函數，圖象關于原點對稱，故①正確，
對于②，∵函數f（x﹣1）＝x2﹣2x﹣1，
∴令x＝6可得，f（5）＝23，故②錯誤，
對于③，當x＝2時，f（x）＝ax﹣2﹣3＝1﹣3＝﹣2，
則當a＞0且a≠1時，函數f（x）＝ax﹣2﹣3必過定點（2，﹣2），故③正確，
對于④，2a＝3b＝k（k≠1），
則，b，
∴，解得k＝18，故④正確．
故答案為：①③④．
【點評】本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查函數的性質，屬于中檔題．
三、多選題
（多選）13．一輛賽車在一個周長為3km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反映了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關系．
根據圖1，以下四個說法中正確的是（　?。?br/>A．在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車速度逐漸增加
B．在整個跑道上，最長的直線路程不超過0.6km
C．大約在這第二圈的0.4km到0.6km之間，賽車開始了那段最長直線路程的行駛
D．在圖2的四條曲線（注：s為初始記錄數據位置）中，曲線B最能符合賽車的運動軌跡
【答案】AD
【分析】結合圖1分析可得，在2.6km到2.8km之間，圖象上升，故A正確；在整個跑道上，高速行駛時最長為（1.8，2.4）之間，故BC不正確；跑道應有3個彎道，且兩長一短，故D正確．
【解答】解：由圖1知，在2.6km到2.8km之間，圖象上升，
故在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車速度逐漸增加；
故A正確；
在整個跑道上，高速行駛時最長為（1.8，2.4）之間，
但直道加減速也有過程，故最長的直線路程有可能超過0.6km，
故B不正確；
最長直線路程應在1.4到1.8之間開始，故C不正確；
由圖1可知，跑道應有3個彎道，且兩長一短，故D正確；
故選：AD．
【點評】本題考查了學生的識圖能力及數形結合的思想應用．
（多選）14．若函數f（x）＝x的定義域為（]，則下列說法正確的是（　　）
A． x∈（，5]，使得f（x）＜0
B．當x＝1時f（x）取最小值
C．f（x）的最大值為2
D．f（x）的圖象與直線y＝1有2個交點
【答案】BC
【分析】對函數f（x）求導，判斷其單調性及最值，再逐項分析判斷即可．
【解答】解：，
令f′（x）＞0，解得1＜x＜5，令f′（x）＜0，解得，
所以函數f（x）在上單調遞減，在（1，5）上單調遞增，
則f（x）min＝f（1）＝0，則選項A錯誤，選項B正確；
由于，當時，，
所以函數f（x）的最大值為2，選項C正確；
由，則f（x）的圖象與直線y＝1僅有2個交點．
故選：BC．
【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性及最值，考查運算求解能力，屬于基礎題．
（多選）15．已知f（x）是定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函數，函數g（x）＝f（x），f（1）＝﹣1，當x2＞x1＞0時，x1x2f（x1）﹣x1＞x1x2f（x2）﹣x2恒成立，則（　　）
A．g（x）在（0，+∞）上單調遞增
B．g（x）的圖象與x軸有2個交點
C．f（3）+f（﹣2）＜log642
D．不等式g（x）＞0的解集為（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】BC
【分析】f（x1）f（x2）在x2＞x1＞0時恒成立，然后結合單調性及奇偶性的定義分別檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：因為當x2＞x1＞0時，x1x2f（x1）﹣x1＞x1x2f（x2）﹣x2恒成立，
即f（x1）f（x2）恒成立，
所以f（x1）f（x2）在x2＞x1＞0時恒成立，
即g（x）＝f（x）在（0，+∞）上單調遞減，A錯誤；
由f（x）是定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函數，得g（x）也為（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函數，且g（1）＝f（1）+1＝0，
所以g（﹣1）＝﹣g（1）＝0，g（x）的圖形與x軸有2個交點，B正確；
由g（3）＜g（2）得f（3）f（2），
所以f（3）+f（﹣2）＝f（3）﹣f（2）log642，C正確；
由g（x）在（0，+∞）上單調遞減且g（x）為奇函數，g（1）＝g（﹣1）＝0，
則g（x）＞0得x＜﹣1或0＜x＜1，D 錯誤．
故選：BC．
【點評】本題考查了函數單調性，奇偶性的定義及性質的綜合應用，屬于中檔題．
（多選）16．已知函數．若0＜a＜b＜c，則f（a）f（b）f（c）＜0，那么下列說法一定正確的是（　?。?br/>A．f（x）有且只有一個零點
B．f（x）的零點在（0，1）內
C．f（x）的零點在（a，b）內
D．f（x）的零點在（c，+∞）內
【答案】AB
【分析】根據題意，分析可得f（x）在（0，+∞）上為增函數，進而求出f（1）與f（）的值，分析可得函數f（x）在（，1）上存在1個零點，并且只有1個零點；進而由f（a）f（b）f（c）＜0分析可得f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0；據此分析選項，綜合即可得答案．
【解答】解：因為函數，
函數y在（0，+∞）上為增函數，yx在（0，+∞）上為減函數，
故f（x）在（0，+∞）上為增函數，
又f（1）＝1，f（）＜0，
所以函數f（x）在（）上存在唯一零點，故A，B正確；
若0＜a＜b＜c，則有f（a）＜f（b）＜f（c），
又由f（a）f（b）f（c）＜0，
則f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，故C，D錯誤；
故選：AB．
【點評】本題考查函數零點的判定定理，注意分析函數f（x）的單調性，屬于基礎題．
四、解答題
17．設集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）當x∈Z時，求A的非空真子集個數；
（2）當B A，求m的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）x∈Z時，可解出A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，從而得出A的非空真子集的個數為26﹣2＝62；
（2）根據B A即可討論B是否為空集：B＝ 時，m﹣1≥2m+1；B≠ 時，得出，解出m的范圍即可．
【解答】解：（1）∵x∈Z；
∴A＝{x|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}；
∴A的非空真子集的個數為：62；
（2）∵B A；
∴①B＝ 時，m﹣1≥2m+1；
∴m≤﹣2；
②B≠ 時，；
解得﹣1≤m≤1；
∴綜上得，m的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，1]．
【點評】考查描述法、列舉法的定義，以及非空真子集的定義，二項式定理，以及子集的定義．
18．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①y＜0的解集為{x|﹣1＜x＜3}；②a＝﹣1；③y的最小值為﹣4．
（1）請寫出滿足題意的兩個條件的序號，并求a，b，c的值；
（2）求關于x的不等式y≥（m﹣2）x+2m2﹣3（m∈R）的解集．
【答案】當m＝0時，不等式的解集為R，
當m＞0時，不等式的解集為{x|x≥2m或x≤﹣m}，
當m＜0時，不等式的解集為{x|x≥﹣m或x≤2m}．
【分析】（1）當a＝﹣1時，y＜0的解集不能為（﹣1，3），且函數存在最大值，所以a＝﹣1不成立，函數只能同時滿足①③，然后得出函數的對稱軸，根據韋達定理以及最大值建立方程即可求解；（2）化簡不等式為（x+m）（x﹣2m）≥0，然后討論m＝0，m＞0，m＜0三種情況，根據一元二次不等式的解法即可求解．
【解答】解：（1）當a＝﹣1時，y＜0的解集不能為（﹣1，3），且函數存在最大值，所以a＝﹣1不成立，
所以函數只能同時滿足①③，
則﹣1，3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，由韋達定理可得：，
且函數的對稱軸為x，則a+b+c＝﹣4，
聯立方程組解得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣2x﹣3，
所以不等式：x2﹣2x﹣3≥（m﹣2）x+2m2﹣3化為：x2﹣mx﹣2m2≥0，
即（x+m）（x﹣2m）≥0，
當m＝0時，不等式化為x2≥0，解集為R，
當m＞0時，解不等式可得x≥2m或x≤﹣m，
當m＜0時，解不等式可得x≥﹣m或x≤2m，
綜上，當m＝0時，不等式的解集為R，
當m＞0時，不等式的解集為{x|x≥2m或x≤﹣m}，
當m＜0時，不等式的解集為{x|x≥﹣m或x≤2m}．
【點評】本題考查了二次函數的解析式的求解以及含參數一元二次不等式的解法，涉及到分類討論思想的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．
19．2009年某市某地段商業用地價格為每畝60萬元，由于土地價格持續上漲，到2021年已經上漲到每畝120萬元，現給出兩種地價增長方式，其中P1：f（t）＝at+b（a，b∈R）是按直線上升的地價，P2：g（t）＝clog2（d+t）（c，d∈R）是按對數增長的地價，t是2009年以來經過的年數．2009年對應的t值為0．
（1）求f（t），g（t）的解析式；
（2）2021年開始，國家出臺“穩定土地價格”的相關調控政策，為此，該市要求2025年的地價相對于2021年上漲幅度控制在10%以內，請分析比較以上兩種增長方式，確定出最合適的一種模型．（參考數據：lg2≈0.3）
【答案】（1）f（t）＝5t+60，t≥0，g（t）＝30log2（4+t），t≥0．（2）選擇模型P2，理由詳見解析．
【分析】（1）由f（0）＝60，f（12）＝120，求得f（t），由g（0）＝60，g（12）＝120，求得g（t）．
（2）由t＝16，分別算出f（16），g（16），分別算出兩個模型的增長率，即可求解．
【解答】解：（1）由題意知，f（0）＝60，f（12）＝120，
所以，解得，
所以f（t）＝5t+60，t≥0，
又g（0）＝60，g（12）＝120，
所以，解得，
故g（t）＝30log2（4+t），t≥0．
（2）若按照模型P1：f（t）＝5t+60，到2025年時，t＝16，f（16）＝140，
直線上升的增長率為10%，不符合要求，
若按照模型P2：g（t）＝30log2（t+4），到2025年時，t＝16，
g（16）＝30log220＝30（log210+1）≈30×（3.32+1）＝129.6，
對數增長的增長率為，符合要求，
綜上所述，應選擇模型P2．
【點評】本題主要考查函數的實際應用，掌握對數函數的公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．
20．設關于x的方程 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0．
（1）若k＝3，求方程的解；
（2）若該方程在[0，2]內有解，求k的取值范圍．
【答案】（1）x＝log34．
（2）[，8]．
【分析】（1）將k＝3代入方程，得到9x﹣3 3x﹣4＝0，即（3x+1）（3x﹣4）＝0，進而求出3x的值，結合指數函數的值域，即可求出x的值．
（2）將式子 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0整理得k，令t＝3x，x∈[0，2]，則t∈[1，9]，借助于二次函數的性質即可求出k的取值范圍．
【解答】解：（1）當k＝3時，方程化為3 9x﹣3 3x+1+6×（﹣2）＝0，
化簡得9x﹣3 3x﹣4＝0，即（3x+1）（3x﹣4）＝0，
解得3x＝4或3x＝﹣1（舍去），
∴x＝log34，
∴此方程的解為x＝log34．
（2）由 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0可得k（9x﹣3x+1+6）＝30，
∴k，
令t＝3x，x∈[0，2]，則t∈[1，9]，
∴9x﹣3 3x+6＝t2﹣3t+6，
由t∈[1，9]可得當t時，取得最小值；當t＝9時，取得最大值60，
∴，
即，
∴k的取值范圍為[，8]．
【點評】本題主要考查了有關求方程的解或者方程在某個區間上有解求參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意換元思想的應用，以及二次函數在某個區間上的值域的求解方法，屬于中檔題目．
21．已知函數f（x）sinx．
（1）試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對，不等式ex+acosx≥ax2恒成立，求實數a的取值范圍．
【答案】（1）3個零點；（2）．
【分析】（1）由f（x）為奇函數，得x＝0是一個零點，利用導數分析函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，結合零點存在定理求出函數f（x）在（0，+∞）上的零點個數，再結合奇函數的性質可得出結論；
（2）不等式ex+acosx≥ax2化為ex≥a（x2﹣cosx），再由（1）中的結論討論x2﹣cosx零、正、負，分離參數a，構造新函數，轉化為a與新函數的最值關系，通過求導求出新函數的最值，即可求出結論．
【解答】（1）解：函數f（x）的定義域為，
所以，函數f（x）為奇函數，且f（0）＝0，
下面確定函數f（x）在（0，+∞）上的零點個數，
當x∈（0，+∞），記g（x）＝f′（x）＝x2﹣cosx，
記g1（x）＝g′（x）＝2x+sinx，g1′（x）＝2+cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上遞增，
又∵g′（x）＞g（0）＝0，∴g（x）在（0，+∞）上遞增，
又∵，
所以存在唯一實數，使得g（x0）＝0，
當x∈（0，x0）時，g（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0，
所以函數f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，
∵f（0）＝0，∴f（x0）＜f（0）＝0，
又f（π）＞0，所以函數f（x）在（x0，π）上有且只有一個零點，故函數f（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，
由奇函數的性質可知，函數f（x）在（﹣∞，0）上只有一個零點，
所以函數f（x）有三個零點；
（2）解：由ex+acosx≥ax2，可得ex≥a（x2﹣cosx），
由（1）知：
①當x＝x0時，，
此時，對于任意a∈R，ex≥a（x2﹣cosx）恒成立；
②當時，g（x）＞0，
由ex≥a（x2﹣cosx），得，
令，下面研究h（x）的最小值，
∵，
令t（x）＝x2﹣cosx﹣2x﹣sinx，則t′（x）＝2x+sinx﹣2﹣cosx，令t1（x）＝t′（x），
t1′（x）＝2+cosx+sinx＞0對任意的成立，
∴函數t′（x）在上為增函數，
而t′（x0）＝2x0+sinx0﹣2﹣cosx0
，
又，∴存在唯一實數，使得′（m）＝0，
當x∈（x0，m）時，t′（m）＜0；當時，t′（m）＞0，
∴函數t（x）在（x0，m）上遞減，在遞增，
∴，
，∴函數h（x）在上遞減，
∴，∴；
③當x∈[0，x0）時，g（x）＝x2﹣cosx＜0，
由ex≥a（x2﹣cosx），得，
由②可知，
所以函數在[0，x0）上為減函數，
當x∈[0，x0）時，h（x）max＝h（0）＝﹣1，
∴a≥﹣1，綜上，．
【點評】本題考查了函數的恒成立問題，屬于中檔題．
22．已知函數f（x）＝log2x．
（Ⅰ）若g（x）＝f（4x+1）+kx是偶函數，求k的值；
（Ⅱ）若方程|f（x）|﹣2﹣x＝0有兩個不等的實數根x1，x2（x1＜x2），比較x1x2與1的大小；
（Ⅲ）設函數，若 a，b∈R，使得y＝F（x）在定義域[2a，2b]上單調遞增，且值域為[a，b]，求m的取值范圍．
【答案】（I）k＝1；
（II）x1x2＜1；
（III）m的取值范圍為[1）．
【分析】（I）根據g（x）是偶函數，由g（﹣x）＝g（x），即 成立求解；
（II）將方程|f（x）|﹣2﹣x＝0，轉化為，在同一坐標系中作出函數 的圖象，利用數形結合法求解；
（III）令t＝log2x，轉化為F（x）＝h（t）＝mt2﹣2t+2，t∈[a，b]，根據F（x）在定義域[2a，2b]上單調遞增，且值域為[a，b]，得到在[a，b]上單調遞增，且值域為[a，b]，結合二次函數的單調性，
【解答】解：（I）g（x）定義域為R，因為g（x）是偶函數，所以g（﹣x）＝g（x），
即，即，
所以﹣2（1+k）x＝0恒成立，所以k＝﹣1；
（II）因為f（x）＝log2x，
所以方程|f（x）|﹣2﹣x＝0，即，
在同一坐標系中作出函數的圖象，如圖所示：
因為x1＜x2，由圖可知0＜x1＜1＜x2，
所以，
所以，
因為x1＜x2，所以，
故log2（x1x2）＜0，故x1x2＜1；
（III）函數，
令t＝log2x，則h（t）＝mt2﹣2t+2，t∈[a，b]，
因 F（x） 在定義域[2a，2b]上單調遞增，且值域為[a，b]，
所以h（t） 在[a，b]上單調遞增，且值域為[a，b]，
因為m＞0，所以二次函數h（t）的圖象開口向上，對稱軸為t，
所以 在[a，b]上單調遞增，
所以，即，
所以方程 mx2﹣3x+2＝0 在上有兩個不相等的實數根，
則有，
解得，
所以實數m的取值范圍為[1）．
【點評】本題考查函數的零點與方程的關系，考查學生的運算能力，屬于難題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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