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第5章 函數(shù)概念與性質(zhì)
一、選擇題
1．設(shè)函數(shù)f（x）＝，則f（f（2））＝（　?。?br/>A． B．16 C．2 D．1
2．函數(shù)f（x）＝的值域是（　?。?br/>A．（0，+∞） B．（0，1） C．[，1） D．[，+∞）
3．用min{a，b}表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）＝min{x+2，10﹣x}，則f（x）的最大值為（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
4．函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣4，7）上單調(diào)遞增，則使得y＝f（x﹣3）單調(diào)遞增的區(qū)間為（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣1，7） C．（﹣1，10） D．（﹣10，﹣4）
5．函數(shù)f（x）＝+3x的最大值為（　?。?br/>A． B．1 C． D．
6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＝2x+2﹣x，則f（5）＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
7．設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)且滿(mǎn)足f（x﹣1）＝f（x+1），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝5x（1﹣x），則f（﹣2020.6）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．已知函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）+g（x）＝x3+x2+1，則f（1）﹣g（1）＝（　?。?br/>A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知開(kāi)口向上的二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都滿(mǎn)足f（3﹣x）＝f（x），若f（x）在區(qū)間（a，2a﹣1）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。?br/>A．（﹣∞，] B．（1，] C．[﹣，+∞） D．（﹣∞，2]
10．定義在（0，+∞）上的增函數(shù)f（x），滿(mǎn)足對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，則不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（　?。?br/>A．（﹣1，9） B．（0，8） C．（8，9） D．（0，9）
11．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，，則（　　）
A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
12．若f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（　?。?br/>①若f（x0）＞x0，則f（f（x0））＞x0；
②若f（f（x0））＞x0，則f（x0）＞x0；
③若f（x）是奇函數(shù)，則f（f（x））也是奇函數(shù)；
④若f（x）是奇函數(shù)，則f（x1）+f（x2）＝0 x1+x2＝0．
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
二、多選題
（多選）13．已知f（x），g（x）都是定義在R上且不恒為0的函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的有（　　）
A．若f（x）為奇函數(shù)，則y＝|f（x）|為偶函數(shù)
B．若f（x）為偶函數(shù)，則y＝﹣f（﹣x）為奇函數(shù)
C．若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則y＝f（g（x））為奇函數(shù)
D．若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則y＝f（x）+g（x）非奇非偶
（多選）14．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且當(dāng)x＞0，f（x）＜0．其中正確的結(jié)論是（　?。?br/>A．f（0）＝0 B．f（x）為偶函數(shù)
C．f（x）為R上減函數(shù) D．f（x）為R上增函數(shù)
（多選）15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，則（　　）
A．f（1）＝0 B．f（2）＝1 C．f（3）＝0 D．f（4）＝1
（多選）16．已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿(mǎn)足條件f（x+2）＝﹣f（x），且函數(shù)y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，則（　?。?br/>A．函數(shù)y＝f（x）是周期函數(shù)
B．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)y＝f（x）為R上的偶函數(shù)
D．函數(shù)y＝f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)
（多選）17．若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足：（1）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時(shí)，有，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（　?。?br/>A．f（x）＝x2
B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣
D．f（x）＝
三、填空題
18．設(shè)函數(shù)f（x）＝，則不等式f（x）＜f（1）的解集是 　 　 ．
19．已知二次函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件f（0）＝1，且有f（x+1）﹣f（x）＝2x．在區(qū)間[﹣1，2]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象下方，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 　 　 ．
20．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，且f（1）＝2，則f（2013）＝　 　 ．
四、解答題
21．如圖，定義在[﹣1，+∞）上的函數(shù)f（x）的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，
（1）求f[f（4）]的值；
（2）求f（x）的解析式．
22．已知函數(shù)．
（1）若m＞n＞0時(shí)，f（m）＝f（n），求的值；
（2）若m＞n＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[n，m]，求所有m，n值．
23．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì) a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系；
（2）若f（1+m）+f（3﹣2m）≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
第5章 函數(shù)概念與性質(zhì)
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．設(shè)函數(shù)f（x）＝，則f（f（2））＝（　　）
A． B．16 C．2 D．1
【答案】D
【分析】推導(dǎo)出f（2）＝＝1，從而f（f（2））＝f（1），由此能求出結(jié)果．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，
∴f（2）＝＝1，
f（f（2））＝f（1）＝12＝1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．函數(shù)f（x）＝的值域是（　?。?br/>A．（0，+∞） B．（0，1） C．[，1） D．[，+∞）
【答案】A
【分析】本題考查的是分段函數(shù)的值域，分別運(yùn)用了二次函數(shù)和冪函數(shù)（反比例函數(shù)）的單調(diào)性．
【解答】解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝（x﹣）2+，在（﹣∞，）上單調(diào)遞減，在（，1）上單調(diào)遞增，所以f（x）≥，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＝，單調(diào)遞減，所以f（x）∈（0，1），綜合以上得函數(shù)f（x）的值域數(shù)（0，+∞）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)的單調(diào)性是由對(duì)稱(chēng)軸的確定的，反比例函數(shù)的單調(diào)性是由比例系數(shù)k的正負(fù)性來(lái)定的，分段函數(shù)的值域是各段的值域的并集．
3．用min{a，b}表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）＝min{x+2，10﹣x}，則f（x）的最大值為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y＝x+2，y＝10﹣x的圖象，根據(jù)圖象求出f（x）的最大值．
【解答】解：在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y＝x+2，y＝10﹣x的圖象，如圖；
由圖象知，f（x）＝min{x+2，10﹣x}＝，
∴f（x）的最大值為f（x）max＝f（4）＝6；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義的函數(shù)的最值問(wèn)題，結(jié)合圖象，容易得出結(jié)論．
4．函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣4，7）上單調(diào)遞增，則使得y＝f（x﹣3）單調(diào)遞增的區(qū)間為（　?。?br/>A．（﹣2，3） B．（﹣1，7） C．（﹣1，10） D．（﹣10，﹣4）
【答案】C
【分析】根據(jù)單調(diào)區(qū)間列不等式組求出．
【解答】解：令﹣4＜x﹣3＜7，解得﹣1＜x＜10，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)變換，屬于基礎(chǔ)題．
5．函數(shù)f（x）＝+3x的最大值為（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g（t）＝﹣t2+t+的最大值．
【解答】解：令，則，
所以函數(shù)f（x）的最大值即為函數(shù)g（t）＝﹣t2+t+的最大值，
又因?yàn)間（t）＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+，
所以當(dāng)時(shí)，g（t）取得最大值．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化思想及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＝2x+2﹣x，則f（5）＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】D
【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得f（x+2）＝f（﹣x+2），從而可把f（5）轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入可求．
【解答】解：由題意可得f（x+2）＝f（﹣x+2），
所以f（5）＝f（3+2）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（23﹣1）＝﹣7．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力與推理論證能力．
7．設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)且滿(mǎn)足f（x﹣1）＝f（x+1），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝5x（1﹣x），則f（﹣2020.6）＝（　?。?br/>A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分析可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），又由函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，f（x）滿(mǎn)足f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x+2）＝f（x），
則f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又由f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝5x（1﹣x），則f（0.6）＝5×0.6×0.4＝，
故f（﹣2020.6）＝﹣f（0.6）＝﹣，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，注意分析函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）+g（x）＝x3+x2+1，則f（1）﹣g（1）＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣1）+g（﹣1）＝（﹣1）+1+1＝1，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（﹣1）+g（﹣1）＝f（1）﹣g（1），即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，f（x）+g（x）＝x3+x2+1，則f（﹣1）+g（﹣1）＝（﹣1）+1+1＝1，
又由函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則f（﹣1）+g（﹣1）＝f（1）﹣g（1），
故f（1）﹣g（1）＝1；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知開(kāi)口向上的二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都滿(mǎn)足f（3﹣x）＝f（x），若f（x）在區(qū)間（a，2a﹣1）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。?br/>A．（﹣∞，] B．（1，] C．[﹣，+∞） D．（﹣∞，2]
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．
【解答】解：由題意函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x＝，圖象開(kāi)口向上，
若f（x）在區(qū)間（a，2a﹣1）上單調(diào)遞減，
則只需≥2a﹣1，解得：a≤，
而a＜2a﹣1，解得：a＞1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．
10．定義在（0，+∞）上的增函數(shù)f（x），滿(mǎn)足對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，則不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（　?。?br/>A．（﹣1，9） B．（0，8） C．（8，9） D．（0，9）
【答案】C
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用賦值法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵f（xy）＝f（x）+f（y），f（3）＝1，
∴2＝2f（3）＝f（3）+f（3）＝f（3×3）＝f（9），
則不等式f（x）+f（x﹣8）＜2等價(jià)為f[x（x﹣8）]＜f（9），
∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴不等式等價(jià)為，
即，解得8＜x＜9，
∴不等式的解集為（8，9），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
11．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，，則（　　）
A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得到a＝f（log32），b＝f（log23），結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出，再由f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，即可求解．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得，，
由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得log32＜log33＝1，1＝log22＜log23＜log24＝2，
又，所以，
又因?yàn)閒（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，即c＞b＞a．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
12．若f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（　?。?br/>①若f（x0）＞x0，則f（f（x0））＞x0；
②若f（f（x0））＞x0，則f（x0）＞x0；
③若f（x）是奇函數(shù)，則f（f（x））也是奇函數(shù)；
④若f（x）是奇函數(shù)，則f（x1）+f（x2）＝0 x1+x2＝0．
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】A
【分析】①，由f（x）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，若f（x0）＞x0，則f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，；
②，若f（x0）≤x0，由f（x）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0與已知矛盾；
③，由奇函數(shù)的性質(zhì)及判定得f[f（﹣x）]＝f[﹣f（x）]＝﹣f[f（x）]，即可判定；
④，若f（x1）+f（x2）＝0，則f（x1）＝﹣f（x2） x1＝﹣x2 x1+x2＝0；若x1+x2＝0 x1＝﹣x2 f（x1）＝f（﹣x2）＝﹣f（x2） f（x1）+f（x2）＝0
【解答】解：對(duì)于①，∵f（x）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，若f（x0）＞x0，則f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)f[f（x0）]＞x0時(shí)，若f（x0）≤x0，由f（x）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0與已知矛盾，故②正確；
對(duì)于③，若f（x）是奇函數(shù)，則f[f（﹣x）]＝f[﹣f（x）]＝﹣f[f（x）]，∴f[f（x）]也是奇函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)f（x）是奇函數(shù)，且是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，若f（x1）+f（x2）＝0，則f（x1）＝﹣f（x2） x1＝﹣x2 x1+x2＝0；
若x1+x2＝0 x1＝﹣x2 f（x1）＝f（﹣x2）＝﹣f（x2） f（x1）+f（x2）＝0，故④正確；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷，考查了函數(shù)的概念、性質(zhì)，屬于中檔題．
二、多選題
（多選）13．已知f（x），g（x）都是定義在R上且不恒為0的函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的有（　?。?br/>A．若f（x）為奇函數(shù)，則y＝|f（x）|為偶函數(shù)
B．若f（x）為偶函數(shù)，則y＝﹣f（﹣x）為奇函數(shù)
C．若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則y＝f（g（x））為奇函數(shù)
D．若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則y＝f（x）+g（x）非奇非偶
【答案】BC
【分析】由函數(shù)的奇偶性的定義，計(jì)算可得結(jié)論．
【解答】解：f（x），g（x）都是定義在R上且不恒為0的函數(shù)，
若f（x）為奇函數(shù)，則|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，故A正確；
若f（x）為偶函數(shù)，可得f（﹣x）＝f（x），設(shè)g（x）＝﹣f（﹣x），
則g（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x）＝g（x），g（x）為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，即有f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
設(shè)h（x）＝f（g（x）），h（﹣x）＝f（g（﹣x））＝f（g（x））＝h（x），所以h（x）為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
設(shè)h（x）＝f（x）+g（x），h（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠h（x），且h（﹣x）≠﹣h（x），所以h（x）不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故D正確．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）14．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且當(dāng)x＞0，f（x）＜0．其中正確的結(jié)論是（　?。?br/>A．f（0）＝0 B．f（x）為偶函數(shù)
C．f（x）為R上減函數(shù) D．f（x）為R上增函數(shù)
【答案】AC
【分析】令x＝y(tǒng)＝0，即可判斷選項(xiàng)A，令y＝﹣x，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可判斷選項(xiàng)B，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷選項(xiàng)C，D．
【解答】解：對(duì)于A，令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，f（x）的定義域?yàn)镽，令y＝﹣x，則f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)x2＜x1，則f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），
因?yàn)閤2＜x1，則x1﹣x2＞0，
所以f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)，
故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的理解與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷問(wèn)題，對(duì)于抽象函數(shù)的恒等式問(wèn)題，一般運(yùn)用賦值法進(jìn)行研究，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
（多選）15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，則（　?。?br/>A．f（1）＝0 B．f（2）＝1 C．f（3）＝0 D．f（4）＝1
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，利用特殊值法依次分析選項(xiàng)，求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，f（x）滿(mǎn)足f（1﹣x）＝﹣f（1+x），令x＝0可得：f（1）＝﹣f（1），變形可得f（1）＝0，A正確，
對(duì)于B，在f（1﹣x）＝﹣f（1+x）中，令x＝1可得：f（0）＝﹣f（2），則有f（2）＝﹣f（0）＝﹣1，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，在f（1﹣x）＝﹣f（1+x）中，令x＝﹣2可得：f（3）＝﹣f（﹣1），又由f（x）為偶函數(shù)，則f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，C正確，
對(duì)于D，在f（1﹣x）＝﹣f（1+x）中，令x＝﹣3可得：f（4）＝﹣f（﹣2），又由f（x）為偶函數(shù)，則f（4）＝﹣f（﹣2）＝﹣f（2）＝1，D正確，
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及抽象函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）16．已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿(mǎn)足條件f（x+2）＝﹣f（x），且函數(shù)y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，則（　?。?br/>A．函數(shù)y＝f（x）是周期函數(shù)
B．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)y＝f（x）為R上的偶函數(shù)
D．函數(shù)y＝f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)
【答案】ABC
【分析】利用f（x+2）＝﹣f（x）可以判斷函數(shù)y＝f（x）的周期性，利用y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)可以判斷函數(shù)y＝f（x）的對(duì)稱(chēng)性和奇偶性、單調(diào)性，最后選出正確答案．
【解答】解：因?yàn)閒（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即T＝4，故A正確；
因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝f（x﹣1）圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．
將y＝f（x﹣1）的圖象向左平移1個(gè)單位可得y＝f（x）的圖象，則y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱(chēng)，所以B正確；
又函數(shù)y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f（x+2），
根據(jù)f（x+2）＝﹣f（x），有f（﹣x）＝f（x），即函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，C正確；
因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，所以f（﹣1）＝0，又函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，f（1）＝0，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確．
故選：ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性以及對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
（多選）17．若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足：（1）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時(shí)，有，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（　?。?br/>A．f（x）＝x2
B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣
D．f（x）＝
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的定義可得若函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，則f（x）在其定義域上為奇函數(shù)，同時(shí)在其定義域上為減函數(shù)，據(jù)此依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若f（x）滿(mǎn)足對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0，則f（x）為奇函數(shù)，
若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時(shí)，有，則f（x）在其定義域上為減函數(shù)，
若函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，則f（x）在其定義域上為奇函數(shù)，同時(shí)在其定義域上為減函數(shù)，
依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，f（x）＝x2，為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意，
對(duì)于B，f（x）＝﹣x3，在其定義域上為奇函數(shù)，同時(shí)在其定義域上為減函數(shù)，符合題意，
對(duì)于C，f（x）＝x﹣，在其定義域上不是減函數(shù)，不符合題意，
對(duì)于D，f（x）＝，在其定義域上為奇函數(shù)，同時(shí)在其定義域上為減函數(shù)，符合題意，
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判斷，注意常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題
18．設(shè)函數(shù)f（x）＝，則不等式f（x）＜f（1）的解集是 　{x|1＜x＜3或x＜﹣3}　 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】先求出f（1）的值，再利用分段函數(shù)解不等式即可．
【解答】解：∵f（1）＝3
當(dāng)x＜0時(shí)，令x+6＜3有x＜﹣3，又∵x＜0，∴x＜﹣3，
當(dāng)x≥0時(shí)，令x2﹣4x+6＜3，∴1＜x＜3，
綜上不等式的解集為：{x|1＜x＜3或x＜﹣3}；
故答案為：{x|1＜x＜3或x＜﹣3}
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用和不等式的求法．屬中檔題．注意：函數(shù)的定義域．
19．已知二次函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件f（0）＝1，且有f（x+1）﹣f（x）＝2x．在區(qū)間[﹣1，2]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象下方，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 　m＞5　 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】設(shè)f（x）＝ax2+bx+c，根據(jù)條件求出系數(shù)a、b和c的值，再由題意轉(zhuǎn)化為x2﹣x+1＜2x+m在[﹣1，2]恒成立，再分離出m，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求y＝x2﹣3x+1在[﹣1，2]上的最大．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c （a≠0），
∵f（0）＝1，∴c＝1，即f（x）＝ax2+bx+1，
∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）＝2x，
即2ax+a+b＝2x，∴，解得，
∴f（x）＝x2﹣x+1，
∵在區(qū)間[﹣1，2]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象下方，
∴x2﹣x+1＜2x+m，即m＞x2﹣3x+1，x∈[﹣1，2]，
∵y＝x2﹣3x+1的對(duì)稱(chēng)軸x＝，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，此函數(shù)有最大值為5，
∴m＞5．
故答案為：m＞5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)解析式方法：待定系數(shù)法，以及恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分析、解決問(wèn)題的能力．
20．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，且f（1）＝2，則f（2013）＝　2　 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】依題意，知函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，令x＝﹣2，可求得f（2）＝0，繼而可得y＝f（x）是以4為周期的函數(shù)，且f（1）＝2，于是可求得f（2013）的值．
【解答】解：∵y＝f（x﹣1）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，
∴y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱(chēng)，
∴函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，
∴f（﹣2）＝f（2），
令x＝﹣2，得：f（﹣2+4）﹣f（﹣2）＝2f（2），
即f（2）﹣f（2）＝2f（2），
∴f（2）＝0，
∴f（x+4）﹣f（x）＝0，
即f（x+4）＝f（x），
∴函數(shù)y＝f（x）是以4為周期的函數(shù)，且f（1）＝2，
∴f（2013）＝f（4×503+1）＝f（1）＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，著重考查函數(shù)的奇偶性與周期性的確定與應(yīng)用，屬于中檔題．
四、解答題
21．如圖，定義在[﹣1，+∞）上的函數(shù)f（x）的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，
（1）求f[f（4）]的值；
（2）求f（x）的解析式．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求出f（f（4））的值即可；
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法設(shè)出解析式，再把已知點(diǎn)代入求解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)圖象可知f（4）＝0，∴f（f（4））＝f（0）＝1，
（2）設(shè)y＝kx+b
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)（﹣1，0）代入可得：b＝1，k＝1
即y＝x+1；
當(dāng)x≥0時(shí)，y＝ax2+bx+c，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（0，0）（4，0）（2，﹣1）代入可得：
y＝x2﹣x，
所以y＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的概念，性質(zhì)，解析式的求解方法，會(huì)根據(jù)圖象設(shè)解析式是解題的關(guān)鍵．
22．已知函數(shù)．
（1）若m＞n＞0時(shí)，f（m）＝f（n），求的值；
（2）若m＞n＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域與值域均為[n，m]，求所有m，n值．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）∵m＞n＞0時(shí)，f（m）＝f（n），∴，∴（）+（）＝0，進(jìn)而求解；
（2）由題意f（x）＝，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，繼而分類(lèi)討論，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）∵m＞n＞0時(shí)，f（m）＝f（n），
∴，∴（）+（）＝0
∴+＝2；
（2）由題意f（x）＝，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，
①0＜n＜m≤1，則f（n）＝m，f（m）＝n，∴解得m＝n＝（舍）
②n＜1＜m，則f（x）min＝f（1）＝＝n，f（x）max＝m＝max{f（n），f（m）}＝max{，f（m）}，∴m＝，
③1≤n＜m，則f（n）＝n，f（m）＝m，無(wú)解．
綜上，．
【點(diǎn)評(píng)】考查含有絕對(duì)值等式的理解，分段函數(shù)的處理，分類(lèi)討論的思想，函數(shù)的最值．
23．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì) a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系；
（2）若f（1+m）+f（3﹣2m）≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合條件＞0判斷出增函數(shù)，比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系很容易了．
（2）利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式f（1+m）+f（3﹣2m）≥0，為m+1≥2m﹣3，再求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
又∵對(duì) a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有＞0．
∴對(duì) a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，，即
可判斷f（x）為增函數(shù)，可知當(dāng)a＞b時(shí)有f（a）＞f（b）成立．
（2）∵f（x）為增函數(shù)，且奇函數(shù)∴f（1+m）+f（3﹣2m）≥0可轉(zhuǎn)化為m+1≥2m﹣3，即m≤4
可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，4]．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和不等式的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化的方法解決．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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