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第6章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)
一、選擇題
1．（5分）函數(shù)的定義域是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，1] C．（0，1） D．（0，1]
2．（5分）已知正實數(shù)a，b，c滿足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
3．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（m﹣2）x2+（m2﹣4）x+m是偶函數(shù)，g（x）＝﹣x2﹣mx在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m＝（　　）
A．﹣2 B．±2 C．0 D．2
4．（5分）函數(shù)f（x）＝ax﹣1+logax（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值與最小值之和是a，則a的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
5．（5分）函數(shù)f（x）＝x2﹣bx+c滿足f（1+x）＝f（1﹣x）且f（0）＝3，則f（bx）和f（cx）的大小關(guān)系是（　　）
A．f（bx）≤f（cx）
B．f（bx）≥f（cx）
C．f（bx）＞f（cx）
D．大小關(guān)系隨x的不同而不同
6．（5分）若函數(shù)f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，則g（x）＝loga（x+k）的圖象是（　　）
A．B． C．D．
7．（5分）如果函數(shù)y＝f（x）在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，使得f（kx0）＝f（k）f（x0）（k為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)y＝f（x）為“對k的可拆分函數(shù)”．若f（x）＝為“對2的可拆分函數(shù)”，則非零實數(shù)a的最大值是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）設(shè)正數(shù)x，y滿足x+log3y＝m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞）
二、多選題
（多選）9．（5分）對于函數(shù)f（x）＝lg（+1）下列說法正確的有（　　）
A．f（x+2）是偶函數(shù)
B．f（x+2）是奇函數(shù)
C．f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)
D．f（x）沒有最小值
（多選）10．（5分）已知a＝xlgx，b＝y(tǒng)lgy，c＝xlgy，d＝y(tǒng)lgx，且x≠1，y≠1，則（　　）
A． x，y∈（0，+∞），使得a＜b＜c＜d
B． x，y∈（0，+∞），都有c＝d
C． x，y∈（0，+∞），且x≠y，使得a＝b＝c＝d
D．a(chǎn)，b，c，d中至少有兩個大于1
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+1），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，a≠1），則（　　）
A．函數(shù)f（x）+g（x）的定義域為（﹣1，1）
B．函數(shù)f（x）+g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
C．函數(shù)f（x）+g（x）在定義域上有最小值0
D．函數(shù)f（x）﹣g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)
三、填空題
12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（）ax，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點（﹣1，2）．則a＝　 　 ，若g（x）＝4﹣x﹣2，且g（x）＝f（x），則x＝　 　 ．
13．（5分）已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是 　 　 ．
14．若xe2x﹣2＝，﹣lny＝1，則xy＝　 　 ．
15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x+1，若f（a）＜3，則實數(shù)a的取值范圍為 　 　 ．
16．（5分）已知p：x＝1，q：x2﹣3x+2＝0，則p是q的 　 　 條件（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選出適當?shù)囊环N填空）
17．（5分）函數(shù)y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象上，其中mn＞0，則的最小值為 　 　 ．
18．已知在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是 　 　 ．
19．（5分）已知，若對 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則實數(shù)m的取值范圍是 　 　 ．
20．（5分）2019年3月10日，山間一道赤焰拔地而起，巨大的轟鳴聲響徹大涼山，長征三號乙運載火箭托舉“中星6C”衛(wèi)星成功發(fā)射升空．這一刻，中國長征系列運載火箭的發(fā)射次數(shù)刷新為“300”．長征系列運載火箭實現(xiàn)第一個“百發(fā)”用了37年，第二個“百發(fā)”用了不到8年，第三個“百發(fā)”用時僅4年多．已知在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的質(zhì)量M（千克）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）的函數(shù)關(guān)系式是．當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的 　 　 倍時，火箭的最大速度可達12000米/秒．
21．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，g（x）＝loga（x﹣1）（a＞1）．
①f（2019）的值為 　 　 ；
②若函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 　 　 ．
第6章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．（5分）函數(shù)的定義域是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，1] C．（0，1） D．（0，1]
【答案】B
【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0，根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0聯(lián)立不等式組得答案．
【解答】解：＝．
由，解得：﹣1＜x≤1．
∴函數(shù)的定義域是（﹣1，1]．
故選：B．
【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)的計算題．
2．（5分）已知正實數(shù)a，b，c滿足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【分析】根據(jù)條件可得出，從而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正數(shù)，這樣即可得出a，b，c的大小關(guān)系．
【解答】解：∵loga2＝2，log3b＝，c6＝7，
∴
∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正數(shù)，
∴c＜a＜b
故選：D．
【點評】考查對數(shù)的定義，對數(shù)與指數(shù)的互化，以及指數(shù)的運算，冪函數(shù)的單調(diào)性．
3．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（m﹣2）x2+（m2﹣4）x+m是偶函數(shù)，g（x）＝﹣x2﹣mx在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m＝（　　）
A．﹣2 B．±2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，得m2﹣4＝0．解得m＝±2，再檢驗單調(diào)性，即可得出答案．
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝（m﹣2）x2+（m2﹣4）x+m是偶函數(shù)，
得m2﹣4＝0．解得m＝±2，
又當m＝2時，g（x）＝﹣x2﹣2x，
該函數(shù)在（﹣∞，0）內(nèi)不單調(diào)遞增，
故m≠2，
當m＝﹣2時，g（x）＝﹣x2+2x，該函數(shù)在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增．
故選：A．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題．
4．（5分）函數(shù)f（x）＝ax﹣1+logax（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值與最小值之和是a，則a的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】先對a＞1以及0＜a＜1分別求出其最大值和最小值，發(fā)現(xiàn)最大值與最小值之和都是f（1）+f（2）；再結(jié)合最大值與最小值之和為a，即可求a的值．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝ax﹣1+logax（a＞0且a≠1），
所以函數(shù)f（x）在a＞1時遞增，最大值為f（2）＝a2﹣1+；最小值為f（1）＝a1﹣1+，
函數(shù)f（x）在0＜a＜1時遞減，最大值為f（1）＝a1﹣1+，最小值為f（2）＝a2﹣1+；
故最大值和最小值的和為：f（1）+f（2）＝a++1+＝a．
∴l(xiāng)oga2＝﹣1 a＝．
故選：A．
【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的值域問題．解決對數(shù)函數(shù)的題目時，一定要討論其底數(shù)和1的大小關(guān)系，避免出錯．
5．（5分）函數(shù)f（x）＝x2﹣bx+c滿足f（1+x）＝f（1﹣x）且f（0）＝3，則f（bx）和f（cx）的大小關(guān)系是（　　）
A．f（bx）≤f（cx）
B．f（bx）≥f（cx）
C．f（bx）＞f（cx）
D．大小關(guān)系隨x的不同而不同
【答案】A
【分析】由f（1+x）＝f（1﹣x）推出函數(shù)關(guān)于直線x＝1對稱，求出b，f（0）＝3推出c的值，x≥0，x＜0確定f（bx）和f（cx）的大小．
【解答】解：∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴f（x）圖象的對稱軸為直線x＝1，由此得b＝2．
又f（0）＝3，
∴c＝3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
若x≥0，則3x≥2x≥1，
∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，則3x＜2x＜1，
∴f（3x）＞f（2x）．
∴f（3x）≥f（2x）．
故選：A．
【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查學生分析問題解決問題的能力，基本知識掌握的熟練程度，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
6．（5分）若函數(shù)f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，則g（x）＝loga（x+k）的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)f（x）＝kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k＝1，a＞1，由此不難判斷函數(shù)的圖象．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函數(shù)
則f（﹣x）+f（x）＝0
即（k﹣1）ax﹣a﹣x＝0
則k＝1
又∵函數(shù)f（x）＝kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)
則a＞1
則g（x）＝loga（x+k）＝loga（x+1）
函數(shù)圖象必過原點，且為增函數(shù)
故選：C．
【點評】若函數(shù)在其定義域為奇函數(shù)，則f（﹣x）+f（x）＝0，若函數(shù)在其定義域為偶函數(shù)，則f（﹣x）﹣f（x）＝0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在公共單調(diào)區(qū)間上：增函數(shù)﹣減函數(shù)＝增函數(shù)也是解決本題的關(guān)鍵．
7．（5分）如果函數(shù)y＝f（x）在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，使得f（kx0）＝f（k）f（x0）（k為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)y＝f（x）為“對k的可拆分函數(shù)”．若f（x）＝為“對2的可拆分函數(shù)”，則非零實數(shù)a的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)定義，設(shè)存在實數(shù)m，有f（2m）＝f（2）f（m），得，令t＝2m，構(gòu)造函數(shù)g（t），求出函數(shù)的最大值，得出結(jié)論．
【解答】解：f（x）＝為“對2的可拆分函數(shù)”，
則存在實數(shù)m，f（2m）＝f（2）f（m），得，令t＝2m，
故a＝＝，令g（t）＝，t＞0，
g'（t）＝，
當t∈（0，）時，g（t）遞增；當t∈（，+∞）時，g（t）遞減；
（由g（t）＝，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)也可得到，g（t）的單調(diào)區(qū)間）
故g（t＝，
故選：D．
【點評】考查函數(shù)新定義，構(gòu)造函數(shù)法求函數(shù)的最值問題，中檔題．
8．（5分）設(shè)正數(shù)x，y滿足x+log3y＝m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞）
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)可得＝3m，令＝t，則不等式可化簡為2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，令f（t）＝2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，則問題轉(zhuǎn)化為fmax（t）≥0，討論對稱軸與開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出fmax（t）即可得出a的范圍．
【解答】解：∵x+log3y＝m，即log3+log3y＝log3＝m，
∴＝3m，∵m∈[﹣1，1]，∴∈[，3]．
∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2，
∴3a﹣18+（2a+3）≥1﹣2+，
令＝t，則2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，
設(shè)f（t）＝2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，
∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，
∴f（t）在[，3]上的最大值fmax（x）≥0，
（1）當a＝﹣1時，f（t）＝﹣16t﹣4，
∴fmax（t）＝f（）＝﹣﹣4＜0，不符合題意；
（2）若a＜﹣1，則f（t）開口向下，對稱軸為t＝＜0，
∴f（t）在[，3]上單調(diào)遞減，
∴fmax（t）＝f（）＝﹣6＜0，不符合題意；
（3）若a＞﹣1，則f（t）開口向上，對稱軸為t＝＞0，
（i）若0＜≤，即a≥11時，f（t）在[，3]上單調(diào)遞增，
∴fmax（t）＝f（3）＝21a﹣31＞0，符合題意；
（ii）若，即﹣1＜a時，f（t）在[，3]上單調(diào)遞減，
∴fmax（t）＝f（）＝﹣6≤﹣6＜0，不符合題意；
（iii）若＜＜3，即＜a＜11時，f（t）在[，3]上先減后增，
∴fmax（t）＝f（）或fmax（t）＝f（3），
∴f（）＝﹣6≥0或f（3）＝21a﹣31＞0，
解得a≥或a≥，又＜a＜11，
∴≤a＜11，
綜上，a的取值范圍是[，+∞）．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)最值的計算及函數(shù)存在性問題，屬于中檔題．
二、多選題
（多選）9．（5分）對于函數(shù)f（x）＝lg（+1）下列說法正確的有（　　）
A．f（x+2）是偶函數(shù)
B．f（x+2）是奇函數(shù)
C．f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)
D．f（x）沒有最小值
【答案】AD
【分析】利用函數(shù)的解析式求解f（x+2）判斷函數(shù)的奇偶性；判斷AB．
利用函數(shù)的單調(diào)性判斷C的正誤；利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的最值判斷D即可．
【解答】解：∵f（x）＝lg（+1），
∴f（x+2）＝lg（+1）是偶函數(shù)，
故A正確；B不正確；
∵f（x）＝lg（+1），
∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)，
故C不正確；
所以函數(shù)f（x）＝lg（+1）沒有最大值，也沒有最小值，所以D正確；
故選：AD．
【點評】本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．
（多選）10．（5分）已知a＝xlgx，b＝y(tǒng)lgy，c＝xlgy，d＝y(tǒng)lgx，且x≠1，y≠1，則（　　）
A． x，y∈（0，+∞），使得a＜b＜c＜d
B． x，y∈（0，+∞），都有c＝d
C． x，y∈（0，+∞），且x≠y，使得a＝b＝c＝d
D．a(chǎn)，b，c，d中至少有兩個大于1
【答案】BD
【分析】結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：由題意得，lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgx lgy，lgd＝lgx lgy，
x，y∈（0，+∞），都有c＝d，B正確．A，C錯誤；
假設(shè)a，b，c，d中最多一個大于1，若x＞10，y＞10，則a＞a，b＞1，c＞1，d＞1，假設(shè)不成立，故D正確．
故選：BD．
【點評】本題主要考查了對數(shù)值大小的比較，還考查了對數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+1），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，a≠1），則（　　）
A．函數(shù)f（x）+g（x）的定義域為（﹣1，1）
B．函數(shù)f（x）+g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
C．函數(shù)f（x）+g（x）在定義域上有最小值0
D．函數(shù)f（x）﹣g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)
【答案】AB
【分析】對每個選項利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個分析，即可得到答案．
【解答】解：f（x）+g（x）＝loga（x+1）+loga（1﹣x）
所以，解得﹣1＜x＜1，
函數(shù)f（x）+g（x）的定義域為（﹣1，1），故A正確，
f（﹣x）+g（﹣x）＝loga（﹣x+1）+loga（1+x），
所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
所以函數(shù)f（x）+g（x） 是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故B正確，
f（x）+g（x）＝loga（x+1）+loga（1﹣x）＝loga（x+1）（1﹣x）＝loga（﹣x2+1）
令t＝﹣x2+1，則y＝logat，
在x∈（﹣1，0）上，t＝﹣x2+1單調(diào)遞增，
在x∈（0，1）上，t＝﹣x2+1單調(diào)遞減，
當a＞1時，y＝logat單調(diào)遞增，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）單調(diào)遞增，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）+g（x）沒有最小值，
當0＜a＜1時，y＝logat單調(diào)遞減，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）單調(diào)遞減，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）+g（x）有最小值為f（0）+g（0）＝0，故C錯．
f（x）﹣g（x）＝loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＝loga＝loga（﹣1+）
令t＝﹣1+，y＝logat
在x∈（﹣1，1）上，t＝﹣1+單調(diào)遞增，
當a＞1時，f（x）+g（x）在（﹣1，1）單調(diào)遞增，
當0＜a＜1時，f（x）+g（x）在（﹣1，1）單調(diào)遞減，故D錯．
故選：AB．
【點評】本題考查函數(shù)圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
三、填空題
12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（）ax，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點（﹣1，2）．則a＝　1　 ，若g（x）＝4﹣x﹣2，且g（x）＝f（x），則x＝　﹣1　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用指數(shù)經(jīng)過的點，求出a，利用函數(shù)關(guān)系式，列出方程求解方程的解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝（）ax，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點（﹣1，2）．
可得2＝，解得a＝1．
函數(shù)f（x）＝（）x，
g（x）＝4﹣x﹣2，且g（x）＝f（x），
可得：2﹣x＝4﹣x﹣2，
即（2﹣x）2﹣2﹣x﹣2＝0，可得2﹣x＝﹣1（舍去）或2﹣x＝2，
解得x＝﹣1．
故答案為：1；﹣1．
【點評】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)經(jīng)過的特殊點以及函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查計算能力．
13．（5分）已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是 　[，）　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是減函數(shù)，
∴函數(shù)在（﹣∞，1）和[1，+∞）上都是減函數(shù)，且滿足條件
，
得，得≤a＜，
即實數(shù)a的取值范圍是[，）．
故答案為：[，）．
【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
14．若xe2x﹣2＝，﹣lny＝1，則xy＝　　 ．
【答案】．
【分析】由﹣lny＝1，得lney elney＝e2，再利用導數(shù)得到函數(shù)f（x）＝xex（x＞0）為單調(diào)遞增函數(shù)，從而得到2x＝lney，再求出xy的值．
【解答】解：由﹣lny＝1，得lny+1＝ lney＝ eylney＝e2 lney elney＝e2，
由xe2x﹣2＝，得2xe2x＝e2（x＞0），
設(shè)f（x）＝xex，x＞0，則f'（x）＝（1+x）ex＞0，
∴函數(shù)f（x）＝xex（x＞0）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴2x＝lney，∴e2x＝ey，又2xe2x＝e2，
∴e2x＝，∴＝ey，∴xy＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．
15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x+1，若f（a）＜3，則實數(shù)a的取值范圍為 　（﹣1，1）　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)在[0，+∞）上的解析式可得若f（x）＝3，即2x+1＝3，解可得x＝1，進而分析可得函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可將不等式f（a）＜3轉(zhuǎn)化為|a|＜1，解可得a的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，當x≥0時，f（x）＝2x+1，
若f（x）＝3，即2x+1＝3，解可得x＝1，
故不等式f（a）＜3可以轉(zhuǎn)化為f（a）＜f（1），
又由函數(shù)為偶函數(shù)，則f（a）＜f（1）可以轉(zhuǎn)化為f（|a|）＜f（1），
又由當x≥0時，f（x）＝2x+1，
則f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
即有|a|＜1，
解可得﹣1＜a＜1，即實數(shù)a的取值范圍為（﹣1，1）
故答案為：（﹣1，1）．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，解題時注意函數(shù)奇偶性與圖象的對稱性之間的關(guān)系．
16．（5分）已知p：x＝1，q：x2﹣3x+2＝0，則p是q的 　充分不必要　 條件（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選出適當?shù)囊环N填空）
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】q：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，2．即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：∵q：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，2．
∴p是q的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要
【點評】本題考查了一元二次方程的解法、充分不必要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．（5分）函數(shù)y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象上，其中mn＞0，則的最小值為 　8　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由題意可求得定點A的坐標，代入y＝mx+n，可得到m，n之間的關(guān)系，利用基本不等式即可得答案．
【解答】解：∵函數(shù)y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，
∴當x＝2時，y＝1，
∴A（2，1）．
又點A在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象上，其中mn＞0，
∴2m+n＝1，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0．
∴＝（） （2m+n）＝4++≥8（當且僅當n＝2m＝時取“＝”）．
故答案為：8．
【點評】本題考查基本不等式，根據(jù)題意得到m，n之間的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
18．已知在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是 　[，）　 ．
【答案】[，）．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義可得，解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，已知在R上單調(diào)遞減，
則有，解可得≤a＜即a的取值范圍為[，）．
故答案為：[，）．
【點評】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，注意分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．
19．（5分）已知，若對 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則實數(shù)m的取值范圍是 　[，+∞）　 ．
【答案】[，+∞）．
【分析】利用單調(diào)性可得到f（x）min＝f（0），g（x）max＝g（1），結(jié)合題意可得f（x）min≥g（x）max，即可求解．
【解答】解：當x∈[0，3]時，y＝x2+1單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）＝ln（x2+1）此時也單調(diào)遞增，
所以f（x）min＝f（0）＝0；
當x∈[1，2]時，單調(diào)遞減，所以．
因為對 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），所以f（x）min≥g（x）max，
即，解得，即m的取值范圍是[，+∞）．
故答案為：[，+∞）．
【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵，屬于中檔題．
20．（5分）2019年3月10日，山間一道赤焰拔地而起，巨大的轟鳴聲響徹大涼山，長征三號乙運載火箭托舉“中星6C”衛(wèi)星成功發(fā)射升空．這一刻，中國長征系列運載火箭的發(fā)射次數(shù)刷新為“300”．長征系列運載火箭實現(xiàn)第一個“百發(fā)”用了37年，第二個“百發(fā)”用了不到8年，第三個“百發(fā)”用時僅4年多．已知在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的質(zhì)量M（千克）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）的函數(shù)關(guān)系式是．當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的 　e6﹣1　 倍時，火箭的最大速度可達12000米/秒．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】當V＝12000時，2000 ln（1+）＝12000，由此求出＝e6﹣1．從而當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的e6﹣1倍時，火箭的最大速度可達12000米/秒．
【解答】解：在不考慮空氣阻力的情況下，
火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的質(zhì)量M（千克）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）的函數(shù)關(guān)系式是．
當V＝12000時，2000 ln（1+）＝12000，
∴l(xiāng)n（1+）＝6，
解得＝e6﹣1．
∴當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的e6﹣1倍時，火箭的最大速度可達12000米/秒．
故答案為：e6﹣1．
【點評】本題考查火箭的最大速度可達12000米/秒時，燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍數(shù)的求法，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和應(yīng)用意識，是中檔題．
21．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，g（x）＝loga（x﹣1）（a＞1）．
①f（2019）的值為 　1　 ；
②若函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 　　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】①根據(jù)分段函數(shù)f（x）的解析式，求得f（2019）的值．②求得f（x）的部分解析式，由此畫出f（x）和g（x）兩個函數(shù)圖象，根據(jù)兩個函數(shù)圖象有3個交點，確定a的取值范圍．
【解答】解：①；
②當0＜x≤2時，﹣2＜x﹣2≤0，所以；
當2＜x≤4時，0＜x﹣2≤2，所以；
當4＜x≤6時，2＜x﹣2≤4，所以；
當6＜x≤8是，4＜x≤6，所以；
畫出f（x）和g（x）兩個函數(shù)圖象如下圖所示，由loga（4﹣1）＝3，得，由loga（6﹣1）＝3，得，
由圖可知，當兩個函數(shù)的圖象有3個交點時，也即函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）恰有3個零點時，實數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：1，．
【點評】本題主要考查分段函數(shù)求函數(shù)值，考查分段函數(shù)解析式的求法，考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的求解策略，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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