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2025-2026學年山西省呂梁市文水縣九年級（上）開學數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列人工智能APP圖標中，是中心對稱圖形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.用反證法證明命題“在△ABC中，若AB=AC，則∠B＜90°”，首先應假設（　　）
A. ∠B≥90° B. ∠B＞90° C. ∠B＜90° D. AB≠AC
3.如果a＞b,則下列不等式一定成立的是（　　）
A. a-b＜0 B. C. -2a＜-2b D. -1+3a＜-1+3b
4.將方程2x2-4x-3=0配方變形后所得方程正確的是（　　）
A. （2x-1）2=-1 B. （2x-1）2=4 C. 2（x-1）2=1 D. 2（x-1）2=5
5.如圖，在 ABCD中，AC=BD.再添加一個條件，仍不能判定四邊形ABCD是正方形的是（　　）
A. AB=BC
B. ∠ABC=90°
C. AC⊥BD
D. ∠ABD=∠CBD
6.關于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一個根是0，則a的值為（　　）
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D.
7.如圖，在 ABCD中，AC，BD相交于點O，BD=2CD，F為AD的中點，E為OC的中點.若BC=18，則EF的長為（　　）
A. 9
B. 9.5
C. 10
D. 6
8.某縣大力治理生態環境，發展生態旅游，吸引了全國各地的游客.2023年暑假，該縣接待游客35萬人次，2025年增長至86萬人次.設這兩年暑假，該縣接待旅游人次的年平均增長率為x,則可列方程（　　）
A. 35（1+2x）=86 B. 35（1+x2）=86
C. 35（1+x）2=86 D. 35（1+x）+35（1+x）2=86
9.已知關于x的分式方程的解是非負數，則m的取值范圍是（　　）
A. m≤5 B. m≤5且m≠3 C. m≥5 D. m≥5且m≠3
10.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，.將OA繞點O順時針旋轉45°得到OA1，過點A1作A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉45°得到OA3，過點A3作A3A4⊥OA3交y軸于點A4；…；按此規律循環下去，則點A2025的坐標是（　　）
A. （-2505，2505）
B. （0，4253）
C. （2506，2506）
D. （2253，2253）
二、填空題：本題共8小題，共34分。
11.因式分解：3ab2+6a2b+3a3=______.
12.正十五邊形其中一個內角的度數為______.
13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△CEF，當點E落在邊AB上時，連接BF，取BF的中點D，連接ED，則ED的長為 .
14.如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數y=kx（k為常數，且k≠0）和一次函數y=mx+n（m、n均為常數，且m≠0）的圖象交于點（2，1），則關于x的一元一次不等式（k-m）x＜n的解集是______.
15.如圖，已知PA=PB=PC=2，∠BPC=120°，PA∥BC，以AB，PB為邊作平行四邊形ABPD，連接CD，則CD的長為 .
16.如圖，在矩形ABCD中，AD=9，AB=6，點P為AD邊上一動點，連接CP，以CP為一邊在CP左側作等邊△CPE，連接BE，當BE最短時，DP的長為 .
17.如果關于x的方程的兩個實數根分別為x1，x2，那么的值為 .
18.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別在邊AC和BC上，AC+CD=5，BC+CE=8，則AE+BD的最小值是 .
三、解答題：本題共7小題，共46分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題4分)
解方程及不等式組：
（1）解方程：；
（2）解方程：2x2+4x-1=0；
（3）解不等式組：.
20.(本小題6分)
已知△ABC，求作菱形ADEF使頂點D、E、F分別在AB、BC、AC上．
21.(本小題6分)
先化簡，再求值：，再從-2，-1，0，1，2中取一個數代入求值其中．
22.(本小題6分)
如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連結AE，交BC于點F，∠AFC=2∠D，連結AC、BE.求證：四邊形ABEC是矩形.
23.(本小題6分)
某影院放映《南京照相館》，周末場觀影人數是工作日場人數的倍.周末場人均票價比工作日場人均票價少10元，周末場和工作日場的票房收入均為6000元.求工作日場的觀影人數是多少人？
24.(本小題6分)
如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（4，0）.
（1）填空：b=______；
（2）點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外），試探索在坐標平面內是否存在另一個點N，使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點N的坐標.
25.(本小題12分)
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD相交于點O，E是邊AB上點（點E不與A、B重合），將射線OE繞點O逆時針旋轉90°，所得射線與BC交于點F，則四邊形OEBF的面積為______.
【類比遷移】
（2）如圖2，矩形ABCD的對角線的交點O是矩形A1B1C1O的一個頂點，將矩形A1B1C1O繞著點O旋轉，A1O與邊AB相交于點M.C1O與邊CB相交于點N，連接MN，猜想AM，CN，MN之間的數量關系.并進行證明.
【拓展應用】
（3）如圖3，在直角△ACB中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,∠PDQ的頂點D在邊AB的中點處，∠PDQ=90°，它的兩條邊DP和DQ分別與直線AC，BC相交于點P，Q，∠PDQ可繞著點D旋轉，當AP=4cm時，則PQ的長度為______cm.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】3a（b+a）2
12.【答案】156°
13.【答案】
14.【答案】x＜2
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】無解；
，；
x＞-2
20.【答案】解：如圖，四邊形ADEF為所作．

21.【答案】解：原式=
=
=
=-a-1，
由題意：a+1≠0、a+2≠0、a-2≠0，
故a取1，當a=1時，
原式=-a-1=-1-1=-2．
22.【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形．
23.【答案】工作日場的觀影人數是150人．
24.【答案】3；
在坐標平面內存在另一個點N，使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形；N的坐標為或或
25.【答案】4cm2；
AM2+CN2=MN2；
證明：如圖2，延長MO交AD于G，連接MG，AC，
∵矩形ABCD的對角線的交點O是矩形A1B1C1O的一個頂點，
∴OA=OC，AD∥BC，∠MON=∠BAD=90°，
∴∠OAG=∠OCN，
∵∠AOG=∠CON，
∴△AOG≌△CON（ASA），
∴CN=AG，ON=OG，
∵∠MON=∠MOG=90°，
∴MN=MG，
∵AM2+AG2=MG2，
∴AM2+CN2=MN2；
或
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