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2024-2025學年湖南省衡陽市衡東縣（縣直）九年級（上）期末數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列語句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A. 一歲一枯榮 B. 黃河入海流 C. 明月松間照 D. 白發三千丈
2.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列計算中正確的是（　　）
A. B. C. D.
4.若關于x的一元二次方程（a-3）x2-x+a2-9=0的一個根是x=0，則a的值為（　　）
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D.
5.將函數y=-x2的圖象先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，所得拋物線是（　　）
A. y=-（x-1）2+3 B. y=-（x+1）2+3 C. y=-（x+1）2-3 D. y=-（x-1）2-3
6.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均是1，△ABC的頂點均在小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為（　　）
A.
B.
C.
D.
7.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年2月份售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x,則所列方程正確的是（　　）
A. 23（1-x）2=18.63 B. 18.63（1+x）2=23
C. 18.63（1-x）2=23 D. 23（1-2x）=18.63
8.《墨經》中有：“景到，在午有端，與景長，說在端”，大約在兩千四百年前，墨子和他的學生做的世界上第1個小孔成像的實驗.如圖所示的實驗中，若物距為10cm,像距為18cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm,則蠟燭火焰的高度是（　　）cm.
A. B. 4 C. D. 5
9.如圖，在中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點D，BD=.若E，F分別為AB，BC的中點，則EF的長為（　　）
A.
B.
C. 1
D.
10.如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點A的坐標是（1，3），與x軸的一個交點B的坐標為（4，0），直線y2=mx+n（m≠0）經過A，B兩點.下列結論錯誤的是（　　）
A. abc＜0
B. 方程ax2+bx+c-3=0有兩個相等的實數根
C. 當1＜x＜4時，y1＜y2
D. 拋物線與x軸的另一個交點是（-2，0）
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.已知a：b=2：3，那么的值是______.
12.已知x,y為實數，若滿足，則x+y的值為______.
13.二次函數y=-x2+bx+1的圖象關于直線對稱，則b= .
14.已知a、b是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，則a2b+ab2的值是______.
15.在銳角三角形ABC中，已知∠A，∠B滿足（sinA-）2+|-tanB|=0，則∠C= ______．
16.已知二次函數y=（x-1）2+m,當點（2，y1）、（4，y2）在函數圖象上時，比較y1，y2的大小關系是 .
17.如圖，△ABC和△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，若，△ABC的面積為6，則△A1B1C1的面積是 .
18.如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點，A（0，0），在△ABC內依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在
BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…則第n個等邊三角形的邊長等于______．
三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題6分)
計算：.
20.(本小題6分)
先化簡，再求值：（a-b）2+（a+b）（a-b）-2a（a-2b），其中，.
21.(本小題8分)
已知關于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0.
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
（2）若該方程的兩個實數根x1，x2滿足x1x2-x1-x2=13，求m的值.
22.(本小題8分)
甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字系統，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的根脈，小明在了解了甲骨文后，制作了如圖所示的四張卡片（這四張卡片分別用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，這四張卡片除正面內容不同外，其余均相同），現將四張卡片背面朝上，洗勻放好.

（1）小明從中隨機抽取一張卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率為______.
（2）小明從中隨機抽取一張卡片不放回，小亮再從中隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法計算兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率.
23.(本小題9分)
如圖1是我們衡陽市的地標建筑——“首峰之眼”摩天輪.圖2是它的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，MN是摩天輪垂直地面的直徑，小穎想利用數學知識實地測量該摩天輪的高度，她在A處測得摩天輪頂端M的仰角為36°，接著沿水平方向向左行走90米到達點B，再沿著坡度i=0.75的斜坡走了20米到達點C，最后再沿水平方向向左行走31米到達摩天輪最低點N處（A，B，C，M，N均在同一平面內）.
（1）求點C到AB的距離；
（2）求摩天輪MN的高度.（結果精確到1米）
（參考數據：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
24.(本小題9分)
某電子商投產一種新型電子產品，每件制造成本為20元，試銷過程發現，每月銷量y（萬件）與銷售單價x（元）之間關系可以近似地看作一次函數y=-2x+100.（利潤=售價-制造成本）
（1）寫出每月的利潤w（萬元）與銷售單價x（元）之間函數解析式；
（2）當銷售單價為多少元時，廠商每月能夠獲得400萬元的利潤？
（3）當銷售單價為多少元時，廠商每月能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少？
25.(本小題10分)
已知在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=-x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=-x2+bx+c經過B、C兩點，與x軸的另一交點為點A.
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點D為直線BC上方拋物線上一動點，連接AC、CD，設直線BC交線段AD于點E，△CDE的面積為S1，△ACE的面積為S2.當時，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，且點D的橫坐標小于2，是否在坐標軸上存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形與△BCD相似，如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.
26.(本小題10分)
如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm,AC=8cm,D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發沿DE方向以1cm/s的速度運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，交DE于G，當點Q與點C重合時，點P停止運動.設點P運動時間為t s.
（1）點D到BC的距離DH的長是______；
（2）令QR=y,求y關于t的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】1
14.【答案】-6
15.【答案】75°
16.【答案】y1＜y2
17.【答案】24
18.【答案】
19.【答案】3．
20.【答案】2ab，4．
21.【答案】證明：（1）∵Δ=[-（m+2）]2-4×2m
=m2+4m+4-8m
=m2-4m+4
=（m-2）2，
∴Δ≥0，
∴不論m為何值，該方程總有兩個實數根；
解：（2）∵x1，x2是一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0的兩根，
∴x1+x2=m+2，x1x2=2m,
又∵x1x2-x1-x2=13，
∴2m-（m+2）=13，
解得m=15．
22.【答案】解：（1）；
（2）畫樹狀圖如解圖

由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的結果有2種，
則兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率為=．
23.【答案】點C到AB的距離是12米；
摩天輪MN的高度約為88米
24.【答案】w=-2x2+140x-2000；
銷售單價應定為30元或40元；
當銷售單價為35元時，廠商每月能夠獲得最大利潤，最大利潤為450萬元
25.【答案】y=-x2+2x+3；
（1，4）或（2，3）；
存在，（0，0）或（9，0）或
26.【答案】（1）；
（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴=，
∵BH==，
∴BQ=+t,
∴=，
即y關于x的函數關系式為：y=-t+；
（3）存在，分三種情況：
①如圖2當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=，
∴=，
∴=，
∴t=；
②如圖3，當PQ=RQ時，-t+=，
∴t=；
③如圖4，作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴點R為EC的中點，
∴CR=CE=AC=2，
∵tanC==，
∴=，
∴t=5.7，
綜上所述，當t為或或5.7時，△PQR為等腰三角形．
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