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2024-2025學年湖南省永州市冷水灘區八年級（上）期末數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.25的算術平方根是（　　）
A. ±5 B. -5 C. 5 D.
2.碳納米管的硬度與金剛石相當，卻擁有良好的柔韌性，可以拉伸，我國某物理所研究組已研制出直徑為0.000000005米的碳納米管．其中數據0.000000005科學記數法表示為（　　）
A. 0.5×10-8 B. 5×10-8 C. 5×10-9 D. 50×10-10
3.式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　　）
A. x＞0 B. x≥-1 C. x≥1 D. x≤1
4.下列各數是無理數的是（　　）
A. 3.1415926 B. C. D.
5.已知a、b為任意實數，a＞b，則下列變形一定正確的是（　　）
A. a-1＞b-1 B. -a＞-b C. |a|＞|b| D. -＞-
6.下列計算正確的是（　　）
A. B. x-2 x3=x-6
C. a6÷a3=a2 D. （-2x-1）-2=4x2
7.已知關于x的不等式2x-a≥-3的解集如圖所示，則a的值等于（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
8.下列說法正確的是（　　）
A. 任意一個非負數都有兩個平方根 B. 任意兩個正方形一定是全等圖形
C. 三角形的內角中最多有一個鈍角 D. 兩個無理數的和還是無理數
9.將一副三角板按如圖所示的方式擺放，則∠AOB的大小為（　　）
A. 175°
B. 165°
C. 155°
D. 145°
10.如圖，在△ABC中，AB=AC，用尺規作圖的方法作出射線AD和直線EF，設AD交EF于點O，連結BE、OC．下列結論中，不一定成立的是（　　）
A. AE⊥BE
B. EF平分∠AEB
C. OA=OC
D. AB=BE+EC
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.若分式有意義，則x的取值范圍是 ．
12.命題“對頂角相等”的逆命題是______命題（填“真”或“假”）．
13.不等式組的解集是______．
14.比較大小： 4（填“＞”、“＜”或“=”）.
15.已知一個正數的兩個平方根分別是3x+2和5x+6，則這個正數是______.
16.關于x的方程有增根，則增根是 .
17.若最簡二次根式與可以合并成一個二次根式，則a= .
18.小強為了測量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P.測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°，測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等等于10米，量得旗桿與樓之間距離為DB=36米，小強計算出了樓高，樓高AB是 米.
三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題6分)
計算.
（1）；
（2）.
20.(本小題6分)
（1）解方程：；
（2）解不等式：2x+3＜1.
21.(本小題6分)
先化簡，再求值：，其中.
22.(本小題8分)
如圖，點B、C、E、F共線，AB∥CD，∠A=∠D，BF=CE.求證：△ABE≌△DCF.
23.(本小題10分)
2024年12月4日，中國春節被列入世界非物質文化遺產，春節貼春聯是中華民族的傳統習俗.某商店為了滿足人們的需求，計劃在春節前購進甲、乙兩種春聯進行銷售.經了解，每副乙種春聯的進價比每副甲種春聯的進價多2元，用900元購進甲種春聯的數量與用1200元購進乙種春聯的數量相同.
（1）甲、乙兩種春聯一副的進價分別是多少元？
（2）該商家計劃購進這兩種春聯共500副（兩種都有），其中甲、乙兩種春聯的售價分別為10元/副、14元/副，若兩種春聯全部售完時獲得的利潤不低于2700元，問商家最多可以購進多少副甲種春聯？
24.(本小題10分)
“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程.”這是我國古代著名數學家劉徽對《九章算術》中方程一詞給出的注釋.對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：
①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”，②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”.
（1）判斷一元一次方程3-2（1-x）=x與分式方程是否是“相似方程”，并說明理由；
（2）是否存在實數a,使關于x的一元一次方程（2-a）x+2=x與分式方程=1是“相伴方程”？若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由.
25.(本小題10分)
像√（4-2√3），√（√48-√45），這樣的根式叫做復合二次根式.有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：
再如：
請用上述方法探索并解決下列問題：
（1）化簡：；
（2）化簡：；
（2）計算：.
26.(本小題10分)
【問題情境】
在等邊△ABC中，射線AP平分∠CAB，交BC于點O，點E是AP上一動點，∠EBF=60°，BF=BE，連接AF，CF.
【探究發現】
（1）如圖Ⅰ，若點E在線段AO上.
①求證：△ABE≌△CBF；
②直接寫出∠CAF與∠AFC間的數量關系：______；
（2）如圖Ⅱ，若點E在射線OP上，（1）中∠CAF與∠AFC間的數量關系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出新的數量關系，并進行證明；
【拓廣延伸】
（3）如圖Ⅲ，點E，D在射線OP上，AO=OD，AC=CF，連接DB，求∠EBD的度數.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】x≠6
12.【答案】假
13.【答案】-5＜x＜4
14.【答案】＞
15.【答案】1
16.【答案】x=3
17.【答案】6
18.【答案】26
19.【答案】；

20.【答案】x=5；
x＜-1
21.【答案】，．
22.【答案】∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
即BE=CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
23.【答案】每副甲種春聯的進價是6元，每副乙種春聯的進價是8元；
商家最多可以購進150副甲種春聯
24.【答案】解：（1）一元一次方程3-2（1-x）=x與分式方程是“相似方程”；
理由：解一元一次方程得：x=-1，
解分式方程得：x=-1，
∴一元一次方程3-2（1-x）=x與分式方程是“相似方程”；
（2）不存在實數a,使關于x的一元一次方程（2-a）x+2=x與分式方程=1是“相伴方程”．
理由：解（2-a）x+2=x得：x=，
當a=-1時x的整數解為x=-1，
當a=0時x的整數解為x=-2，
當a=2時x的整數解為x=2，
當a=3時x的整數解為x=1，
解分式方程=1得：x=，且≠2，
當a=1時，x的整數解為x=4，
當a=4時，x的整數解為x=1，
當a=-1時，x的整數解為x=-4，
當a=-2時，x的整數解為x=-2，
當a=-4時，x的整數解為x=-1，
綜上所述：不存在實數a,使關于x的一元一次方程（2-a）x+2=x與分式方程=1是“相伴方程”．
25.【答案】；
；

26.【答案】①見解析；
②∠CAF+∠AFC=90°；
成立，理由見解析；
45°．
第1頁，共3頁

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