資源簡介

2024-2025學年山東省臨沂市羅莊區九年級（上）期末數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.未來的生活中，AI將扮演非常重要的角色.下列是世界著名人工智能品牌公司的圖標，其中是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（　?。?br/>A. B.
C. D.
2.如圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.對于任意4個實數 a,b,c,d定義一種新的運算=ad-bc,例如：=4×6-2×1=22，則關于x的方程=0的根的情況為（　?。?br/>A. 只有一個實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 有兩個不相等的實數根 D. 沒有實數根
4.數學課上，李老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中有4個白球、3個紅球、2個黃球和1個黑球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出一個球，某一顏色的球出現的頻率如圖所示，則該種球的顏色最有可能是（　?。?br/>A. 黑球 B. 紅球 C. 黃球 D. 白球
5.如圖，AD∥BE∥CF，若AB=4，BC=8，DE=3，則DF的長是（　?。?br/>A. 1.5
B. 6
C. 9
D. 12
6.如圖，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，sin∠CPN的值為（　?。?br/>A.
B.
C.
D.
7.為檢測某品牌一次性注射器的質量，將注射器里充滿一定量的氣體，當溫度不變時，注射器里的氣體的壓強p（kPa）是氣體體積V（ml）的反比例函數，其圖象如圖所示.則下列說法中錯誤的是（　?。?br/>A. 這一函數的表達式為
B. 當氣體體積為40ml時，氣體的壓強值為150KPa
C. 當溫度不變時，注射器里氣體的壓強隨著氣體體積增大而減小
D. 若注射器內氣體的壓強不能超過400KPa,則其體積V不能超過15ml
8.如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點.已知A（6，0），B（0，3），C（-2，0），則點D的坐標為（　?。?br/>A. （0，-1）
B. （0，-2）
C. （0，-3）
D. （0，-4）
9.如圖，△ABC中，AB=5，∠ACB=90°，∠CPB=∠A，，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，則CQ的最大值是（　?。?br/>A. 5
B.
C.
D.
10.我們定義一種新函數：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4a＞0）的函數叫做“鵲橋”函數．小麗同學畫出了“鵲橋”函數y=|x2-2x-3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結論：其中正確結論的個數是（　?。?br/>①圖象與坐標軸的交點為（-1，0），（3，0）和（0，3）；
②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1；
③當-1≤x≤1或x≥3時，函數值y隨x值的增大而增大；
④當x=-1或x=3時，函數的最小值是0；
⑤當x=1時，函數的最大值是4.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛機場之間都開辟了一條航線，一共開辟了6條航線，這個航空公司共有______個飛機場.
12.在平面直角坐標系內，線段AB的兩個端點的坐標分別為A（-6，3），B（-6，0），以原點O為位似中心，相似比為，將線段AB縮小得到線段A'B'，則點A的對應點A'的坐標為 .
13.若拋物線y=x2-ax+1（a為常數）與x軸有且只有一個公共點，則a的值為______.
14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，∠A=α，易知，小明同學想求tan2α的值，他在AC上取點D，使得BD=AD，則tan2α= ______.
15.如圖，點A在反比例函數的圖象上，AB⊥x軸于點B，點C在x軸上，且CO：OB=3：2.△ABC的面積為10，則k的值為 .
16.從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中有一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，那么我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.如圖，在△ABC中，AC=2，，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，則完美分割線CD的長為 .
三、解答題：本題共7小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題8分)
（1）解方程：x2+6x=7；
（2）計算：.
18.(本小題9分)
3月14日是國際數學日.某校在“國際數學日”當天舉行了豐富多彩的數學活動，其中游戲類活動有：A.數字猜謎；B.數獨；C.魔方；D.24點游戲；E.數字華容道.該校為了解學生對這五類數學游戲的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計（每位學生必選且只能選一類），并根據調查結果，繪制了兩幅不完整的統計圖如圖所示.
根據上述信息，解決下列問題.
（1）本次調查總人數為______，并補全條形統計圖（要求在條形圖上方注明人數）；
（2）若該校有3000名學生，請估計該校參加魔方游戲的學生人數；
（3）該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計劃從這4名學生中隨機抽取2名學生參加市青少年魔方比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
19.(本小題9分)
【研學實踐】為了緬懷先烈，重溫“紅色記憶”，學校組織研學活動.同學們來到華東革命烈士紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用無人機搭載的3D掃描儀采集紀念碑的相關數據.
【數據采集】如圖，點A是紀念碑頂部一點，AB的長表示點A到水平地面的距離.無人機從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升，飛行至距離地面38米的點C處時，測得點A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向繼續飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°，當到達點A正上方的點E處時，測得AE=9米；…
【數據應用】已知圖中各點均在同一豎直平面內，E，A，B三點在同一直線上.請根據上述數據，計算紀念碑頂部點A到地面的距離AB的長（結果精確到1米.參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）
20.(本小題10分)
如圖，在⊙O中，直徑CD⊥弦AB于點E，點P是CD延長線上一點，連接PB，BD，BD平分∠ABP.
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接AP，延長BD交AP于點F，若BD⊥AP，，求圖中陰影部分面積.
21.(本小題12分)
在函數的學習，我們經歷了“函數表達式-畫函數圖象-利用函數圖象研究函數性質-利用圖象和性質解決問題”的學習，我們可以借鑒這種方法探究函數的圖象性質.
（1）根據題意，列表如下：
x … -3 -1 0 … 2 3 5 …
y … 1 2 4 … -4 -2 -1 …
在所給平面直角坐標系中描點并連線，畫出該函數的圖象；
（2）觀察圖象，發現：
①當x ______時，y隨x的增大而______（填“增大”或“減少”）；
②圖象是中心對稱圖形，其對稱中心的坐標為______；
（3）函數的圖象可由函數的圖象平移得到（不必畫圖），想象平移后得到的函數圖象，直接寫出當y≥-2時，x的取值范圍是______.
22.(本小題12分)
若△ABC繞點A逆時針旋轉α后，與△ADE構成位似圖形，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉位似圖形”.
（1）知識理解：如圖①，△ABC與△ADE互為“旋轉位似圖形”.
①若α=25°，∠D=100°，∠C=28°，則∠BAE=______；
②若AD=6，DE=7，AB=4，則BC=______；
（2）知識運用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于點E，∠DAC=∠DBC，求證：△ACD與△ABE互為“旋轉位似圖形”.
23.(本小題12分)
根據以下素材，探索完成任務.
設計跳長繩方案
素材1：某校組織跳長繩比賽，要求如下：
（1）每班需要報名跳繩同學9人，搖繩同學2人；
（2）跳繩同學需站成一路縱隊，原地起跳，如圖1.
素材2：某班進行賽前訓練，發現：
（1）當繩子搖至最高處或最低處時，可近似看作兩條對稱分布的拋物線，已知搖繩同學之間水平距離為6m,繩子最高點為2m,搖繩同學的出手高度均為1m,如圖2；
（2）9名跳繩同學身高如右表. 身高（m）1.701.731.751.80人數2241

素材3：觀察跳繩同學的姿態（如圖3），發現：
（1）跳繩時，人的跳起高度在0.25m及以下較為舒適；
（2）當長繩搖至最高處時，人正屈膝落地，此時頭頂到地面的高度是身高的.
問題解決
任務1：確定長繩形狀.請在圖2中以長繩觸地點為原點建立直角坐標系，并求出長繩搖至最高處時，對應拋物線的解析式.
任務2：確定排列方案.該班班長決定：以長繩的觸地點為中心，將同學按“中間高，兩邊低”的方式對稱排列，同時保持0.45m的間距.請計算當繩子在最高點時，長繩是否會觸碰到最邊側的同學.
任務3：方案優化改進.據最邊側同學反映：由于跳起高度過高，導致不舒適，希望作出調整.班長給出如下方案：搖繩同學在繩即將觸地時，將出手高度降低至0.85m.此時中段長繩將貼地形成一條線段（x線段AB），而剩余的長繩則保持形狀不變，如圖4.
請你通過計算說明，該方案是否可解決同學反映的問題.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】（-2，1）或（2，-1）
13.【答案】±2
14.【答案】
15.【答案】8
16.【答案】
17.【答案】x1=-7，x2=1；
2
18.【答案】200
19.【答案】點A到地面的距離AB的長約為27米．
20.【答案】（1）證明：∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴，
∴∠BOD=2∠ABD，
∵BD平分∠ABP，
∴∠ABP=2∠ABD，
∴∠BOD=∠ABP，
∵∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠OBE+∠ABP=90°，
∴OB⊥BP，
∵OB為半徑，
∴BP是⊙O的切線；
（2）解：∵PC垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵BF⊥AP，BF平分∠ABP，
∴BF垂直平分AP，
∴BA=BP，
∴PA=PB=AB，
∴△PAB是等邊三角形，
∵PC⊥AB，
∴∠APC=∠BPC=30°，
在Rt△DFP中，∠DFP=90°，，則，
∴，
在Rt△BFP中，∠BFP=90°，∠BPF=60°，則∠PBD=30°，
∴∠PBD=∠DPB=30°，即，
在Rt△BFP中，∠BFP=90°，∠PBD=30°，PF=3，則BP=6，
∵∠ODB=∠FDP=60°，
∴在△OBD中，OB=OD，∠ODB=60°，則△OBD是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
21.【答案】解：（1）函數圖象如圖：
（2）①≠1，增大；②（1，0）．
（3） x≥3或x＜1．
22.【答案】①27°；
②；
∵∠ DOA=∠COB，∠DAC=∠DBC，
∴△DOA∽△COB，
∴，
∴，
又∵∠DOC=∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠DCA=∠EBA，
又∵∠ADC=90°，AE⊥BD，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠DAC=∠EAB，
∴△AEB繞點A逆時針旋轉∠DAE的度數后與△ADC構成位似圖形，
∴△ACD和△ABE互為“旋轉位似圖形”
23.【答案】解：任務1：如圖建立平面直角坐標系．
設長繩搖至最高處時，對應拋物線的解析式為：y=ax2+2（a≠0）．
∵經過點（-3，1）．
∴9a+2=1．
解得：a=-．
∴長繩搖至最高處時，對應拋物線的解析式為：y=-x2+2．
任務2．最右側同學所在的橫坐標為：0.45×4=1.8．
當x=1.8時，y=-×（1.8）2+2=1.64．
∵長繩搖至最高處時，人正屈膝落地，此時頭頂到地面的高度是身高的，
∴最右側同學屈膝后的身高為：1.70×=1.615．
∵1.615＜1.64．
∴繩子在最高點時，長繩不會觸碰到最邊側的同學．
任務3．當繩子搖至最低處時，拋物線解析式可表示為y=x2．
∵出手高度降低至0.85m.
∴拋物線下降0.15m.
∴下移后的拋物線解析式為：y=x2-0.15．
當x=1.8時，y=×1.82-0.15=0.21．
∵0.21＜0.25，
∴方案能解決同學反映的問題．
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