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浙教版2025學年九年級上冊數學第1章《二次函數》提高卷B（附答案）
本試卷滿分100分，考試時間90分鐘
選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）
拋物線的頂點坐標為（ ）
B. C. D.
若二次函數（為常數）的圖象經過原點，則的值為（ ）
-1 B. 1 C. -1或1 D. 0
若二次函數，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍為（ ）
B. C. D.
已知二次函數的圖象與坐標軸有且只有兩個交點，則的值為（ ）
-2 B. -1 C. 0 D. 1
將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（ ）
A. B. C. D.
如圖，直線與拋物線交于兩點，則關于的不等式
的解集為（ ）
B. C. D.
將拋物線繞它的頂點旋轉，所得拋物線的解析式為（ ）
B. C. D.
設二次函數（為非零整數）的最大值為A,則A的最小值為（ ）
3 B. 4 C. 5 D. 6
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸只有一個交點M，與平行于軸的直線交于A、B兩點.若AB=6，則點M到直線的距離為（ ）
6 B. 7 C. 8 D. 9
已知函數，其中.若是方程的兩個根，其中.則實數的大小關系為（ ）
B. C. D.
填空題(本大題有6小題，每小題3分，共18 分)
若二次函數的最小值為4，則的值為 .
若拋物線的頂點在第二象限，則的取值范圍為 .
二次函數的圖象關于軸對稱的函數圖象的解析式為 .
已知實數滿足，則的最大值為 .
若關于的方程在內有解，設的最大值為，最小值為，則的值為 .
已知點A（2，4），B（0，1）.點M在拋物線y＝x2上運動，則MA＋MB的最小值為 .
三、計算題（本大題有8小題，共52分）
17. （本題6分）已知二次函數為常數）的圖象經過點A(-2，5），對稱軸為直線.
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）若將點B(1，7）先向上平移2個單位長度，再向左平移個單位長度后，恰好落在的圖象上，求的值.
（本題6分）已知二次函數中的和滿足下表：
求的值；
當時，求的取值范圍.
（本題6分）某商店銷售一種進價為20元/雙的手套，經調查發(fā)現(xiàn)，該種手套每天的銷售量（雙）與銷售單價（元）滿足.設銷售這種手套每天的利潤為（元）.
求與之間的函數關系式；
當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤為多少？
（本題6分）已知拋物線的對稱軸為直線.
求證：；
(2)若關于的方程有一個根為4，求不等式的解集.
（本題6分）已知拋物線.
求證：該拋物線與軸有兩個不同的交點；
若該拋物線與直線的一個交點在軸上，求的值.
（本題6分）如圖，隧道橫截面的下部是矩形，上部是半圓，周長為24.設截面積為，底部寬為.
求關于的函數表達式；
當底部寬為多少時，隧道的截面積最大（結果精確到0.01）
（本題8分）如圖，拋物線交軸于點C，交軸于A、B兩點(點A在點B的左側）.
求A、B、C三點的坐標；
若點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當△BCP的面積最大時，求點P的坐標；
設點M是該拋物線對稱軸上的一個動點，求△ACM周長最小時M點的坐標.
（本題8分）如圖，二次函數的圖象交軸于A(-1，0)、B(3，0)兩點，交軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從點B向點C運動，點P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當點Q到達點C時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒.
求二次函數的解析式；
如圖1，當△BPQ為直角三角形，求t的值；
如圖2，當t<2時，延長QP交軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰好為MN的中點？若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由.
參考答案
選擇題
B 解：∵拋物線的頂點式為，其頂點坐標為
，∴拋物線的頂點坐標為（-5，-6）.故選B.
A 解：把原點（0,0）代入，得.解得.∵，
..故選A。
C 解：∵拋物線開口向上，∴在對稱軸的左側，隨的增大而減小.由題意可得當，即
時，隨的增大而減小.故選C.
B 解：∵二次函數的圖象與坐標軸有且只有兩個交點，又∵二次函數的圖象與軸有且只有1個交點，∴二次函數的圖象與軸有且只有1個交點.∴.解得.故選B .
D 解：將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度后，得到的拋物線的解析式為：，即.故選D.
D 解：不等式的解集，就是直線在拋物線下方部分自變量取值范圍.由圖可得.故選D.
C 解：原拋物線的頂點坐標為（3，-1）.將原拋物線繞頂點旋轉后得到的拋物線的頂點坐標不變，還是（3，-1），但二次項系數要變?yōu)橄喾磾?∴所求拋物線的解析式為：
，即.故選C.
A 解：，當時，取得最大值，∴
A=.∵為非零整數，∴當1時，A取得最小值，最小值為1+2=3.故選A.
D 解：∵拋物線與軸只有一個交點M，∴..
，即.∴頂點M(）.設點M到直線的距離為，∵AB=6，
∴B(）.把點B(）代入得.故選D.
C 解：如圖，∵拋物線與 軸兩個交點的橫坐標為,.將拋物線
向上平移2個單位長度后得到的拋物線為.∵是方程的兩個根，∴拋物線與軸兩個交點的橫坐標為.
.故選C.
二、填空題
11. 解：∵二次函數的最小值為4，∴.解得.
12. 解：∵拋物線的頂點坐標為，又頂點在第二象限，∴
.解得.
解：∵可化為，∴原拋物線的頂點坐標為
.∴原拋物線關于軸對稱的新拋物線的頂點坐標為，而新拋物線的二次項系數為原拋物線二次項系數的相反數∴新拋物線的解析式為：，即所求函數圖象的解析式為.
4 解：，.設，則=
=.當時，取得最大值4.∴的最大值為4.
9 解：∵關于的方程在內有解，∴.
∵對稱軸為直線，∴當時，取得最小值-4；當時，取得最大值：...
5 解：∵點M在拋物線上，∴可設點M.∵B∴MB=
.∴MB的長度就是點M到直線的距離.如圖，過點M作
MG于點G，過點A作AH于點H，則MG=MB.∴MA+MB=MA+MGAGAH=4-(-1)=5.當A、M、G三點共線，且點G與點H重合時，MA+MB取得最小值，最小值為5.
三、解答題
17. 解：（1）由題意可得，解得.∴這個二次函數的表達式為.
(2)將點B（1,7）先向上平移2個單位長度，再向左平移個單位長度后得到點.∵點
在拋物線上，∴.解得.
18. 解：（1）由表格中間三列可知拋物線的對稱軸為直線，∴點（0， 3）與點（4， ）關于對稱軸對稱.∴.
(2)∵拋物線的對稱軸為直線，∴由表可知頂點坐標為（2， -1）.∴可設拋物線解析式為.把點（1，0）代入，得.解得.∴∵，∴當時，取得最小值-1；當時，取得最大值3.
∴的取值范圍為：.
解：(1)由題意可得，即.
(2)由（1）知，即.
當時，取得最大值，最大值為200.
答：當銷售單價定為30元時，每天的利潤最大，最大利潤為200元.
（1）證明：∵拋物線的對稱軸為直線，...
（2）由（1）知，∴.∴方程可化為.設該方程的另一個根為，由韋達定理可得：.解得，.∴不等式可化為.即.解得或.
∴所求不等式的解集為或.
21. (1)證明：，∴該拋物線與軸有兩個不同的交點；
（2）解：設拋物線與直線在軸上的交點為A(0，）.則.
（1）-（2）得.解得.
22. 解：（1）∵周長為24，設矩形的長為則，，
..
(2)當，即底部寬約為時，隧道的面積最大.
23. 解：(1)令，得.解得.∴A(-1，0)、B(3，0).令，得.
∴C(0，3).
(2)如圖1，∵點P在拋物線上，∴可設,
則==.當時，取得最大值.此時，點P的坐標為.
(3)如圖2∵點M在拋物線的對稱軸上，又A、B兩點關于對稱軸對稱，∴MA=MB.∵AC==
，BC=∴△ACM周長=AC+CM+MA=+CM+MB
+BC=.當B、C、M三點共線時，△ACM周長取得最小值.∵B(3，0)、C(0，3)，∴直線BC的解析式為.令，得.∴M(1，2）.
∴當△ACM周長最小時，點M的坐標為（1,2）.
24. 解：（1）把A(-1，0)、B(3,，0）代入得.解得.
∴二次函數的解析式為.
(2)由（1）知二次函數的解析式為.∴OC=0B=3.∴△BOC是等腰直角三角形.∴∠OBQ=.①如圖1，當∠BQP=時，則BP=BQ。即.解得；②如圖2，當∠QPB=時，則BQ=，即.解得,∴當△BPQ為直角三角形時，或.
(3)如圖3，假設在拋物線上存在一點N，使得PQ的中點恰好為MN的中點（設為H),則可設點N.由題意可得.作QF⊥軸于點F，則0F=OB-BF=
BQ=×=...
設直線PQ的解析式為.則.解得.∴直線PQ的解析式為..
∵PQ的中點H恰好為MN的中點，.解得或.
∵，∴
∴當時，在拋物線存在點N(2，-3），使得PQ的中點恰好為MN的中點.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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