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九年級數學上學期第一次月考試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上 ）
1．下列圖形是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函數y＝﹣（x﹣1）2+3，則下列說法正確的是（　　）
A．二次函數圖象開口向上 B．當x＝1時，函數有最大值是3
C．當x＝1時，函數有最小值是3 D．當x＞1時，y隨x增大而增大
3．如圖，在正方形ABCD中，，將邊BC繞點B逆時針旋轉至BC′，連接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，則線段CC′的長度為（　　）
A． B．2 C． D．4
（第3題） （第5題） （第8題）
4．拋物線y＝﹣2x2+1通過變換可以得到拋物線y＝﹣2（x+1）2+3，以下變換過程正確的是（　　）
A．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位
B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位
C．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位
D．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位
5．如圖，在等腰△ABC中，∠A＝120°，將△ABC繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△CDE，當點A的對應點D落在BC上時，連接BE，則∠BED的度數是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．75°
6．已知二次函數y＝ax2﹣2ax+a﹣4的圖象與x軸的一個交點坐標是（3，0），則關于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的兩個實數根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣5，x2＝3 D．x1＝﹣7，x2＝3
7．如表記錄了二次函數y＝ax2+bx+2（a≠0）中兩個變量x與y的5組對應值，其中x1＜x2＜1，
x … ﹣5 x1 x2 1 3 …
y … m 0 2 0 m …
根據表中信息，當時，直線y＝k與該二次函數圖象有兩個公共點，則k的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形， 點A（3，0），C（0，2），將矩形OABC繞點O逆時針旋轉90°，則旋轉后點B的對應點坐標為（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，0） C．（0，3） D．（2，3）
9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結論正確的是（　　）
A．ac＜0
B．b＝2a
C．b2﹣4ac＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解為x1≈﹣0.5，x2≈3.2
（第9題） （第10題）
10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠BCM＝30°，點E是直線CM上一個動點，連接BE，線段BE繞點B順時針旋轉45°得到BF，連接DF，則線段DF長度的最小值等于（　　）
A．44 B．22 C．2 D．2
二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分.不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．點A（4，5）和點B關于原點對稱，則點B的坐標是 　 　．
12．如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉70°，得到△AED，連接BE，若AD∥BE，則∠CAE的度數為 　 　．
（第12題） （第14題） （第17題）
13．已知（﹣1，y1），（2，y2）在二次函數y＝x2﹣2x+m的圖象上，比較y1　 　y2.（填＞、＜或＝）
14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點E在折線BCD上運動，將AE繞點A順時針旋轉得到AF，旋轉角等于∠BAC，連接CF．若時，則CF＝　 　．
15．汽車剎車后行駛的距離s（單位：m）關于行駛的時間t（單位：s）的函數關系是s＝15t﹣6t2，汽車剎車后到停下來前進了 　 　m．
16．已知函數y＝mx2+3mx+m﹣2的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數m的值為 　 　．
17．我們給出如下定義：在平面內，點到圖形的距離是指這個點到圖形上所有點的距離的最小值．在平面內有一個矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，中心為O，在矩形外有一點P，OP＝3，當矩形繞著點O旋轉時，則點P到矩形的距離d的取值范圍為 　 　．
18．若實數a，b滿足a+b2＝2b+1，則代數式a2﹣4a+2b2﹣4b﹣4的最小值為 　 　．
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝x2+bx+c的部分圖象與x軸，y軸的交點分別為（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）結合函數圖象，當﹣2＜x＜1時，直接寫出y的取值范圍．
（第19題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
20．（本小題滿分10分）如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．
（1）作點A關于點O的對稱點A1；
（2）連接A1B，將線段A1B繞點A1順時針旋轉90°得到線段A1B1，點B的對應點為B1，畫出旋轉后的線段A1B1；
（3）連接AB1，BB1，求出△ABB1的面積（直接寫出結果即可）．
（第20題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
21．（本小題滿分10分）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求該二次函數的頂點坐標；
（2）求該二次函數圖象與x軸、y軸的交點；
（3）在平面直角坐標系xOy中，畫出二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象；
（4）結合函數圖象，直接寫出當﹣1≤x≤2時，y的取值范圍．
（第21題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
22．（本小題滿分10分）某景觀公園內人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，若設距水槍水平距離為x米時水柱距離湖面高度為y米，y與x近似的滿足函數關系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．現測量出x與y的幾組數據如下：
x（米） 0 1 2 3 4 ……
y（米） 1.75 3.0 3.75 4.0 3.75 ……
請解決以下問題：
（1）求出滿足條件的函數關系式；
（2）身高1.75米的小明與水柱在同一平面中，設他到水槍的水平距離為m米（m≠0），畫出圖象，結合圖象回答，若小明被水槍淋到m的取值范圍．
（第22題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
23．（本小題滿分12分）已知拋物線y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）若拋物線經過點A（2，0），求拋物線的對稱軸；
（2）已知拋物線上有四個點B（﹣1，y1），C（1，y2），D（3，y3），E（m，0），且2＜m＜4．比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．
▲▲請在答題卡上解答▲▲
24．（本小題滿分12分）某景區旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg．經市場調查發現每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量】
（第24題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
25．（本小題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以點A為中心，將線段AB順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到線段AE，連接DE，BE．
（1）求∠DEB的度數；
（2）過點B作BF⊥DE于點F，連接CF，依題意補全圖形，用等式表示線段DE與CF的數量關系，并證明．
（第25題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
26．（本小題滿分13分）如圖，拋物線y1＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸的交點為A和B，與y軸交點為D（0，3），與直線y2＝﹣x﹣3交點為A和C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線y2＝﹣x﹣3上是否存在一點M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出點M的坐標，如果不存在，請說明理由；
（3）若點E是x軸上一個動點，把點E向下平移4個單位長度得到點F，點F向右平移4個單位長度得到點G，點G向上平移4個單位長度得到點H，若四邊形EFGH與拋物線有公共點，請直接寫出點E的橫坐標xE的取值范圍．
（第26題）
▲▲請在答題卡上解答▲▲
九年級數學上學期第一次月考試卷答案
1．D 2．B 3．D 4．D 5．B
6．A 7．C 8．A 9．A 10．B．
11．（﹣4，﹣5） 12． 15 13．＞ 14．或．
15． 16． 2或 17．3d≤2 18．﹣10．
19．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸、y軸的交點分別為（1，0）和（0，﹣3），
得：，
解得：，
∴拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3；
（2）由圖象可知，拋物線得對稱軸為x＝﹣1，
∴當﹣2＜x＜﹣1時，y隨著x的增大而減小，當﹣1＜x＜1時，y隨著x的增大而增大，
當x＝﹣2時，y＝4﹣4﹣3＝﹣3，
當x＝﹣1時，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
當x＝1時，y＝1+2﹣3＝0，
∴﹣4≤y＜0．
20．解：（1）如圖所示，點A1即為所求；
（2）如圖所示，線段A1B1即為所求；
（3）如圖，連接AB1，BB1，
則S8×2＝8．
21．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴該二次函數圖象的頂點坐標為（1，﹣4）；
（2）令x＝0，則y＝﹣3，
∴該二次函數圖象與y軸的交點為（0，﹣3）；
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1，
∴該二次函數圖象與x軸的交點為（3，0）和（﹣1，0）；
（3）∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
由五點法畫函數簡圖，如圖所示
（4）由函數圖象可得：y＜0時，x的取值范圍﹣1＜x＜3．
22．解：（1）由表中數據可知，h＝3，k＝4，
∴y與x的函數關系y＝a（x﹣3）2+4，
把（1，3）代入解析式得：3＝a（1﹣3）2+4，
解得a，
∴y與x的函數關系y（x﹣3）2+4；
（2）以水槍與湖面的交點為原點，水槍所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，
如圖所示：
∵拋物線對稱軸為直線x＝3，
∴和（0，1.75）對稱的點為（6，1.75），
令y＝0，則（x﹣3）2+4＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝7，
∴小明被水槍淋到m的取值范圍為6≤m≤7．
23．解：（1）∵拋物線經過點A（2，0），
∴0＝4a+2b，即b＝﹣2a，
∴拋物線的對稱軸為：，
∴拋物線的對稱軸為x＝1；
（2）y1＞y3＞y2，理由如下：
∵拋物線過點E（m，0），
∴0＝am2+bm＝m（am+b），
∵2＜m＜4，
∴am+b＝0，即b＝﹣am，
∴拋物線對稱軸為：，
∵a＞0，
∴拋物線開口向上，
∴當時，y隨x的增大而減小，
當時，y隨x的增大而增大，
即離對稱軸越遠的點，函數值越大，
由2＜m＜4可得，
∵﹣1離最遠，其次是3，最后是1，
∴y1＞y3＞y2．
24．解：（1）當22≤x≤30時，設函數表達式為y＝kx+b，
將（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函數表達式為：y＝﹣x+70；
當30＜x≤45時，設函數表達式為：y＝mx+n，
將（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函數表達式為：y＝﹣2x+100，
綜上，y與x的函數表達式為：y；
（2）設利潤為w元，當22≤x≤30時，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范圍內，w隨著x的增大而增大，
∴當x＝30時，w取得最大值為400；
當30＜x≤45時，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
當x＝35時，w取得最大值為450；
∵450＞400，
∴當銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450元．
25．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵將線段AB順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到線段AE，
∴∠EAB＝α，AB＝AE，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°+α，
∴∠AED45°α，
∵AE＝AB，∠EAB＝α，
∴∠AEB90°α，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°α）﹣（45°α）＝45°；
（2）補全圖形如下，線段DE與CF的數量關系為DECF，
證明：過C作CG⊥CF交FD延長線于G，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G＝90°，
∴∠BFC＝∠G，
∵∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FGCF，
由（2）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，
∴DECF．
26．解：（1）∵拋物線與y軸交點為D（0，3），
∴c＝3，
令y＝0，則x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
將A（﹣3，0）代入y1＝ax2﹣2x+3，
∴9a+6+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由題意A（﹣3，0），B（1，0），
當∠AMB＝90°時，M（﹣1，﹣2）．
當∠ABM＝90°時，M（1，﹣4）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（﹣1，﹣2）或（1，﹣4）；
（3）∵點E的橫坐標xE，
∴E（xE，0），
由題可知，F（xE，﹣4），G（xE+4，﹣4），H（xE+4，0），
當F點在拋物線上時，﹣xE2﹣2xE+3＝﹣4，
解得xE＝﹣1+2或xE＝﹣1﹣2，
當G點在拋物線上時，﹣（xE+4）2﹣2（xE+4）+3＝﹣4，
解得xE＝﹣5+2或xE＝﹣5﹣2，
∴﹣5﹣2xE≤﹣1+2時，四邊形EFGH與拋物線有公共點．

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