資源簡介

2025年下期永州玉潭高級中學高三開學考試
數學
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},則滿足A∪B=A的集合B的個數為 (　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
2,設θ是第一象限角,則“”的 (　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3．5弧度的角的終邊所在的象限為（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．log5(log3(log2x))＝0，則等于（ ）
A． B．
C． D．
5,在正四面體ABCD中，點E，F，G分別為棱BC，CD，AC的中點，則異面直線AE，FG所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
6,已知數列{an}和數列{bn}的通項公式分別為an=3n+1和bn=5n+1，若它們的公共項從小到大依次排列構成新數列{cn}，則滿足不等式cn≤2 024的最大的整數n等于(　　)
A.134 B.135
C.136 D.137
7,已知a=ln 1.01，b=c=則(　　)
A.aC.c8．已知函數，若關于的方程有五個不等的實數解，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知集合，集合 ，則集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
10,為了得到函數y=2cos 2x的圖象，只要把函數y=2sin圖象上所有的點(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
11,已知正數x,y,z滿足5x=9y=15z,則 (　　)
A xz+2yz-2xy=0　　　　B.5x<9y<15z
C.xy<2z2　　　　D.9x+2y<16z
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．不等式的解集是___________.
13.已知函數的一條對稱軸為，當時，的最小值為，則的最大值為__________.
14.已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，拋物線在點處的切線分別為和，若和交于點，則的最小值為__________.
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15,如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S為△ABC的面積，且2S＝－.
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四邊形ABCD的周長．
16．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝.
(1)證明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；
(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值．
17,已知M，N分別為橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，F為其右焦點，|FM|＝3|FN|，且點P在橢圓E上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)若過F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，且l與以MN為直徑的圓交于C，D兩點，證明：為定值．
18,某中學進行90周年校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機地抽取4道來回答，競賽規則規定：每題回答正確得10分，回答不正確得－10分．
(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為X，求X的期望和方差；
(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為Y，求Y的分布列．
19,已知函數f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)當x∈[1，e]時，求f (x)的最小值；
(2)當a＜1時，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范圍．
答案
一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},則滿足A∪B=A的集合B的個數為 (　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
答案　B　
2,設θ是第一象限角,則“”的 (　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案　A　
3．5弧度的角的終邊所在的象限為（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
因為，所以5弧度的角的終邊在第四象限．
故選：D．
4．log5(log3(log2x))＝0，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴
故選：C.
5,在正四面體ABCD中，點E，F，G分別為棱BC，CD，AC的中點，則異面直線AE，FG所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　連接DE，因為點F，G分別為棱CD，AC的中點，所以FG∥AD，
所以∠EAD(或其補角)為異面直線AE，FG所成的角，
設正四面體的棱長為a，
則AE=DE=a，AD=a，
由余弦定理得cos∠EAD===
所以異面直線AE，FG所成角的余弦值為.
6,已知數列{an}和數列{bn}的通項公式分別為an=3n+1和bn=5n+1，若它們的公共項從小到大依次排列構成新數列{cn}，則滿足不等式cn≤2 024的最大的整數n等于(　　)
A.134 B.135
C.136 D.137
答案　A
解析　依題意，令ak=bm，k，m∈N*，
則3k+1=5m+1，即有m=k，顯然k是5的正整數倍，
令k=5n，n∈N*，
因此cn=a5n=15n+1，由15n+1≤2 024，
解得n≤134，
所以最大的整數n=134.
7,已知a=ln 1.01，b=c=則(　　)
A.aC.c答案　D
解析　由≤ln x≤x-1知
ln 1.01>==c，
∴a>c，
ln 1.01<1.01-1=0.01=
又b=>=>>
∴b>a，故b>a>c.
8．已知函數，若關于的方程有五個不等的實數解，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
當時，函數在上單調遞減，且，，當時，
當時，則，
所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，
可得的大致圖象如下所示：
令，則化為，
當時無解，則無解；
當時，解得，由圖可知有兩解，即有兩解；
當時有一解且，又有一個解，即有一解；
當時有兩個解，即、，
又有一個解，有兩個解，所以共有三個解；
當時有三個解，即，，，
無解，有三個解，有兩個解，
所以共有五個解；
當時有兩個解，即，，
有三個解，有兩個解，
所以共有五個解；
綜上可得的取值范圍是.
故選：C
二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知集合，集合 ，則集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
因為集合，
對于A：滿足 ，所以選項A符合題意；
對于B：滿足 ，所以選項B符合題意；
對于C：滿足 ，所以選項C符合題意；
對于D：不是的真子集，故選項D不符合題意，
故選：ABC.
10,為了得到函數y=2cos 2x的圖象，只要把函數y=2sin圖象上所有的點(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
答案　AD
解析　把函數y=2sin圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數y=2sin=2sin=2cos 2x的圖象，A正確；
把函數y=2sin圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數y=2sin=2sin=-2cos的圖象，B錯誤；
把函數y=2sin圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數y=2sin=2sin=-2cos的圖象，C錯誤；
把函數y=2sin圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數y=2sin=2sin=2cos 2x的圖象，D正確.
11,已知正數x,y,z滿足5x=9y=15z,則 (　　)
A.xz+2yz-2xy=0　　　　B.5x<9y<15z
C.xy<2z2　　　　D.9x+2y<16z
答案　AB　
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
根據題意，由，得，即或，
因此不等式的解集為.
故答案為：.
13.已知函數的一條對稱軸為，當時，的最小值為，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】因為函數的一條對稱軸為，
所以，得到，又，所以，
所以， 又當時，的最小值為，
令，則，
由的圖象與性質知，，得到，
故答案為：.
14.已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，拋物線在點處的切線分別為和，若和交于點，則的最小值為__________.
【答案】10
【解析】的焦點為，設直線方程為，.
聯立直線與拋物線方程有，則.
又求導可得，故直線方程為.
又，故，同理.
聯立可得，解得，代入可得，代入韋達定理可得，故.
故，當且僅當，即時取等號.
故答案為：10
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15,如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S為△ABC的面積，且2S＝－.
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四邊形ABCD的周長．
[解]　(1)由2S＝－，
在△ABC中，得2×AB×BC sin B＝－AB×BC cos B，
即sin B＝－cos B，可得tan B＝－，
因為B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因為cos D＝，D∈(0，π)，所以D＝，
所以△ACD為等邊三角形，AC＝，∠CAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
由正弦定理知＝，得
AB＝＝＝1＝BC，
故四邊形ABCD的周長為2＋2.
16．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝.
(1)證明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；
(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值．
[解]　(1)證明：連接BC1，與B1C交于點D，則D為BC1，B1C的中點，連接AD，
因為AC＝AB1，所以AD⊥B1C，
因為側面BB1C1C為菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝，
所以BD＝，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD，
因為B1C∩BD＝D，B1C，BD 平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C，因為AD 平面ACB1，
所以平面ACB1⊥平面BB1C1C.
(2)取A1C1的中點E，連接AC1，AE，B1E，
由(1)知，AD⊥BD，又BD＝DC1，所以AC1＝AB＝2，又AA1＝CC1＝2，所以AE⊥A1C1，同理得B1E⊥A1C1，
所以∠AEB1為二面角A-A1C1-B1的平面角，
在△AEB1中，AE＝＝＝，
B1E＝＝＝，AB1＝，
所以cos ∠AEB1＝＝＝.
所以二面角A-A1C1-B1的余弦值為.
17,已知M，N分別為橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，F為其右焦點，|FM|＝3|FN|，且點P在橢圓E上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)若過F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，且l與以MN為直徑的圓交于C，D兩點，證明：為定值．
[解]　(1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，
又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因為點P在橢圓E上，所以＝1，
解得a＝2，b＝，c＝1，所以橢圓E的標準方程為＝1.
(2)證明：①當l與x軸重合時，|AB|＝|CD|＝4，
所以＝7.
②當l不與x軸重合時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線l的方程為x＝my＋1，
由消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
故|AB|＝
＝
＝12×，
圓心O到直線l的距離為，
則＝4－，
所以＝＋4－＝7，
即為定值．
18,某中學進行90周年校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機地抽取4道來回答，競賽規則規定：每題回答正確得10分，回答不正確得－10分．
(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為X，求X的期望和方差；
(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為Y，求Y的分布列．
[解]　(1)設甲答對題目的數目為ξ，則ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40，
所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24；
D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256.
(2)設乙答對題目的數目為η，則η服從參數為N＝10，M＝6，n＝4的超幾何分布，
且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40，
所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝＝，
P(Y＝－20)＝P(η＝1)＝＝，
P(Y＝0)＝P(η＝2)＝＝，
P(Y＝20)＝P(η＝3)＝＝，
P(Y＝40)＝P(η＝4)＝＝，
所以Y的分布列為
Y －40 －20 0 20 40
P
19,已知函數f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)當x∈[1，e]時，求f (x)的最小值；
(2)當a＜1時，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范圍．
[解]　(1)f (x)的定義域為(0，＋∞)，f ′(x)＝.
①若a≤1，當x∈[1，e]時，f ′(x)≥0，
f (x)在[1，e]上單調遞增，f (x)min＝f (1)＝1－a.
②若1＜a＜e，
當x∈[1，a]時，f ′(x)≤0，f (x)單調遞減；
當x∈[a，e]時，f ′(x)≥0，f (x)單調遞增．
所以f (x)min＝f (a)＝a－(a＋1)ln a－1.
③若a≥e，當x∈[1，e]時，f ′(x)≤0，f (x)在[1，e]上單調遞減，f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－.
綜上，當a≤1時，f (x)min＝1－a；
當1＜a＜e時，f (x)min＝a－(a＋1)ln a－1；
當a≥e時，f (x)min＝e－(a＋1)－.
(2)由題意知f (x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值．
由(1)知f (x)在[e，e2]上單調遞增，
所以f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－，
又g′(x)＝(1－ex)x，
所以當x∈[－2，0]時，g′(x)≤0，g(x)單調遞減，
則g(x)min＝g(0)＝1，
所以e－(a＋1)－＜1，
解得a＞，
所以a的取值范圍為 .

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