資源簡介

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第6章 幾何圖形初步
一．選擇題（共10小題）
1．（2025春 邯鄲期中）外婆生病住院，洋洋想去醫院看望外婆，如圖是外婆家、洋洋家、醫院的大致位置，則下列說法正確的是（　　）
A．醫院在洋洋家北偏東20°方向上，距離洋洋家400米處
B．醫院在外婆家南偏東45°方向上，距離外婆家400米處
C．洋洋家在醫院南偏西20°方向上，距離醫院400米處
D．外婆家在醫院北偏西45°方向上，距離醫院300米處
2．（2025 利津縣一模）如圖，是某幾何體的三視圖及相關數據，則該幾何體的側面積是（　　）
A．12 π B．15 π C．20 π D．30 π
3．（2024秋 蕭縣期末）如圖，將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點O按如圖方式疊放在一起，若∠BOD＝α，則∠AOC一定可以表示為（　　）
A．2α B．180°﹣α C．90°+α D．360°﹣4α
4．（2025 東莞市二模）利用課后服務時間，同學們在操場上進行實地測量．如圖，在A處測得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B處測得建筑物C在南偏西20°的方向上．在建筑物C處測得A，B兩處的視角∠C的度數為（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
5．（2024秋 東方期末）若一個角是40°25'，則這個角的余角是（　　）
A．49°35' B．49°75' C．139°35' D．139°75'
6．（2025春 合肥校級月考）如圖，C是線段AB上的一點，D是線段CB的中點，已知AC＝p，且p，q，r為質數，p＜q，p+q＝r，又知圖中所有線段長度之和為27，則線段AB的長是（　　）
A．8 B．7
C．6 D．非上述答案
7．（2024秋 陽信縣期末）在下列生活，生產現象中，不可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的有（　　）
A．平板彈墨線 B．建筑工人砌墻
C．會場擺直茶杯 D．彎河道改直
8．（2024秋 安定區期末）如果一個角的余角是50°，那么這個角的補角的度數是（　　）
A．130° B．40° C．90° D．140°
9．（2025春 即墨區期末）如圖，用量角器度量幾個角的度數，下列結論正確的有（　　）
A．∠AOD與∠BOC互補 B．∠AOB＝140°
C．∠AOB＝∠DOE D．∠AOB是∠COD的余角
10．（2024秋 中江縣期末）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分別為A，D，圖中互余的角共有（　　）
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
二．填空題（共6小題）
11．（2024秋 高州市期末）如圖，∠AOC和∠BOD都是直角．若OD平分∠AOC，則∠AOB的度數為 　 　 ．
12．（2025春 拱墅區校級月考）一個角的余角的3倍比它的補角的2倍少110°，則這個角的度數為　 　 ．
13．（2025 花垣縣校級開學）木工師傅鋸木板時，往往先用墨盒經過木板上的兩個點彈出一條筆直的墨線，然后就可以使木板沿直線鋸下，能解釋這一實際應用的數學知識是 　 　 ．
14．（2025 花垣縣校級開學）若∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，則∠AOC的度數是 　 　 ．
15．（2024秋 荔灣區校級期末）如圖所示，∠AOC與∠BOD都是直角，如果∠COD＝50°，則∠AOB＝ 　 　 °．
16．（2024秋 桑植縣期末）如圖，線段AC＝8cm，線段BC＝18cm，點M是AC的中點，在CB上取一點N，使得CN：NB＝1：2，則MN＝　 　 cm．
三．解答題（共7小題）
17．（2024秋 橫山區期末）如圖，已知OB是∠AOC內的一條射線，∠AOB＝5∠BOC＝120°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度數．
18．（2024秋 上杭縣期末）如圖，點E是線段AB的中點，C是線段EB上一點，AC＝8．
（1）若F為BC的中點，且BC＝5，求EF的長；
（2）若EC：CB＝1：4，求AB的長．
19．（2025春 儀征市期中）如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝48°．現將一個直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OD與射線OB重合，如圖2．
（1）如圖2，∠EOC＝ 　 　 °；
（2）如圖3，將三角板DOE繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠BOE的角平分線，求∠BOD的度數；
（3）將三角板DOE繞點O逆時針旋轉α°（0＜α＜90）．
①∠COD＝ 　 　 °．（用含α的代數式表示）
②是否有某個時刻滿足∠AOD＝4∠COD？如果有，求此時∠BOD的度數；如果沒有，請說明理由．
20．（2024秋 安定區期末）如圖，C為線段AB上任一點，點M、N分別是AC、BC的中點．若AB＝10cm，BN＝2cm，求線段CM的長．
21．（2024秋 鞍山期末）如圖，A地和B地都是海上觀測站，從A地發現它的北偏東60°方向上有一艘船P，同時，從B地發現這艘船在它北偏東30°方向上．
（1）在圖中確定船P的位置；
（2）請通過測量確定∠APB的度數．
22．（2024秋 章貢區期末）已知OC是過點O的一條射線，OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC．
（1）當射線OC在∠AOB的內部時，
①如圖①，若∠AOB＝80°，則∠DOE＝　 　 ；
②如圖②，若∠AOB＝x°，求∠DOE的度數（用含x的式子表示）；
（2）當射線OC在∠AOB的外部時，∠AOB＝x°，請借助備用圖探究∠DOE的度數是　 　 （直接寫出答案）．
23．（2025春 芝罘區期中）如圖，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起．
（1）在圖1中，若∠DCE＝40°，求∠ACB的度數；
（2）通過問題1的解答，猜想∠ACB與∠DCE的數量關系，并說明理由；
（3）若改變其中一個三角板的位置，如圖2，則第（2）小題的結論還成立嗎？若仍成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并說明理由．
第6章 幾何圖形初步
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2025春 邯鄲期中）外婆生病住院，洋洋想去醫院看望外婆，如圖是外婆家、洋洋家、醫院的大致位置，則下列說法正確的是（　　）
A．醫院在洋洋家北偏東20°方向上，距離洋洋家400米處
B．醫院在外婆家南偏東45°方向上，距離外婆家400米處
C．洋洋家在醫院南偏西20°方向上，距離醫院400米處
D．外婆家在醫院北偏西45°方向上，距離醫院300米處
【考點】方向角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．
【答案】D
【分析】根據方向角的定義分別判斷即可．
【解答】解：A、醫院在洋洋家北偏東70°方向上，距離洋洋家400米處，不符合題意；
B、醫院在外婆家南偏東45°方向上，距離外婆家300米處，不符合題意；
C、洋洋家在醫院南偏西70°方向上，距離醫院400米處，不符合題意；
D、外婆家在醫院北偏西45°方向上，距離醫院300米處，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查方向角，熟練掌握方向角的定義是解答本題的關鍵．
2．（2025 利津縣一模）如圖，是某幾何體的三視圖及相關數據，則該幾何體的側面積是（　　）
A．12 π B．15 π C．20 π D．30 π
【考點】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積．
【專題】投影與視圖．
【答案】B
【分析】根據三視圖判斷幾何體為圓錐，再進行計算即可得到答案．
【解答】解：由三視圖可知此幾何體為圓錐，
∴圓錐的底面半徑為3，母線長為5，
∵圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開扇形的弧長，
∴圓錐的底面周長＝圓錐的側面展開扇形的弧長＝2πr＝2π×3＝6π，
∴圓錐的側面積．
故選：B．
【點評】此題考查了三視圖、圓錐的側面積等知識，掌握以上性質是解題的關鍵．
3．（2024秋 蕭縣期末）如圖，將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點O按如圖方式疊放在一起，若∠BOD＝α，則∠AOC一定可以表示為（　　）
A．2α B．180°﹣α C．90°+α D．360°﹣4α
【考點】余角和補角；角的概念．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】B
【分析】根據余角的定義先求出∠AOD，再根據角的和差即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOD＝α，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝90°﹣α+90°＝180°﹣α．
故選：B．
【點評】本題考查了余角的定義，熟練掌握余角的定義是解題的關鍵．
4．（2025 東莞市二模）利用課后服務時間，同學們在操場上進行實地測量．如圖，在A處測得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B處測得建筑物C在南偏西20°的方向上．在建筑物C處測得A，B兩處的視角∠C的度數為（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【考點】方向角．
【專題】線段、角、相交線與平行線．
【答案】B
【分析】將實際問題轉化為方向角的問題即可解答．
【解答】解：如圖，
∵AD∥BE，
∴∠AEB＝∠A＝60°，
∴∠ACB＝∠AEB﹣∠B＝60°﹣20°＝40°，
故選：B．
【點評】本題考查了方位角，解答此類題的關鍵是認清方位角，再結合三角形的內角與外角的關系求解．
5．（2024秋 東方期末）若一個角是40°25'，則這個角的余角是（　　）
A．49°35' B．49°75' C．139°35' D．139°75'
【考點】余角和補角；度分秒的換算．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】A
【分析】根據互余兩角的和為90°求這個角的余角即可．
【解答】解：∵互余兩角的和為90°，
∴這個角的余角為90°﹣40°25'＝49°35'．
故選：A．
【點評】本題考查了余角和補角，度分秒的換算，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
6．（2025春 合肥校級月考）如圖，C是線段AB上的一點，D是線段CB的中點，已知AC＝p，且p，q，r為質數，p＜q，p+q＝r，又知圖中所有線段長度之和為27，則線段AB的長是（　　）
A．8 B．7
C．6 D．非上述答案
【考點】兩點間的距離．
【答案】A
【分析】根據p只能為2，如果p不為2，那么p、q、r均為奇質數，而奇數+奇數＝偶數，這是矛盾的，所以p＝2，設CD＝DB＝x，那么所有線段長度分別為AC＝2、AD＝2+x、AB＝2+2x、CD＝x、CB＝2x、DB＝x，總長度為6+7x＝27，x＝3，所以AB＝2+2x＝8．
【解答】解：這里p只能為2，如果p不為2，那么p、q、r均為奇質數，而奇數+奇數＝偶數，這是矛盾的，所以p＝2，
設CD＝DB＝x，那么所有線段長度分別為AC＝2、AD＝2+x、AB＝2+2x、CD＝x、CB＝2x、DB＝x，
總長度為6+7x＝27，
解得：x＝3，
所以AB＝2+2x＝8，
故選：A．
【點評】本題考查了兩點間的距離，解決本題的關鍵是確定p的值．
7．（2024秋 陽信縣期末）在下列生活，生產現象中，不可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的有（　　）
A．平板彈墨線 B．建筑工人砌墻
C．會場擺直茶杯 D．彎河道改直
【考點】直線的性質：兩點確定一條直線．
【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．
【答案】D
【分析】直接利用直線的性質以及線段的性質分析得出答案．
【解答】解：第一、二、三幅圖中的生活、生產現象可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，第四幅圖中利用的是“兩點之間，線段最短”的知識．
故選：D．
【點評】此題主要考查了直線的性質以及線段的性質，正確把握相關性質是解題關鍵．
8．（2024秋 安定區期末）如果一個角的余角是50°，那么這個角的補角的度數是（　　）
A．130° B．40° C．90° D．140°
【考點】余角和補角．
【專題】計算題．
【答案】D
【分析】先根據題意求出這個角的度數，再根據補角的定義求解即可．
【解答】解：∵一個角的余角是50°，則這個角為40°，
∴這個角的補角的度數是180°﹣40°＝140°．
故選：D．
【點評】本題考查了余角和補角的定義，解題時牢記定義是關鍵．
9．（2025春 即墨區期末）如圖，用量角器度量幾個角的度數，下列結論正確的有（　　）
A．∠AOD與∠BOC互補 B．∠AOB＝140°
C．∠AOB＝∠DOE D．∠AOB是∠COD的余角
【考點】余角和補角；角的概念．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】A
【分析】根據量角器的使用方法分別得出每個角的度數，然后再判斷即可．
【解答】解：A、由圖得∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，因為130°+50°＝180°，所以∠AOD與∠BOC互補，故此選項符合題意；
B、由圖得∠AOB＝40°，故此選項不符合題意；
C、由圖得∠AOB＝40°，∠DOE＝50°，所以∠AOB≠∠DOE，故此選項不符合題意；
D、由圖得∠AOB＝40°，∠COD＝40°，所以∠AOB＝∠COD，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了余角和補角，角的概念，熟練掌握用量角器量角的度數以及余角、補角的定義是解題的關鍵．
10．（2024秋 中江縣期末）如圖，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分別為A，D，圖中互余的角共有（　　）
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
【考點】余角和補角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】C
【分析】根據互余兩角之和為90°，找出互余的角．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于D，
∴∠B+∠C＝90°，
∠B+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠CAD＝90°，
∠CAD+∠C＝90°，
則互余的角共有4個．
故選：C．
【點評】本題考查了余角的性質，解答本題的關鍵是掌握互余兩角之和為90°．
二．填空題（共6小題）
11．（2024秋 高州市期末）如圖，∠AOC和∠BOD都是直角．若OD平分∠AOC，則∠AOB的度數為 　135°　 ．
【考點】余角和補角；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】135°．
【分析】根據題意，結合圖形，得到∠AOD的度數，結合∠BOD是直角，得到結果．
【解答】解：∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC，
∴∠AOD∠AOC＝45°，
∵∠BOD是直角，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+90°＝135°，
故答案為：135°．
【點評】本題考查了角平分線的定義，角的計算，熟練進行角的計算是解題的關鍵．
12．（2025春 拱墅區校級月考）一個角的余角的3倍比它的補角的2倍少110°，則這個角的度數為　20°　 ．
【考點】余角和補角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】20°．
【分析】若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補．結合已知條件列方程求解．
【解答】解：設這個角是x°，
3（90﹣x）＝2（180﹣x）﹣110，
∴x＝20．
故答案為：20°．
【點評】此題考查了余角和補角的知識，以及解一元一次方程屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握互余兩角之和為90°，互補兩角之和為180°．
13．（2025 花垣縣校級開學）木工師傅鋸木板時，往往先用墨盒經過木板上的兩個點彈出一條筆直的墨線，然后就可以使木板沿直線鋸下，能解釋這一實際應用的數學知識是 　兩點確定一條直線　 ．
【考點】直線的性質：兩點確定一條直線．
【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．
【答案】兩點確定一條直線．
【分析】根據直線的性質：兩點確定一條直線即可解答．
【解答】解：解釋這一實際應用的數學知識是：兩點確定一條直線．
故答案為：兩點確定一條直線．
【點評】本題考查了直線的性質，理解“兩點確定一條直線”是解題的關鍵．
14．（2025 花垣縣校級開學）若∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，則∠AOC的度數是 　120°或60°　 ．
【考點】余角和補角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】120°或60°．
【分析】分兩種情況進行作答．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
故答案為：120°或60°．
【點評】本題主要考查余角和補角，分類討論思想是解題的關鍵．
15．（2024秋 荔灣區校級期末）如圖所示，∠AOC與∠BOD都是直角，如果∠COD＝50°，則∠AOB＝ 　130　 °．
【考點】角的計算．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】130．
【分析】先求出∠BOC的度數，再求出∠AOB的度數即可．
【解答】解：∵∠AOC與∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠COD＝50°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝40°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝130°．
故答案為：130．
【點評】本題考查了角的計算，根據圖形得出角之間的關系是解題的關鍵．
16．（2024秋 桑植縣期末）如圖，線段AC＝8cm，線段BC＝18cm，點M是AC的中點，在CB上取一點N，使得CN：NB＝1：2，則MN＝　10　 cm．
【考點】兩點間的距離；線段的和差．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據線段中點的性質，可得MC的長，根據按比例分配，可得CN的長，根據線段的和差，可得答案．
【解答】解：由線段AC＝8cm，點M是AC的中點，得MCAC＝4cm，
由在CB上取一點N，使得CN：NB＝1：2，得CN＝186cm，
由線段的和差，得：MN＝MC+CN＝4+6＝10cm，
故答案為：10．
【點評】本題考查了兩點間的距離，利用按比例分配得出CN的長是解題關鍵．
三．解答題（共7小題）
17．（2024秋 橫山區期末）如圖，已知OB是∠AOC內的一條射線，∠AOB＝5∠BOC＝120°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度數．
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線．
【答案】48°．
【分析】根據題意先求得∠AOC，再由角平分線的定義可得∠COM，最后由∠BOM＝∠COM﹣∠BOC即可得到答案．
【解答】解：∵∠AOB＝5∠BOC＝120°，
∴，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠AOC＝120°+24°＝144°，
∵OM是∠AOC的平分線，
∴，
∴∠BOM＝∠COM﹣∠BOC＝72°﹣24°＝48°．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
18．（2024秋 上杭縣期末）如圖，點E是線段AB的中點，C是線段EB上一點，AC＝8．
（1）若F為BC的中點，且BC＝5，求EF的長；
（2）若EC：CB＝1：4，求AB的長．
【考點】兩點間的距離．
【專題】線段、角、相交線與平行線．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）根據線段的中點可得出，根據線段的和差得出AB，再根據線段的中點可得出，最后根據線段的和差即可得出答案；
（2）設EC＝x，BC＝4x，則BE＝EC+BC＝5x，根據線段的中點可得出AE＝BE＝5x，AB＝10x，再根據AC＝AE+EC＝6x＝8，解出x即可得出AB．
【解答】解：（1）∵F為BC的中點，BC＝5，
∴，
∵AC＝8，BC＝5，
∴AB＝AC+BC＝13，
∵E是線段AB的中點，
∴，
∴；
（2）∵EC：CB＝1：4，
∴設EC＝x，BC＝4x，
∴BE＝EC+BC＝5x，
∵E是線段AB的中點，
∴AE＝BE＝5x，AB＝10x，
AC＝AE+EC＝6x＝8，
∴，
∴．
【點評】本題主要考查了線段中點的有關計算，線段的和差以及一元一次方程的應用，掌握以上性質是解題的關鍵．
19．（2025春 儀征市期中）如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝48°．現將一個直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OD與射線OB重合，如圖2．
（1）如圖2，∠EOC＝ 　42　 °；
（2）如圖3，將三角板DOE繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠BOE的角平分線，求∠BOD的度數；
（3）將三角板DOE繞點O逆時針旋轉α°（0＜α＜90）．
①∠COD＝ 　（48﹣α）或（α﹣48）　 °．（用含α的代數式表示）
②是否有某個時刻滿足∠AOD＝4∠COD？如果有，求此時∠BOD的度數；如果沒有，請說明理由．
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】（1）42；
（2）6°；
（3）①（48﹣α）或（α﹣48）；
②4°或74.4°．
【分析】（1）利用角的和差關系即可求得∠EOC的度數；
（2）利用角的和差倍分關系即可求得∠BOD的度數；
（3）①分情況討論，OD在∠BOC內部，OD在∠AOC內部，分別求差即可；
②借助①的情況，假設∠AOD＝4∠COD，得到關于α的等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝48°，∠DOE＝90°，
∴∠EOC＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣48°＝42°，
故答案為：42；
（2）∵OC是∠BOE的角平分線，
∴∠BOE＝2∠BOC＝48°×2＝96°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝96°﹣90°＝6°，
即∠BOD的度數為6°；
（3）①如圖3，OD在∠BOC內部，
∵∠BOD＝α，∠BOC＝48°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝48°﹣α；
如圖4，OD在∠AOC內部，
∵∠BOD＝α，∠BOC＝48°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝α﹣48°；
故答案為：（48﹣α）或（α﹣48）；
②∵∠BOD＝α，
∴∠AOD＝180°﹣α，
如圖3，若∠AOD＝4∠COD，
則180﹣α＝4（48﹣α），
解得α＝4，
即∠BOD＝4°；
如圖4，若∠AOD＝4∠COD，
則180﹣α＝4（α﹣48），
解得α＝74.4，
即∠BOD＝74.4°，
∴有某個時刻滿足∠AOD＝4∠COD，此時∠BOD的度數為4°或74.4°．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，熟練掌握角的和差關系是解題的關鍵．
20．（2024秋 安定區期末）如圖，C為線段AB上任一點，點M、N分別是AC、BC的中點．若AB＝10cm，BN＝2cm，求線段CM的長．
【考點】兩點間的距離．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能力；推理能力．
【答案】3cm．
【分析】根據線段中點的定義進行計算即可．
【解答】解：∵點N是BC的中點，BN＝2cm，
∴BC＝2BN＝4cm，
∵AB＝10cm，
∴AC＝10﹣4＝6cm，
∵點M是AC的中點，
∴CMAC＝3cm．
【點評】本題考查兩點間的距離，掌握線段中點的定義是正確解答的關鍵．
21．（2024秋 鞍山期末）如圖，A地和B地都是海上觀測站，從A地發現它的北偏東60°方向上有一艘船P，同時，從B地發現這艘船在它北偏東30°方向上．
（1）在圖中確定船P的位置；
（2）請通過測量確定∠APB的度數．
【考點】方向角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】（1）作圖見解析；
（2）∠APB＝30°．
【分析】（1）據方向角的概念分別畫出過點A與點B的射線，兩條射線的交點即為這艘船的位置．
（2）運用量角器測量即可解答．
【解答】解：（1）如圖：作∠1＝60°，∠2＝30°，兩射線相交于P點，則點P即為所求．
（2）測量可得∠APB＝30°．
【點評】本題考查的是方位角的畫法，解題的關鍵是熟知方向角的描述方法，
22．（2024秋 章貢區期末）已知OC是過點O的一條射線，OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC．
（1）當射線OC在∠AOB的內部時，
①如圖①，若∠AOB＝80°，則∠DOE＝　40°　 ；
②如圖②，若∠AOB＝x°，求∠DOE的度數（用含x的式子表示）；
（2）當射線OC在∠AOB的外部時，∠AOB＝x°，請借助備用圖探究∠DOE的度數是　x°或（180x）°　 （直接寫出答案）．
【考點】角的計算；列代數式；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】（1）①40°；
②x°；
（2）x°或（180x）°．
【分析】（1）①由∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠DOE∠AOB，求角度即可；
②借助①的角的數量關系即可求得∠DOE的度數；
（2）分情況討論射線OC的位置，在（1）的基礎上求∠DOE的度數即可．
【解答】解：（1）①∵OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，
∵∠DOE＝∠COD+∠COE，
∴∠DOE∠AOC∠BOC（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠DOE∠AOB，
∵∠AOB＝80°，
∴∠DOE80°＝40°，
故答案為：40°；
②由①知∠DOE∠AOB，
∵∠AOB＝x°，
∴∠DOEx°，
即∠DOE的度數為x°；
（2）射線OC在∠AOB的外部分兩種情況，如圖③，
∵OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，
∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，
∴∠DOE∠AOC∠BOC（∠AOC﹣∠BOC），
∵∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC，
∴∠DOE∠AOB，
∵∠AOB＝x°，
∴∠DOEx°，
如圖④，
∵∠DOE＝∠COD+∠COE，
∴∠DOE∠AOC∠BOC（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝360°﹣∠AOB，
∴∠DOE（360°﹣∠AOB），
∵∠AOB＝x°，
∴∠DOE（360°﹣x°）＝（180x）°，
即∠DOE的度數為x°或（180x）°．
故答案為：x°或（180x）°．
【點評】本題考查了角的計算，列代數式，角平分線的定義，分情況確定射線的位置是解題的關鍵．
23．（2025春 芝罘區期中）如圖，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起．
（1）在圖1中，若∠DCE＝40°，求∠ACB的度數；
（2）通過問題1的解答，猜想∠ACB與∠DCE的數量關系，并說明理由；
（3）若改變其中一個三角板的位置，如圖2，則第（2）小題的結論還成立嗎？若仍成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并說明理由．
【考點】余角和補角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】（1）140°；
（2）∠ACB＝180°﹣∠DCE，理由詳見解析；
（3）仍然成立，理由詳見解析．
【分析】（1）利用角的和差關系得∠ACB＝∠ACD﹣∠DCE+∠BCE，代入角度求值即可；
（2）借助第（1）的思路即可得到∠ACB＝180°﹣∠DCE；
（3）周角等于360°，據此得到關于∠ACB和∠DCE的等式，整理得出結論．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，
∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠DCE+∠BCE，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∠DCE＝40°，
∴∠ACB＝90°﹣40°+90°＝140°，
即∠ACB的度數為140°；
（2）∠ACB＝180°﹣∠DCE，
理由如下：
∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，
∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠DCE+∠BCE，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE，
即∠ACB＝180°﹣∠DCE；
（3）仍然成立，理由如下：
∵∠ACB+∠DCE+∠ACD+∠BCE＝360°，
∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠DCE．
【點評】本題考查了余角和補角，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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