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第二章 函數
一、單選題
1．函數f（x）＝，則f（2）＝（　　）
A． B． C．或2 D．2
2．已知y＝f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，y＝f（x）的圖象如圖所示，則下列關系正確的是（　　）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
3．已知函數，則函數y＝f（x）+f（x﹣3）的定義域是（　　）
A．[﹣5，4] B．[﹣2，7] C．[﹣2，1] D．[1，4]
4．函數f（x）＝（a﹣1）x2是冪函數，則a的值為（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．已知函數，則函數的定義域為（　　）
A．[0，+∞） B．[0，16] C．[0，4] D．[0，2]
6．已知f（x）是R上的奇函數，且滿足f（x+6）＝f（x），當x∈（0，4）時，f（x）＝2x2，則f（2021）等于（　　）
A．﹣2 B．﹣98 C．98 D．2
7．已知函數f（2x+1）＝4x﹣6，若f（a）＝10，則實數a的值為（　　）
A．5 B．9 C．10 D．11
8．已知函數f（x+1）是偶函數，當1＜x1＜x2時，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，設a＝f（﹣），b＝f（2），c＝f（3），則a，b，c的大小關系為（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
9．函數f（x）＝的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
10．設，又記f1（x）＝f（x），fk+1（x）＝f（fk（x）），k＝1，2，3，…，則f2021（x）＝（　　）
A． B．x C． D．
11．已知函數f（x）＝在（2，+∞）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
12．函數g（x）＝ax+2（a＞0），f（x）＝x2﹣2x，對 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，則a的取值范圍是（　　）
A．（0，] B．[1，2） C．（0，] D．[，+∞）
二、填空題
13．函數的定義域是 　 　 ．
14．已知函數（其中a＞0），其定義域的區間長度不超過2，則實數a的取值范圍為　 　 ．
15．我們知道，函數y＝f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f（x）為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y＝f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f（x+a）﹣b為奇函數．根據該推廣結論，則函數f（x）＝x3﹣3x2+2圖象的對稱中心坐標為　 　 ．
16．若函數是定義在R上的增函數，則實數a的取值范圍為 　 　 ．
三、解答題
17．已知函數f（x）＝，x∈[3，5]．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（2）求函數f（x）的最大值和最小值．
18．設a是實數，，
（1）試證明：對于任意a，f（x）在R為增函數；
（2）試確定a的值，使f（x）為奇函數．
19．已知函數f（x）＝．
（1）做出函數圖象；
（2）說明函數f（x）的單調區間（不需要證明）；
（3）若函數y＝f（x）的圖象與函數y＝m的圖象有四個交點，求實數m的取值范圍．
20．（1）已知f（x）是一次函數，且滿足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知，求f（x）的解析式．
21．定義在R上的函數f（x）滿足：①f（0）≠0；②當x＞0時，f（x）＞1；③對任意實數x，y都有f（x+y）＝f（x） f（y）．
（1）證明：當x＜0時，0＜f（x）＜1；
（2）判斷f（x）在R上的單調性；
（3）解不等式f（x） f（2x﹣x2）＞1．
22．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[t，t+1]（t＞0）時，求f（x）的最大值g（t），并求函數g（t）的最小值．
第二章 函數
參考答案與試題解析
一、單選題
1．函數f（x）＝，則f（2）＝（　　）
A． B． C．或2 D．2
【答案】D
【分析】根據分段函數的解析式，直接代入求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝，
則f（2）＝2×2﹣2＝2，
故選：D．
【點評】本題考查了求分段函數的函數值的問題，解題時應對自變量進行分析，是基礎題．
2．已知y＝f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，y＝f（x）的圖象如圖所示，則下列關系正確的是（　　）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
【答案】A
【分析】根據題意，由偶函數的性質可得f（﹣2）＝f（2），由函數的圖象分析函數的單調性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），綜合可得答案．
【解答】解：根據題意，y＝f（x）是定義在R上的偶函數，則f（﹣2）＝f（2），
又由函數圖象可得：f（x）在（0，+∞）上為減函數，即有f（1）＞f（2）＞f（3），
則有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），
故選：A．
【點評】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，注意偶函數的性質，屬于基礎題．
3．已知函數，則函數y＝f（x）+f（x﹣3）的定義域是（　　）
A．[﹣5，4] B．[﹣2，7] C．[﹣2，1] D．[1，4]
【答案】D
【分析】由函數解析式可得8+2x﹣x2≥0，解不等式可得﹣2≤x≤4，再由即可求解．
【解答】解：要使函數f（x）有意義，則8+2x﹣x2≥0，
解得：﹣2≤x≤4，
∴函數y＝f（x）+f（x﹣3）的定義域滿足，解得1≤x≤4，
∴函數的定義域為[1，4]．
故選：D．
【點評】本題考查函數的定義域及其求法，關鍵是掌握該類問題的求解方法，是基礎題．
4．函數f（x）＝（a﹣1）x2是冪函數，則a的值為（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據冪函數的系數為1即可得答案．
【解答】解：因為函數f（x）＝（a﹣1）x2是冪函數，
所以a﹣1＝1，解得a＝2．
故選：D．
【點評】本題考查冪函數的解析式的求法，是基礎題．
5．已知函數，則函數的定義域為（　　）
A．[0，+∞） B．[0，16] C．[0，4] D．[0，2]
【答案】B
【分析】由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y＝f（2﹣x）的定義域是[﹣2，2]，可求2﹣x的值域，即函數f（x）的定義域，再令∈[0，4]，即可求得函數y＝f（）的定義域．
【解答】解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，
即y＝f（2﹣x）的定義域是[﹣2，2]，則2﹣x∈[0，4]，
即函數f（x）的定義域為[0，4]，
令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．
則函數y＝f（）的定義域為[0，16]．
故選：B．
【點評】本題考查抽象函數定義域的求法，屬中檔題，注意理解函數f（x）的定義域與函數f[g（x）]定義域的區別．
6．已知f（x）是R上的奇函數，且滿足f（x+6）＝f（x），當x∈（0，4）時，f（x）＝2x2，則f（2021）等于（　　）
A．﹣2 B．﹣98 C．98 D．2
【答案】A
【分析】根據f（x+6）＝f（x）可知函數周期為6，再結合函數的奇偶性即可解出．
【解答】解：∵f（x+6）＝f（x） T＝6，f（2021）＝f（336×6+5）＝f（5）＝f（﹣1），
又∵f（x）是R上的奇函數，∴f（2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．
故選：A．
【點評】本題考查函數的周期性以及函數奇偶性的應用，函數值的求法，是基礎題．
7．已知函數f（2x+1）＝4x﹣6，若f（a）＝10，則實數a的值為（　　）
A．5 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】先求出f（x）的解析式，代入即可求解．
【解答】解：由f（2x+1）＝4x﹣6，令t＝2x+1，則f（t）＝2t﹣8．
因為f（a）＝2a﹣8＝10，所以a＝9．
故選：B．
【點評】本題考查函數解析式的求法，函數值的求法，是基礎題．
8．已知函數f（x+1）是偶函數，當1＜x1＜x2時，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，設a＝f（﹣），b＝f（2），c＝f（3），則a，b，c的大小關系為（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】A
【分析】根據條件求出函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，然后根據函數f（x+1）是偶函數，利用單調性即可判定出a、b、c的大小．
【解答】解：∵當1＜x1＜x2時，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，
∴當1＜x1＜x2時，f （x2）﹣f （x1）＞0，
即f （x2）＞f （x1），
∴函數f（x）在（1，+∞）上為單調增函數，
∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴函數f（x）關于x＝1對稱，
∴a＝f（﹣）＝f（），
又函數f（x）在（1，+∞）上為單調增函數，
∴f（2）＜f（）＜f（3），
即f（2）＜f（﹣）＝＜f（3），
∴a，b，c的大小關系為b＜a＜c．
故選：A．
【點評】本題考查了函數性質的應用，主要考查了函數單調性的判斷以及運用單調性比較函數值的大小，同時考查了函數的對稱性的應用，是函數性質的一個綜合考查．屬于基礎題．
9．函數f（x）＝的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判斷函數的奇偶性和對稱性，當x＞0時，f（x）＞0，利用排除法進行判斷即可．
【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即f（x）是奇函數，圖象關于原點對稱，排除C，D，
當x＞0時，f（x）＞0，排除B，
故選：A．
【點評】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數奇偶性和對稱性，利用排除法是解決本題的關鍵，是基礎題．
10．設，又記f1（x）＝f（x），fk+1（x）＝f（fk（x）），k＝1，2，3，…，則f2021（x）＝（　　）
A． B．x C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，求出f2（x）、f3（x）、f4（x）的表達式，分析可得fn+4（x）＝fn（x），據此可得f2021（x）＝f1（x），即可得答案．
【解答】解：根據題意，，
則f2（x）＝f[f（x）]＝＝﹣，
f3（x）＝f[f2（x）]＝＝﹣，
f4（x）＝f[f3（x）]＝x，
則fn+4（x）＝fn（x），
故f2021（x）＝f1（x）＝，
故選：D．
【點評】本題考查函數解析式的計算，注意分析fn（x）的規律，屬于基礎題．
11．已知函數f（x）＝在（2，+∞）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
【答案】C
【分析】根據題意，函數的解析式變形可得f（x）＝+a，結合反比例函數的性質可得，解可得a的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據題意，函數f（x）＝＝＝+a，
若f（x）在區間（2，+∞）上單調遞減，必有，
解可得：a＜﹣1或1＜a≤2，即a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（1，2]，
故選：C．
【點評】本題考查函數單調性的判斷以及性質的應用，注意函數解析式的化簡變形，屬于基礎題．
12．函數g（x）＝ax+2（a＞0），f（x）＝x2﹣2x，對 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，則a的取值范圍是（　　）
A．（0，] B．[1，2） C．（0，] D．[，+∞）
【答案】C
【分析】由題意可得只需函數y＝g（x）的值域為函數y＝f（x）的值域的子集即可．
【解答】解：若對 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，
只需函數y＝g（x）的值域為函數y＝f（x）的值域的子集即可．
函數f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，x∈[﹣1，2]的值域為[﹣1，3]．
當a＞0時，g（x）＝ax+2遞增，可得其值域為[2﹣a，2+2a]，
要使[2﹣a，2+2a] [﹣1，3]，
需，解得0＜a≤，
綜上，a的取值范圍為（0，]．
故選：C．
【點評】本題主要考查函數恒成立問題以及函數單調性的應用，考查等價轉化思想和運算能力，屬于中檔題．
二、填空題
13．函數的定義域是 　{x|x≤1且x≠0}　 ．
【答案】{x|x≤1且x≠0}．
【分析】由根式內部的代數式大于等于0，及冪函數的性質，可得函數的定義域．
【解答】解：f（x）＝+x0，
則1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1，
故函數f（x）的定義域是{x|x≤1且x≠0}，
故答案為：{x|x≤1且x≠0}．
【點評】本題考查了函數定義域的求法，屬于基礎題．
14．已知函數（其中a＞0），其定義域的區間長度不超過2，則實數a的取值范圍為　（0，1]　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據a＞0可解a+2ax﹣x2≥0得出，從而據題意可得出，根據a＞0解出a的范圍即可．
【解答】解：∵a＞0，解a+2ax﹣x2≥0得，，
∴f（x）的定義域為，
∵f（x）定義域的區間長度不超過2，
∴2，且a＞0，解得0＜a≤1，
∴實數a的取值范圍為（0，1]．
故答案為：（0，1]．
【點評】本題考查了配方求二次函數最值的方法，區間長度的定義，函數定義域的定義及求法，一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于中檔題．
15．我們知道，函數y＝f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f（x）為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y＝f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y＝f（x+a）﹣b為奇函數．根據該推廣結論，則函數f（x）＝x3﹣3x2+2圖象的對稱中心坐標為　（1，0）　 ．
【答案】（1，0）．
【分析】根據題意，設g（x）＝f（x+a）﹣b，化簡g（x）的解析式，由奇函數的性質可得關于a、b的方程，分析可得a、b的值，即可得答案．
【解答】解：根據題意，設g（x）＝f（x+a）﹣b，
則g（x）＝（x+a）3﹣3（x+a）2+2﹣b＝x3+3ax2+3a2x+a3﹣3x2﹣6ax﹣3a2+2﹣b＝x3+（3a﹣3）x2+（3a2﹣6a）x+a3﹣3a2+2﹣b，
又由g（x）為奇函數，則g（﹣x）＝﹣g（x），即，
解得，即函數f（x）＝x3﹣3x2+2圖象的對稱中心坐標為（1，0），
故答案為：（1，0）．
【點評】本題考查函數的對稱性，涉及函數奇偶性的理解，屬于中檔題．
16．若函數是定義在R上的增函數，則實數a的取值范圍為 　　 ．
【答案】．
【分析】根據分段函數為增函數，列不等式組求出實數a的取值范圍．
【解答】解：要使函數是定義在R上的增函數，
只需
解得：．
故答案為：
【點評】本題考查分段函數的應用，函數的單調性的判斷與應用，是中檔題．
三、解答題
17．已知函數f（x）＝，x∈[3，5]．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（2）求函數f（x）的最大值和最小值．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，可求得，結合條件，判斷其符號，即可證明其單調性；
（2）根據（1）判斷的函數的單調性即可求得函數f（x）的最大值和最小值．
【解答】證明：（1）設任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2
∵3≤x1＜x2≤5∴x1﹣x2＜0，（x1+2）（x2+2）＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[3，5]上為增函數．
解：（2）由（1）知，f（x）在[3，5]上為增函數，則，．
【點評】本題考查函數單調性的性質，重點考查定義法判斷函數的單調性與最值，屬于中檔題．
18．設a是實數，，
（1）試證明：對于任意a，f（x）在R為增函數；
（2）試確定a的值，使f（x）為奇函數．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）設x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）＝，結合指數函數的單調性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的單調性且與a的值無關；
（2）根據題意，假設f（x）是奇函數，由奇函數的定義可得，f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣（a﹣），對其變形，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：（1）證明：設x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（a﹣）﹣（a﹣）＝﹣＝，
又由y＝2x在R上為增函數，則＞0，＞0，
由x1＜x2，可得﹣＜0，
則f（x1）﹣f（x2）＜0，
故f（x）為增函數，與a的值無關，
即對于任意a，f（x）在R為增函數；
（2）若f（x）為奇函數，且其定義域為R，
必有有f（﹣x）＝﹣f（x），
即a﹣＝﹣（a﹣），變形可得2a＝＝2，
解可得，a＝1，
即當a＝1時，f（x）為奇函數．
【點評】本題考查函數奇偶性、單調性的判斷與應用，注意（1）中要體現f（x）的單調性與a的值無關．
19．已知函數f（x）＝．
（1）做出函數圖象；
（2）說明函數f（x）的單調區間（不需要證明）；
（3）若函數y＝f（x）的圖象與函數y＝m的圖象有四個交點，求實數m的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據分段函數的性質，即可畫出函數圖象；
（2）根據一次函數和二次函數的性質即可求解出函數的單調區間；
（3）由題意，觀察函數的圖象可得實數m的取值范圍．
【解答】解：（1）做出函數圖象如圖：
（2）函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣2）和（0，1）；單調遞減區間為（﹣2，0）和（1，+∞）．
（3）由于函數y＝f（x）的圖象與函數y＝m的圖象有四個交點，
觀察函數的圖象可得實數m∈（﹣1，0）．
【點評】本題考查了分段函數的性質，主要考查了分段函數的單調性和最值的求解．對于分段函數的問題，一般選用分類討論和數形結合的數學思想方法進行研究．屬于中檔題．
20．（1）已知f（x）是一次函數，且滿足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知，求f（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝x+3；（2）f（x）＝x2﹣2x+2（x≥1）．
【分析】（1）采用待定系數法，設f（x）＝kx+b，k≠0，代入等式中化簡運算，構造關于k和b的方程組，解之即可；
（2）采用換元法，令t＝+1，再將原式中的所有x用t代換，即可得解．
【解答】解：（1）不妨設f（x）＝kx+b，k≠0，
因為3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，
所以3[k（x+1）+b]﹣（kx+b）＝2x+9，化簡得2kx+3k+2b＝2x+9，
所以，解得k＝1，b＝3，
故f（x）的解析式為f（x）＝x+3．
（2）令t＝+1，則t≥1，且x＝（t﹣1）2，
所以f（t）＝（t﹣1）2+1＝t2﹣2t+2（t≥1），
所以f（x）的解析式為f（x）＝x2﹣2x+2（x≥1）．
【點評】本題考查函數解析式的求法，熟練掌握待定系數法和換元法是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．
21．定義在R上的函數f（x）滿足：①f（0）≠0；②當x＞0時，f（x）＞1；③對任意實數x，y都有f（x+y）＝f（x） f（y）．
（1）證明：當x＜0時，0＜f（x）＜1；
（2）判斷f（x）在R上的單調性；
（3）解不等式f（x） f（2x﹣x2）＞1．
【答案】（1）證明見解答；
（2）f（x）在R上是增函數；
（3）（0，3）．
【分析】（1）令x＝y＝0，先求得f（0），當x＜0時，令y＝﹣x，即可證得結論；
（2）利用單調性的定義，結合已知條件即可判斷f（x）的單調性；
（3）利用已知條件及函數的單調性將不等式合理轉化，即可求解不等式．
【解答】（1）證明：令x＝y＝0，則f（0）＝f （0），
又f（0）≠0，所以f（0）＝1，
當x＜0時，﹣x＞0，在f（x+y）＝f（x） f（y）中，
令y＝﹣x，則f（0）＝f（x）f（﹣x），所以f（﹣x）＝＞1，故0＜f（x）＜1．
（2）解：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，
所以f（x2﹣x1）＞1且f（x1）＞0，
于是f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1） f（x1）＞f（x1），故f（x）在R上是增函數．
（3）由題意知，原不等式等價于f（3x﹣x2）＞f（0），
由（2）可知f（x）是R上的增函數，
所以3x﹣x2＞0，解得0＜x＜3，故不等式的解集為（0，3）．
【點評】本題主要考查抽象函數的應用，函數的單調性即不等式的解法，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．
22．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[t，t+1]（t＞0）時，求f（x）的最大值g（t），并求函數g（t）的最小值．
【答案】（1）f（x）＝，
（2）g（t）＝；g（t）min＝g（）＝﹣．
【分析】（1）由已知偶函數定義結合已知區間上函數解析式即可求解；
（2）由已知函數，結合對稱軸與已知區間的位置關系，分類討論可求．
【解答】解：（1）根據題意，若x＞0，則﹣x＜0，
則f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）+1＝x2﹣4x+1，
又由f（x）為偶函數，則f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x+1，
故f（x）＝，
（2）當x≥0時，f（x）＝x2﹣4x+1，開口向上，對稱軸x＝2，
當0＜t≤時，g（t）＝f（t）＝t2﹣4t+1，
當t＞時，g（t）＝f（t+1）＝t2﹣2t﹣2，
故g（t）＝；
則g（t）min＝g（）＝﹣
【點評】本題考查函數的最值，涉及函數奇偶性的性質以及應用，屬于中檔題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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