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第二章 函數(shù)
一、單選題
1．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)P（2，4），則f（3）＝（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
2．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．若f（5）＝0，則f（﹣5）＝（　　）
A．3． B．2 C．0 D．﹣2
3．函數(shù)的定義域是（　　）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3} D．{x|x≤﹣2}
4．設(shè)函數(shù)f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值為7，則f（x）在（﹣∞，0）上的最大值為（　　）
A．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
5．函數(shù)f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在區(qū)間（﹣∞，4]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是（　　）
A．[﹣3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，﹣3]
6．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)閇0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
7．設(shè)f（x）＝，則f（5）的值為（　　）
A．16 B．18 C．21 D．24
8．若兩個(gè)函數(shù)的解析式與值域相同，定義域不同，則稱它們互為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)f（x）＝x2+1，x∈{0，1}的“孿生函數(shù)”個(gè)數(shù)為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（　　）
A．y＝1與y＝x0
B．y＝x與
C．y＝2log2x與
D．y＝x2與
10．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），對(duì) x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）＝2x﹣6，則f（2021）＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
11．下列圖像中，能表示函數(shù)y＝f（x）圖像的是（　　）
A． B．
C． D．
12．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（　　）
（1）冪函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa在其定義域上是嚴(yán)格減函數(shù)；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa在其定義域上是嚴(yán)格增函數(shù)；
（4）函數(shù)y＝2x2既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題
13．函數(shù)，則f（x）＝　 　 （注明定義域）．
14．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，0），則函數(shù)f（2x﹣2）的定義域?yàn)?　 　 ．
15．函數(shù)的最大值為 　 　 ．
16．已知f（x）是定義在[﹣2，2]上的奇函數(shù)，若x∈（0，2]時(shí)，f（x）＝1﹣|x﹣1|，則x∈[﹣2，0）時(shí)，f（x）＝　 　 ．
三、解答題
17．已知函數(shù)．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求a的值．
18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（只需寫出結(jié)論）
19．已知x＞0．
（1）求函數(shù)的最小值，并指出此時(shí)x的取值；
（2）用定義法證明在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)．
20．已知函數(shù)f（x）＝|x|（x+1），試畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象解決下列兩個(gè)問(wèn)題
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，的最大值．
21．已知函數(shù)，x∈[﹣1，1]．
（1）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是單調(diào)遞增；
（2）求關(guān)于x的不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集．
22．已知f（x）＝是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
第二章 函數(shù)
參考答案與試題解析
一、單選題
1．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)P（2，4），則f（3）＝（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【分析】先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再求f（3）的值
【解答】解：設(shè)f（x）＝xα，則2α＝4，得α＝2，
所以f（x）＝x2，
所以f（3）＝32＝9，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)定義相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．若f（5）＝0，則f（﹣5）＝（　　）
A．3． B．2 C．0 D．﹣2
【答案】C
【分析】直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（5）＝0，
所以f（﹣5）＝f（5）＝0，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．函數(shù)的定義域是（　　）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3} D．{x|x≤﹣2}
【答案】A
【分析】由題意，根據(jù)偶次根式的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域．
【解答】解：∵，∴x+1≥0，解得x≥﹣1，
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥﹣1}，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查偶次根式的性質(zhì)，求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．
4．設(shè)函數(shù)f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值為7，則f（x）在（﹣∞，0）上的最大值為（　　）
A．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
【答案】D
【分析】令g（x）＝mx+，則g（x）是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）在（﹣∞，0）上的最大值．
【解答】解：令g（x）＝mx+，則g（x）是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，
∵f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值為7，∴g（x）在（0，+∞）內(nèi)的最小值為5，
可得g（x）在（﹣∞，0）上的最大值為﹣5，
則f（x）在（﹣∞，0）上的最大值為﹣5+2＝﹣3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
5．函數(shù)f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在區(qū)間（﹣∞，4]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是（　　）
A．[﹣3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，﹣3]
【答案】D
【分析】易知函數(shù)f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x＝﹣＝1﹣m，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再由函數(shù)f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在區(qū)間（﹣∞，4]上單調(diào)遞增可得1﹣m≥4，從而解出m的取值范圍即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x＝﹣＝1﹣m，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，1﹣m]，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在區(qū)間（﹣∞，4]上單調(diào)遞增，
∴1﹣m≥4，解得m≤﹣3．
所以m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)閇0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與值域，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，f（x）＝x2﹣1，為二次函數(shù)，是偶函數(shù)，其值域?yàn)閇﹣1，+∞），不符合題意；
對(duì)于B，f（x）＝＝，不是偶函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于C，f（x）＝log2x，為對(duì)數(shù)函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于D，f（x）＝|x|＝，是偶函數(shù)且值域?yàn)閇0，+∞），符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與值域的計(jì)算，涉及常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和值域，屬于基礎(chǔ)題．
7．設(shè)f（x）＝，則f（5）的值為（　　）
A．16 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】利用分段函數(shù)的表達(dá)式，直接代入即可得到結(jié)論．
【解答】解：由分段函數(shù)可知f（5）＝f（10）＝f（15）＝18，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用分段函數(shù)直接代入即可，比較基礎(chǔ)．
8．若兩個(gè)函數(shù)的解析式與值域相同，定義域不同，則稱它們互為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)f（x）＝x2+1，x∈{0，1}的“孿生函數(shù)”個(gè)數(shù)為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝x2+1，定義域?yàn)閧0，1}的“孿生函數(shù)”的定義域的情況有{0，﹣1}，{0，﹣1，1}，共2個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)解析式的應(yīng)用，利用函數(shù)定義域和值域關(guān)系進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
9．下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（　　）
A．y＝1與y＝x0
B．y＝x與
C．y＝2log2x與
D．y＝x2與
【答案】D
【分析】函數(shù)相等只需要定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域相同即可．
【解答】解：對(duì)于A，y＝1的定義域?yàn)镽，而y＝x0定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，故兩函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于B，y＝x的定義域和值域都為R，的定義域和值域都為[0，+∞），定義域與值域都不相同，故兩函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于C，y＝2log2x的定義域?yàn)椋?，+∞），的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不同，故兩函數(shù)不表示同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于D，y＝x2與＝x2，兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R，解析式相同，值域都為[0，+∞），故兩函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
10．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），對(duì) x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）＝2x﹣6，則f（2021）＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
【答案】C
【分析】求得f（x）的周期，結(jié)合奇偶性求得f（2021）的值．
【解答】解：依題意對(duì) x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立且定義在R上的偶函數(shù)f（x），
所以f（﹣x+6）＝f（﹣x）+f（3）＝f（x）+f（3）＝f（x+6），所以f（x﹣6）＝f（x+6），
所以f（x+12）＝f（x），
所以f（x）是周期為12的周期函數(shù)，
故f（2021）＝f（12×168+5）＝f（5）＝f（﹣1+6）＝f（﹣1）+f（3）＝f（1）+f（3）＝2×1﹣6+2×3﹣6＝﹣4．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性及周期性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．下列圖像中，能表示函數(shù)y＝f（x）圖像的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判定，即可求解．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義，一一映射或多對(duì)一映射表示函數(shù)，
對(duì)于A中，符合函數(shù)的定義，所以可以表示函數(shù)；
對(duì)于B、C、D中，都不符合函數(shù)的定義，所以不能表示函數(shù)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題．
12．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（　　）
（1）冪函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa在其定義域上是嚴(yán)格減函數(shù)；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa在其定義域上是嚴(yán)格增函數(shù)；
（4）函數(shù)y＝2x2既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)即可求解．
【解答】解：對(duì)（1），當(dāng)y＝x﹣1不過(guò)原點(diǎn)，∴（1）錯(cuò)誤；
對(duì)（2），當(dāng)y＝x﹣1時(shí)，在定義域內(nèi)不是單調(diào)減函數(shù)，∴（2）錯(cuò)誤；
對(duì)（3），當(dāng)y＝x2時(shí)，在定義域內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)，∴（3）錯(cuò)誤；
對(duì)（4），函數(shù)y＝2x2既是二次函數(shù)，但不是冪函數(shù)，∴（4）錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
二、填空題
13．函數(shù)，則f（x）＝　x2+2x+2（x≥﹣1）　 （注明定義域）．
【答案】x2+2x+2（x≥﹣1）
【分析】利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可可得函數(shù)f（x）的解析式
【解答】解：令，則x＝（t+1）2，t≥﹣1，
所以f（t）＝（t+1）2+1＝t2+2t+2，t≥﹣1，
所以f（x）＝x2+2x+2（x≥﹣1）．
故答案為：x2+2x+2（x≥﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)解析式的求解，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．換元時(shí)要注意新元的取值范圍．
14．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，0），則函數(shù)f（2x﹣2）的定義域?yàn)?　（，1）　 ．
【答案】．
【分析】由﹣1＜2x﹣2＜0，求解x的范圍，可得答案．
【解答】解：∵f（x）的定義域?yàn)椋ī?，0），∴由﹣1＜2x﹣2＜0，解得．∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．
15．函數(shù)的最大值為 　2　 ．
【答案】2．
【分析】分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用其單調(diào)性即可作答．
【解答】解：因，則f（x）在[2，4]上為減函數(shù)，f（x）max＝f（2）＝2，
所以x＝2時(shí)，f（x）取得最大值2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知f（x）是定義在[﹣2，2]上的奇函數(shù)，若x∈（0，2]時(shí)，f（x）＝1﹣|x﹣1|，則x∈[﹣2，0）時(shí)，f（x）＝　|x+1|﹣1　 ．
【答案】|x+1|﹣1．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：若x∈（﹣2，0），
則﹣x∈（0，2），
∵x∈（0，2]時(shí)，f（x）＝1﹣|x﹣1|，
∴當(dāng)﹣x∈（0，2）時(shí)，f（﹣x）＝1﹣|﹣x﹣1|＝1﹣|x+1|，
∵f（x）是定義在（﹣2，2）上的奇函數(shù)，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
則f（x）＝|x+1|﹣1，x∈[﹣2，0），
故答案為：|x+1|﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．已知函數(shù)．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求a的值．
【答案】（1）1；（2）0．
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值即可；
（2）由各分段的值域范圍，判斷f（a）＝1適用的解析式，應(yīng)用對(duì)應(yīng)區(qū)間的解析式求a的值．
【解答】解：（1）∵，
∴．
（2）由函數(shù)解析式知：x＞1時(shí)，f（x）＞1恒成立；x＜﹣1時(shí)，f（x）＜1恒成立；
∴僅當(dāng)﹣1≤a≤1，有f（a）＝a2+1＝1，解得a＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（只需寫出結(jié)論）
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（I ）由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義及x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣2x可求出x＞0時(shí)函數(shù)解析，進(jìn)而可求；
（II）先作出函數(shù)f（x）的圖形，結(jié)合圖像可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
當(dāng)x＞0，則﹣x＜0，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣2x，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x2+2x，
所以f（x）＝x2﹣2x，
故f（x）＝，
（II）函數(shù)的大致圖像如圖所示，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞），（﹣∞，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式及二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
19．已知x＞0．
（1）求函數(shù)的最小值，并指出此時(shí)x的取值；
（2）用定義法證明在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)．
【答案】（1）最小值4，x＝2；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性即可求解．
（2）利用證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)即可證明．
【解答】解：（1）由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，
函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，
在[2，+∞）單調(diào)遞增，，
即當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值4．
（2）證明：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，則，
由x1＞2，x2＞2且x1＜x2知x1﹣x2＜0，x1x2＞4，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，從而有f（x1）＜f（x2），
故在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)最值，屬于中檔題，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．
20．已知函數(shù)f（x）＝|x|（x+1），試畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象解決下列兩個(gè)問(wèn)題
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，的最大值．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，將函數(shù)化簡(jiǎn)為分段函數(shù)表達(dá)式：f（x）＝，從而得到函數(shù)圖象是開口向下的拋物線在y軸的左側(cè)的部分，和開口向上的拋物線在y軸右側(cè)的部分拼接而成．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合我們作出的圖象，不難得到函數(shù)在R上有三單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間為和[0，+∞），減區(qū)間為；
（2）先討論函數(shù)在區(qū)間[﹣1，的單調(diào)性是先增后減，然后再增．由此可得函數(shù)的最大值是兩個(gè)增區(qū)間的右端點(diǎn)函數(shù)值中較大的那個(gè)，計(jì)算函數(shù)值再比較大小，即可得這個(gè)最大值．
【解答】解：f（x）＝|x|（x+1）＝，
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分，
對(duì)稱軸為直線x＝﹣，以（﹣，）為頂點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象是開口向上的拋物線弧，
在（0，+∞）上為增函數(shù)，最小值為f（0）＝0．
由此可得函數(shù)的圖象如右圖所示
（1）由函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，
可得f（x）在和[0，+∞）上遞增，在上遞減；
（2）∵函數(shù)f（x）在[﹣1，﹣]上是增函數(shù)，在[﹣，0]上減函數(shù)，在[0，]上是增函數(shù)
∴函數(shù)的最大值是f（﹣）與f（）中較大的那一個(gè)
∵，
∴f（x）在區(qū)間[﹣1，]的最大值為
【點(diǎn)評(píng)】本題借助于一個(gè)含有絕對(duì)值函數(shù)的圖象的作法問(wèn)題，著重考查了函數(shù)圖象的作法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
21．已知函數(shù)，x∈[﹣1，1]．
（1）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是單調(diào)遞增；
（2）求關(guān)于x的不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，只需證f（x1）﹣f（x2）＜0即可證明函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是單調(diào)遞增；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及定義域范圍列不等式組求解即可．
【解答】解：（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，則
＝，
∵，1﹣x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是單調(diào)遞增；
（2）由（1）結(jié)論，及f（1﹣x）＜f（x）知：，
解得．
因此，不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22．已知f（x）＝是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）b＝1，
（2）f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，見(jiàn)解析，
（3）（﹣2，1）．
【分析】（1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）＝0，解方程求出b的值，檢驗(yàn)可得；
（2）寫出f（x）的解析式，利用單調(diào)性的定義證明f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）由f（x）為奇函數(shù)，把不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0化為關(guān)于a的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝是定義在R上的奇函數(shù)．
所以f（0）＝0 b﹣20＝0 b＝1；
所以b＝1，
經(jīng)驗(yàn)證，b＝1符合題意．
（2）f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
由（1）知b＝1，所以f（x）＝＝＝﹣+．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
則f（x1）﹣f（x2）＝（﹣+）﹣（﹣+）＝﹣，
因?yàn)閤1＜x2，所以0＜＜，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）由f（x）為奇函數(shù)，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，
所以f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）＝f（a2﹣1），
即1﹣a＞a2﹣1，整理得a2+a﹣2＜0，
解得﹣2＜a＜1，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及不等式的解法與應(yīng)用，是中檔題．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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