資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.3.2角的比較與運算
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 江城區校級二模）光線由空氣射入清澈的水面時會在水面發生鏡面反射，在射入水中后會發生折射現象．如圖入射光線AP在射入水面P點的反射光線為PQ，折射光線為PB，若反射光線與折射光線夾角為80°，入射光線與折射光線夾角為160°，則入射光線與水平面的夾角為多少度？（　?。?br/>A．40° B．20° C．30° D．35°
2．（2025 海淀區校級模擬）如圖，已知O為直線AB上一點，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．若∠COE＝22°，則∠AOD的大小為（　?。?br/>A．46° B．44° C．68° D．22°
3．（2025 濟寧二模）如圖，若∠1與∠2分別經過格點A、B、C，D、E、F，則∠1與∠2的大小關系為（　?。?br/>A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．無法比較
4．（2024秋 巫山縣期末）下列說法：①連接兩點間的線段叫做這兩點間的距離；②建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一根直的參照線這樣做的原理是：兩點之間，線段最短；③若AB＝2CB，則點C是AB的中點；④若∠A＝20°15′，∠B＝20°15″，∠C＝20.15°，則有∠A＞∠C＞∠B．其中正確的有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2024秋 平泉市期末）將一副三角尺按如圖的位置擺放，則∠α與∠β的大小關系正確的是（　?。?br/>A．∠α＝∠β B．∠α＞∠β C．∠α＜∠β D．無法確定
6．（2024秋 訥河市期末）利用一副三角板上已知度數的角，不能畫出的角是（　　）
A．15° B．100° C．165° D．135°
7．（2025春 棲霞市期中）如圖，正方形的網格紙上每個小正方形的邊長都為1，則下列結論正確的是（　　）
A．∠α＜∠β B．∠α＞∠β C．∠α＝∠β D．無法判斷
8．（2025春 青山區期中）如圖，已知∠1＝25°，∠AOC＝90°，點B、O、D在同一條直線上，則∠2的度數為（　?。?br/>A．105° B．100° C．115° D．125°
二．填空題（共5小題）
9．（2024秋 威寧縣期末）已知∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，則∠AOD的度數是 　 　 ．
10．（2024秋 龍南市期末）以∠AOB的頂點O為端點引射線OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2．若∠AOB＝45°，則∠AOP的度數為 　 　 ．
11．（2024秋 東方期末）如圖，點A、O、B在一條直線上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，則圖中∠BOD＝　 　 °．
12．（2025 浦東新區校級模擬）在如圖所示的網格是正方形網格，點A、B、C、D、O均在格點（網格線交點）上，那么∠AOC 　 　 ∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．
13．（2025春 北京校級期中）如圖，∠AOB＝160°，∠DOB＝90°，若OD平分∠AOC，則∠COB的大小為 　 　 ．
三．解答題（共2小題）
14．（2024秋 西陵區期末）如圖，點P在直線AB上，∠CPD＝90°．
（1）如圖1，若∠CPD在直線AB上方，∠APC＝50°，求∠BPD的度數；
（2）如圖2，若PC在直線AB上方，PD在直線AB下方，過點P分別作∠APC的平分線PE，∠BPD的平分線PF．求∠EPF的度數．
15．（2025春 高青縣期末）如圖所示，OE是∠AOD的平分線，OC是∠BOD的平分線．
（1）如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE是多少度？
（2）如果∠AOB＝130°，∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？
6.3.2角的比較與運算
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2025 江城區校級二模）光線由空氣射入清澈的水面時會在水面發生鏡面反射，在射入水中后會發生折射現象．如圖入射光線AP在射入水面P點的反射光線為PQ，折射光線為PB，若反射光線與折射光線夾角為80°，入射光線與折射光線夾角為160°，則入射光線與水平面的夾角為多少度？（　?。?br/>A．40° B．20° C．30° D．35°
【考點】角的計算．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】C
【分析】根據周角是360°求出∠APQ的度數，根據∠APM＝∠QPM求得∠APM的度數，進而求得入射光線與水平面的夾角度數．
【解答】解：由題意得：∠APM＝∠QPM，∠QPB＝80°，∠APB＝160°，
∵∠APM+∠QPM+∠QPB+∠APB＝360°，
∴∠APM+∠QPM＝360°﹣∠QPB﹣∠APB，
∴∠APM+∠QPM＝360°﹣80°﹣160°＝120°，
∴∠APM＝60°，
∴∠APG＝90°﹣60°＝30°，
即入射光線與水平面的夾角為30°．
故選：C．
【點評】本題考查了角的計算，熟練掌握有關角的和差關系是解題的關鍵．
2．（2025 海淀區校級模擬）如圖，已知O為直線AB上一點，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．若∠COE＝22°，則∠AOD的大小為（　?。?br/>A．46° B．44° C．68° D．22°
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】B
【分析】先求出∠DOE的度數，再根據角平分線的定義求出∠BOD的度數，然后根據鄰補角的定義即可求出∠AOD的度數．
【解答】解：∵∠COD＝90°，∠COE＝22°，
∴∠DOE＝90°﹣22°＝68°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝136°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣136°＝44°，
故選：B．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，根據圖形得出角之間的關系是解題的關鍵．
3．（2025 濟寧二模）如圖，若∠1與∠2分別經過格點A、B、C，D、E、F，則∠1與∠2的大小關系為（　　）
A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．無法比較
【考點】角的大小比較．
【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．
【答案】C
【分析】分別求出兩角的正切值，再比較即可．
【解答】解：tan∠12，
tan∠2，
∵2，
∴∠1＞∠2．
故選：C．
【點評】本題主要考查角的比較，求出兩角的正切值是解題的關鍵．
4．（2024秋 巫山縣期末）下列說法：①連接兩點間的線段叫做這兩點間的距離；②建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一根直的參照線這樣做的原理是：兩點之間，線段最短；③若AB＝2CB，則點C是AB的中點；④若∠A＝20°15′，∠B＝20°15″，∠C＝20.15°，則有∠A＞∠C＞∠B．其中正確的有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】角的大小比較；直線、射線、線段；直線的性質：兩點確定一條直線；線段的性質：兩點之間線段最短；兩點間的距離；度分秒的換算．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】A
【分析】根據兩點間距離，直線的性質，線段中點的定義，角的大小比較逐一判斷即可．
【解答】解：①連接兩點間的線段的長度叫做這兩點間的距離，故①錯誤；
②建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一根直的參照線這樣做的原理是：兩點確定一條直線，故②錯誤；
③若點C在線段AB上，AB＝2CB，則點C是AB的中點，故③錯誤；
④因為∠A＝20°15′，∠B＝20°15″，∠C＝20.15°＝20°9′，則有∠A＞∠C＞∠B，故④正確；
所以：正確的有1個，
故選：A．
【點評】本題考查了兩點間距離，直線的性質，線段中點的定義，角的大小比較，度分秒的換算，弄清這些數學概念是解題的關鍵．
5．（2024秋 平泉市期末）將一副三角尺按如圖的位置擺放，則∠α與∠β的大小關系正確的是（　　）
A．∠α＝∠β B．∠α＞∠β C．∠α＜∠β D．無法確定
【考點】角的大小比較．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】A
【分析】根據三角尺的度數求得∠α與∠β的度數，即可比較大小．
【解答】解：∵∠α+∠β+90°＝180°，
∴∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，
∵∠β＝45°，
∴∠α＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝∠β．
故選：A．
【點評】本題考查了角的大小比較，熟練掌握角的和差關系求角度是解題的關鍵．
6．（2024秋 訥河市期末）利用一副三角板上已知度數的角，不能畫出的角是（　?。?br/>A．15° B．100° C．165° D．135°
【考點】角的計算．
【答案】B
【分析】三角板畫的角只能是15°的整數倍
【解答】解：100°÷15°
故選：B．
【點評】本題考查角的計算，涉及三角板的性質．
7．（2025春 棲霞市期中）如圖，正方形的網格紙上每個小正方形的邊長都為1，則下列結論正確的是（　?。?br/>A．∠α＜∠β B．∠α＞∠β C．∠α＝∠β D．無法判斷
【考點】角的大小比較．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】B
【分析】將∠α平移，使∠α、∠β頂點重合，即可比較大?。?br/>【解答】解：將∠α平移，使∠α、∠β頂點重合，
∠β在∠α內部，
故選：B．
【點評】本題主要考查了角的大小關系，正確記憶相關知識點是解題關鍵．
8．（2025春 青山區期中）如圖，已知∠1＝25°，∠AOC＝90°，點B、O、D在同一條直線上，則∠2的度數為（　?。?br/>A．105° B．100° C．115° D．125°
【考點】角的計算．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】C
【分析】利用角的和差關系求得∠BOC的度數，再利用鄰補角的和為180°，即可求得∠2的度數．
【解答】解：∵∠BOC＝∠AOC﹣∠1，
∠1＝25°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣25°＝65°，
∵∠2＝180°﹣∠BOC，
∴∠2＝180°﹣65°＝115°．
故選：C．
【點評】本題考查了角的計算，熟練掌握角的和差關系是解題的關鍵．
二．填空題（共5小題）
9．（2024秋 威寧縣期末）已知∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，則∠AOD的度數是 　55°或85°　 ．
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】55°或85°．
【分析】分情況畫出圖形，射線OC在∠AOB內部，或射線OC在∠AOB外部，根據角的和差關系進行計算即可．
【解答】解：如圖1，射線OC在∠AOB內部，
∵OD平分∠BOC，∠BOC＝30°，
∴∠BOD∠BOC＝30°15°，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，
∠AOB＝70°，
∴∠AOD＝70°﹣15°＝55°；
如圖2，射線OC在∠AOB外部，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∠AOB＝70°，∠BOD＝15°，
∴∠AOD＝70°+15°＝85°，
綜上所述，∠AOD的度數是55°或85°．
故答案為：55°或85°．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，能夠分情況畫出圖形是解題的關鍵．
10．（2024秋 龍南市期末）以∠AOB的頂點O為端點引射線OP，使∠AOP：∠BOP＝3：2．若∠AOB＝45°，則∠AOP的度數為 　27°或135°　 ．
【考點】角的計算．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【答案】見試題解答內容
【分析】當OP在∠AOB內時，∠AOP＝45°27°；當PO在∠AOB外時，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP，則45°∠AOP，所以∠AOP＝135°．
【解答】解：當OP在∠AOB內時，
∵∠AOP：∠BOP＝3：2，∠AOB＝45°，
∴∠AOP＝45°27°；
當PO在∠AOB外時，
∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP，
∴45°∠AOP，
∴∠AOP＝135°，
故答案為：27°或135°．
【點評】本題考查角的計算；熟練掌握角的大小的計算方法，能夠分類討論是解題的關鍵．
11．（2024秋 東方期末）如圖，點A、O、B在一條直線上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，則圖中∠BOD＝　155　 °．
【考點】角平分線的定義．
【答案】見試題解答內容
【分析】利用鄰補角的定義即可解答．
【解答】解：∵∠AOC與∠BOC是鄰補角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD∠AOC＝25°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝130°+25°＝155°．
故答案為：155．
【點評】此題考查了鄰補角的定義，理解鄰補角的定義是解題的關鍵．
12．（2025 浦東新區校級模擬）在如圖所示的網格是正方形網格，點A、B、C、D、O均在格點（網格線交點）上，那么∠AOC ?。肌?∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【考點】角的大小比較．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．
【答案】＜．
【分析】通過圖示解決此題．
【解答】解：由圖可知，∠AOC＜∠BOD．
故答案為：＜．
【點評】本題主要考查角的大小比較，熟練掌握角的大小比較的方法是解決本題的關鍵．
13．（2025春 北京校級期中）如圖，∠AOB＝160°，∠DOB＝90°，若OD平分∠AOC，則∠COB的大小為 　20°　 ．
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】20°．
【分析】利用角的和差倍分關系求得∠AOC的度數，然后求差即可得到∠COB的大?。?br/>【解答】解：∵∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB，
∠AOB＝160°，
∠DOB＝90°，
∴∠AOD＝160°﹣90°＝70°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOD＝70°×2＝140°，
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝160°﹣140°＝20°．
故答案為：20°．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，熟練掌握角的和差倍分關系是解題的關鍵．
三．解答題（共2小題）
14．（2024秋 西陵區期末）如圖，點P在直線AB上，∠CPD＝90°．
（1）如圖1，若∠CPD在直線AB上方，∠APC＝50°，求∠BPD的度數；
（2）如圖2，若PC在直線AB上方，PD在直線AB下方，過點P分別作∠APC的平分線PE，∠BPD的平分線PF．求∠EPF的度數．
【考點】角的計算；角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】（1）40°；
（2）135°．
【分析】（1）利用平角是180°得∠APC+∠CPD+∠BPD＝180°，即可求得∠BPD的度數；
（2）利用角的和差關系分別表示∠EPC，∠FPC，然后求和即可．
【解答】解：（1）∵∠APC+∠CPD+∠BPD＝180°，
∠APC＝50°，∠CPD＝90°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APC﹣∠CPD＝180°﹣50°﹣90°＝40°，
即∠BPD的度數為40°；
（2）∵∠CPD＝90°，
∴∠BPC＝∠CPD﹣∠BPD＝90°﹣∠BPD，
∵∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠APC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°﹣∠BPD）＝90°+∠BPD，
∵PE平分∠APC，
∴∠EPC∠APC（90°+∠BPD），
∵PF平分∠BPD，
∴∠DPF∠BPD，
∴∠FPC＝∠CPD﹣∠DPF＝90°∠BPD，
∵∠EPF＝∠EPC+∠FPC，
∴∠EPF（90°+∠BPD）+90°∠BPD＝135°，
即∠EPF的度數為135°．
【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，熟練掌握角的和差倍分關系是解題的關鍵．
15．（2025春 高青縣期末）如圖所示，OE是∠AOD的平分線，OC是∠BOD的平分線．
（1）如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE是多少度？
（2）如果∠AOB＝130°，∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？
【考點】角平分線的定義．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【答案】（1）65度；
（2）85度．
【分析】（1）根據角平分線的定義求出∠DOE、∠COD的度數，即可求出∠COE的度數；
（2）根據角平分線的定義求出∠BOD的度數，結合∠AOB＝130°即可求出∠DOA的度數，于是求出∠DOE的度數，即可求出∠BOE的度數．
【解答】解：（1）∵OE是∠AOD的平分線，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵∠AOE＝45°，
∴∠DOE＝45°，
∵OC是∠BOD的平分線，
∴，
∵∠BOD＝40°，
∴∠COD＝20°，
∴∠COE＝∠DOE+∠COD＝45°+20°＝65°，
答：∠COE是65度；
（2）∵OC是∠BOD的平分線，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠COD＝20°，
∴∠BOC＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∵∠AOB＝130°，
∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝130°﹣40°＝90°，
∵OE是∠AOD的平分線，
∴∠DOE，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+45°＝85°，
答：∠BOE是85度．
【點評】本題考查了角平分線的定義，角的和差關系，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
考點卡片
1．直線、射線、線段
（1）直線、射線、線段的表示方法
①直線：用一個小寫字母表示，如：直線l，或用兩個大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．
②射線：是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如：射線l；用兩個大寫字母表示，端點在前，如：射線OA．注意：用兩個字母表示時，端點的字母放在前邊．
③線段：線段是直線的一部分，用一個小寫字母表示，如線段a；用兩個表示端點的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．
（2）點與直線的位置關系：①點經過直線，說明點在直線上；②點不經過直線，說明點在直線外．
2．直線的性質：兩點確定一條直線
（1）直線公理：經過兩點有且只有一條直線．
簡稱：兩點確定一條直線．
（2）經過一點的直線有無數條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．
3．線段的性質：兩點之間線段最短
線段公理
兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．
簡單說成：兩點之間，線段最短．
4．兩點間的距離
（1）兩點間的距離
連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．
（2）平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學習此概念時，注意強調最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離．
5．度分秒的換算
（1）度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具體換算可類比時鐘上的時、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法．
6．角平分線的定義
（1）角平分線的定義
從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．
（2）性質：若OC是∠AOB的平分線
則∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規作圖法等，要注意積累，多動手實踐．
7．角的計算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB．
（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除．
8．角的大小比較
（1）比較角的大小有兩種方法：
①測量法，即用量角器量角的度數，角的度數越大，角越大．
②疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置．
（2）表示法：
①∠AOB＞∠A′O′B′，
②∠AOB＝∠A′O′B′，
③∠AOB＜∠A′O′B′．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑