資源簡介

山西 2025-2026 學年上學期第一次月考卷
八年級數學（人教）
（考試時間：120 分鐘 試卷滿分：120 分）
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如
需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫
在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測試范圍：人教版 2024 八年級上冊第十三章三角形+第十四章全等三角形（14.1）。
第一部分（選擇題 共 30 分）
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3分，滿分 30 分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合
題目要求的）
1．如圖，若△ ≌△ ，C，D是對應頂點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．∠ 與∠ 是對應角 B．∠ 與∠ 是對應角
C． 與 是對應邊 D． 與 是對應邊
2．如圖，在△ 中， 是高， 是角平分線， 是中線．則下列結論錯誤的是（ ）
A． = B．∠ = ∠
C．∠ + ∠ = 90° D． △ = △
3．等腰三角形的兩邊長分別為 2cm和 5cm，則該三角形的周長為（ ）
A．9cm B．12cm C．9cm或 12cm D．11cm
4．如圖，把三角形紙片 分別沿 , 所在直線折疊，使得點 B，C都與點 A重合，若∠ = 100°，
則∠ 的度數為（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．如圖，在平面直角坐標系中，點 ， 的坐標分別是 2,0 ，0,3 ，若△ ≌△ ，則點 的坐標是（ ）
A． 5,3 B． 5,2 C． 2,5 D． 3,5
6．如圖，△ 中，∠ = 90°， = 3， = 4， = 5，P為直線 上一動點，連接 ，則線段
的最小值是（ ）
A．2.4 B．5 C．3 D．4
7．如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點 D在 邊上，且∠ = 45°，∠ = 30°．若 ∥ ，則∠
的度數是（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
8．如圖，等邊三角形 的邊長為 1cm，D，E分別是 , 上的點，將△ 沿直線 折疊，點 A落在
點 '處，且點 '在△ 外部，則陰影部分圖形的周長為（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
9．在△ 中， = 7， 邊上的中線 把△ 分成周長差為 5 的兩個三角形，則 的長為（ ）
A．2 B．19 C．2 或 19 D．2 或 12
10．已知△ 的三邊長分別為 3，5，7，△ 的三邊長分別為 3，3 2，2 1．若這兩個三角形全
等，則 的值為（ ）
A 7． B．4 C．3 D．不能確定
3
第二部分（非選擇題 共 90分）
二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分）
11．如圖，在△ 中， ⊥ 于點 D， 平分∠ ．若∠ = 65°，∠ = 41°，則∠ 的度數為 °．
12．一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力 的方向豎直向下，支持力 1的方向與斜面垂直，
摩擦力 2的方向與斜面平行．若斜面的坡角 = 35°，則摩擦力 2與重力 方向的夾角 的度數為
13．已知 、 、 是△ 的三邊，且均為正整數，若 、 滿足 5 + 6 2 = 0，則△ 周長的最
大值是 ．
14．如圖所示，長方形 的面積為 36 平方厘米， 、 、 分別為邊 、 、 的中點， 為 邊上任
意一點，則陰影部分的面積是 平方厘米．
15．如圖， = 6cm， = 8cm，∠ = ∠ ，如果點 P在線段 上以 2cm/秒的速度由 B點向 C點運動，
同時，點 Q從 C點出發沿射線 運動，若經過 t秒后，△ 與△ 全等，則 t的值是 ．
三、解答題（本大題共 8 小題，滿分 75 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16．如圖，在△ 中， ⊥ 于點 D，點 E在 邊上，連接 交 于點 F，△ ≌△ ．
(1)若 = 4， = 12，求△ 的面積；
(2)試判斷 與 之間的位置關系，并說明理由．
17．【圖形定義】
有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．
例如：如圖①．在△ 和△ ' ' '中， , ' '分別是 和 ' '邊上的高線，且 = ' '，則△ 和
△ ' ' '是等高三角形．
【性質探究】
如圖①，用 △ ， △ ' ' '分別表示△ 和△ ' ' '的面積．
1 1
則 ' ' '△ = , △ ' ' ' = '，2 2
∵ = ' '
∴ △ : △ ' ' = : ' '．
【性質應用】
(1)如圖②，D是△ 的邊 上的一點．若 = 3, = 4，則 △ : △ =__________；
(2)如圖③，在△ 中，D，E分別是 和 邊上的點．若 : = 1: 2， : = 1: 3， △ = 1，則
△ =__________， △ =_________；
(3)如圖③，在△ 中，D，E分別是 和 邊上的點，若 : = 1: ， : = 1: ， △ = ，則
△ =__________．
18．已知：△ 的三邊長分別為 a，b，c．
(1)化簡： + + + + + ；
(2)若 a，b，c滿足 + 2 = 0，試判斷△ 的形狀．
19．如圖，在△ 中， 為邊 上的高， 為∠ 的平分線，點 E為邊 上的一點，連接 交 于
點 O．
(1)當 為邊 上的中線時，若 = 8，△ 的面積為 36，求 的長．
(2)當 為∠ 的平分線時，若∠ = 70°，求∠ 的度數．
20．△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．
（1）如圖 1，若∠B＝40°，∠C＝60°，請說明∠DAE的度數；
（2）如圖 2（∠B＜∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數量關系；
（3）如圖 3，延長 AC到點 F，∠CAE和∠BCF的角平分線交于點 G，請直接寫出∠G的度數 ．
21．如圖①，已知線段 , 相交于點 ，連接 , ，則我們把形如這樣的圖形稱為“8 字型”．
(1)求證：∠ + ∠ = ∠ + ∠ ；
(2)如圖②，求∠ + ∠ + ∠ + ∠ ∠ 的度數；
(3)如圖③，若∠ 和∠ 的平分線 和 相交于點 ，且與 , 分別相交于點 , ．
①以線段 為邊的“8 字型”有___________個，以點 為交點的“8 字型”有___________個；
②若∠ = 100°，∠ = 120°，求∠ 的度數．
22．如圖，在△ 中，∠ = 50°．
(1)如圖①，若 是∠ ，∠ 的平分線的交點，則∠ = °;
(2)如圖②，若 是△ 的外角平分線的交點，則∠ = °;
(3)如圖③，點 在 的延長線上，若 是∠ ，∠ 的平分線的交點，探索∠ 與∠ 的數量關系，
并說明理由;
(4)在（3）的條件下，若 ∥ ，求∠ 的度數．
23．如圖，在 Rt △ 中，∠ = 90°，D是 上一點，且∠ = ∠ ．
(1)求證： ⊥
(2)如圖②，若∠ 的平分線分別交 ， 于點 E，F，求證：∠ = ∠ ；
(3)如圖③，若 E為 上一點， 交 于點 F， = 3 ， = 4 ， △ = 36．
①求 △ △ 的值；
②四邊形 的面積是______．山西 2025-2026學年上學期第一次月考卷
八年級數學參考答案
目要求的）
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3分，共 30 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D B A B A C A D C
二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）
11．12 12．125°/125度 13．21
14．18 15．1 或 2/2 或 1
三、解答題：本大題共 8 小題，共 75 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16．（7 分）
【詳解】（1）解：：∵△ ≌△ ，
∴ = ．
又∵ = 12，
∴ = = 12．
又∵ = 4，
∴ = + = 16．
∴ △ =
1 = 1 × 16 × 12 = 96；…………………………………3 分
2 2
（2）解： ⊥ ．
理由：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°．
∴ ∠ = 180° ∠ + ∠ = 90°．
∴ ⊥ ．…………………………………7 分
17．（7分）
【詳解】（1）解：如圖，過點 A 作 AE⊥BC，
則 △ =
1 1， △ = 2 2
∵AE=AE，
∴ △ : △ = : = 3: 4．…………………………………1 分
（2）解：∵△ 和△ 是等高三角形，
∴ △ : △ = : = 1: 2，
∴ 1 1 1△ = △ = × 1 = ；…………………………………3分2 2 2
∵△ 和△ 是等高三角形，
∴ △ : △ = : = 1: 3，
∴ △ =
1 △ =
1 × 1 = 1．…………………………………5分
3 3 2 6
（3）解：∵△ 和△ 是等高三角形，
∴ △ : △ = : = 1: ，
∴ △ =
1 1
△
= × = ；

∵△ 和△ 是等高三角形，
∴ △ : △ = : = 1: ，
∴ = 1 1 △ △ = × = ．…………………………………7 分
18．（8分）
【詳解】（1）解：∵ , , △ 三邊長，
∴ + + > 0, + > 0, < 0, + < 0
∴ + + + + +
= + + + + + ．
= + + + + + +
= 2 + 4 ；…………………………………4分
（2）解：∵ + 2 = 0 且 ≥ 0， 2 ≥ 0，
∴ = 0 且 = 0
∴ = 且 = ，即 = =
∴△ 等邊三角形．…………………………………8 分
19．（8分）
【詳解】（1）解：∵ 為邊 上的高，
∴ △ =
1 ，
2
∵ = 8，△ 的面積為 36，
∴ = 2 △ = 2×36 = 9，
8
∵ 為邊 上的中線，
1 9
∴ = = ；…………………………………4分
2 2
（2）解：∵∠ = 70°，
∴∠ + ∠ = 180° ∠ = 180° 70° = 110°，
∵ 為∠ 的平分線， 為∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ ，
2 2
∴∠ + ∠ = 1 ∠ + ∠ = 1 × 110° = 55°，
2 2
∴∠ = ∠ + ∠ = 55°．…………………………………8 分
20．（9分）
【詳解】解：（1）∵ ∠ = 40°, ∠ = 60°, ∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴ ∠ = 80°
∵ 是 的高，
∴ ∠ = 90°,
∵ ∠ = 60°,
∴ ∠ = 90° 60° = 30°
∵ 是∠ 的角平分線，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 40°，
2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 10°．…………………………………3 分
（2）∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180°,
∴ ∠ = 180° ∠ ∠
∵ 是 的高，
∴ ∠ = 90°,
∴ ∠ = 90° ∠
∵ 是∠ 的角平分線，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ ，
2
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ 90° ∠
2
1
= 180° ∠ ∠ 90° + ∠
2
1 1
= ∠ ∠
2 2
即∠ = 1∠ 1∠ ；…………………………………7 分
2 2
（3）∵ ∠ 和∠ 的角平分線交于點 ，
∴ ∠ = 2∠ , ∠ = 2∠
∵ ∠ = ∠ ∠ , ∠ = ∠ ∠
∴ 2∠ ∠ = 2 ∠ ∠ = 2∠ 2∠ ，即∠ = 2∠ ，
∵ 是 的高，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 45°．
故答案為：45°．…………………………………9 分
21．（10分）
【詳解】（1）證明：∠ + ∠ = 180° ∠ ，∠ + ∠ = 180° ∠ ，且∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ．…………………………………2 分
（2）解：∵ ∠ + ∠ = ∠ = 180° ∠1，∠ + ∠ = ∠ = 180° ∠2，
∴ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ ∠ = 360° ∠1 + ∠2 + ∠ = 180°．…………………………………4 分
（3）解：①以線段 為邊的“8 字形”有：
， ， ，共 3 個；
以點 O 為交點的“8 字形”有：
， ， ， ，共 4 個．
故答案為：3；4；…………………………………6 分
②解：∵以點 為交點的“8 字型”中，
有∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
以點 為交點的“8 字型”中，
有∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ 2∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ ．
∵ , 分別平分∠ 和∠ ，
∴ ∠ = ∠ , ∠ = ∠ ，
∴ 2∠ = ∠ + ∠ ．
∵ ∠ = 100°, ∠ = 120°，
1
∴ ∠ = × 100° + 120°
2
= 110°．…………………………………10 分
22．（12分）
【詳解】（1）解：∵∠ + ∠ + ∠ = 180°，∠ = 50°，
∴∠ + ∠ = 130°．
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ ．
2
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ ．
2
∴∠ + ∠ = 1 ∠ + ∠ = 1 × 130° = 65°．
2 2
∴∠ = 180° ∠ + ∠ = 180° 65° = 115°．
故答案為：115．…………………………………2 分
（2）解：∵∠ 是△ 的外角，
∴∠ = ∠ + ∠ ．
∵∠ 是△ 的外角，
∴∠ = ∠ + ∠ ．
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180° + ∠ = 180° + 50° = 230°．
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ ．
2
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ ．
2
∴∠ + ∠ = 1 ∠ + ∠ = 1 × 230° = 115°．
2 2
∴∠ = 180° ∠ + ∠ = 180° 115° = 65°．
故答案為：65．…………………………………4 分
（3）解：∠ = 2∠ ，理由如下：
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ ．
2
∵∠ 是△ 的外角，
∴∠ = ∠ + ∠ ．
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 1∠ = 1 ∠ + ∠ = 1∠ + 1∠ ．
2 2 2 2
∵∠ 是△ 的外角，
∴∠ = ∠ + ∠ ．
∴1∠ + 1∠ = 1∠ + ∠ ．
2 2 2
∴∠ = 2∠ ．…………………………………9 分
（4）解：∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ = 50°，
∴ ∠ = 2∠ = 100°，
∴ ∠ = 180° ∠ = 80°。…………………………………12 分
23．（13分）
【詳解】（1）證明：∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴ ⊥ ，…………………………………3 分
（2）證明：∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，
而∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ；…………………………………7 分
（3）①∵ = 3 ， = 4 ， △ = 36，
∴ = 1 1△ △ = 9， △ = △ = 12，4 3
∴ △ △ = △ △ = 12 9 = 3；…………………………………10 分
②如圖，連接 ，
設 △ = ，
則 △ = 3 + ，
∵ = 4 ，
∴ △ = 3 ，
∵ = 3 ，
∴ △ = 2( + 3) = 2 + 6，
∵ △ +
3
△ + △ = 4 △ ，
∴ + 3 + 2 + 6 + 3 = 3 × 36，
4
解得 = 3，
∴四邊形 的面積= 3 + 2 + 6 = 21，
故答案為：21．…………………………………14 分

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