資源簡介

廣東省深圳市2017年啟智杯小學五六年級數學思維及應用能力競賽（A2組）
1．（2017·深圳競賽）請你用5個8通過加減乘除四則運算、開平方運算以及加括弧分別得到結果1、3、5、7、9.(注：⑴如果正整數m的平方為n，則稱對n開平方得m，記作 比如， ⑵每個結果寫出一個算式。)
2．（2017·深圳競賽）在如下的乘法豎式中，每一個漢字代表一個不同的數字，請求出每個漢字所代表的數字，以使算式成立，寫出這個算式，并說明理由。
3．（2017·深圳競賽）下述式子是正確的
根據以上三個等式，你發現了什么規律？ 請按照這種規律，寫出第2017個等式。
4．（2017·深圳競賽）有一個邊長為兩位數的正方形，其面積與邊長之差是10的倍數； 邊長是3的倍數但不是6的倍數、也不是5的倍數，其十位數是奇數.問邊長是多少？ 給出你的答案，說明你的理由。
5．（2017·深圳競賽）甲乙兩人同時沿400米跑道散步和慢跑.甲順時針散步，每圈用時5分鐘，乙逆時針慢跑，每圈用時3分鐘，問：出發之后的50分鐘內，甲乙途中總共相遇幾次？ 寫出答案與理由。
6．（2017·深圳競賽）下圖中直角三角形PQR 面積為1， P1是線段PQ的中點， P2是線段 的中點，P3是線段 P2Q 的中點，P4是線段 P3Q 的中點，以此類推. 請觀察圖形的面積變化情況，你認為算式 的值與 這四個數值的哪一個最接近？ 請寫出答案，并說明理由。
7．（2017·深圳競賽）下圖中ABCD和DEFG是兩個不等的正方形， 連接BE 交 DG于 H， 如果 的面積為8，問△DHF的面積為多少？ 給出答案，并說明理由。
8．（2017·深圳競賽）在如下的方框內分布著從1到81的81個數，這些數有一定的排列規則.有人根據這些數的位置情況用只含有1、2、3的四元有序數組(m，n； k，l)來記錄這些數， 他把2記作(1，1；1，2)，把50記作(2，3；2，2)，把66記作(3，2；1，3)，把58記作(3，1；2，1).請問，按照這種記法，(1，2；3，3)代表哪個數？ 78可以記作什么？ 請說明這81個數的排列規則。
1 2 3 　 10 11 12 　 19 20 21
4 5 6 13 14 15 22 23 24
7 8 9 16 17 18 25 26 27
　 　 　
28 29 30 37 38 39 46 47 48
31 32 33 40 41 42 49 50 51
34 35 36 43 44 45 52 53 54
　 　 　
55 56 57 64 65 66 73 74 75
58 59 60 67 68 69 76 77 78
61 62 63 70 71 72 79 80 81
9．（2017·深圳競賽）在一副撲克牌中隨便取出32張按照一定順序排成一疊，然后進行如下操作：
⑴把它們平均分為上下兩疊各16張。
⑵將上下兩疊交叉洗牌：下一疊的第1張放在上一疊的第1張上面，下一疊的第2張放在上一疊的第2張上面，如此繼續，直到把下一疊的第16 張放在上一疊的第16張上面，兩疊合并為一疊。
經過這樣一輪操作，得到一個新的順序.問：如此下去，經過多少輪操作，可以使這32張牌恢復到最初狀態？ 給出你的答案，不必說明理由。
10．（2017·深圳競賽）如圖 (示意圖，不準) ，矩形 (即四個角都是直角的四邊形) ABCD被6條直線(三橫三豎)分成了16個小長方形，已知其中四個小長方形的長、寬分別是1和2、3和4、5和6、7和8，每個小長方形可能是橫著的，也可能是豎著的.請問：
（1）矩形ABCD的周長是多少？
（2）矩形ABCD 的最大可能的面積是多少？
11．（2017·深圳競賽）有ABC 三家快遞公司對同城快遞的定價標準如下：
A公司：首2公斤6元，以后每公斤或其零頭2.2元，總量超過30公斤時超重部分每公斤2.5元；
B公司：首2公斤12元，以后每公斤或其零頭2.1元，不限總量；
C公司：以實際重量計數，每公斤2.4元，起步不足2公斤者以2公斤計。
張先生要快遞41.5公斤貨物，可以拆分. 請問他至少要支付多少快遞費？ 說明你的理由。
12．（2017·深圳競賽）子恒同學編了一個電腦游戲小程序，游戲最開始有紅、黃、藍精靈各2017個，任意兩個精靈碰在一起會合并為一個精靈，規則為：紅色精靈遇到任何顏色(包括紅、黃、藍) 的精靈都會被對方吃掉，留下對方； 兩黃色精靈相碰合并一個藍色精靈，兩藍色精靈相碰合并一個黃色精靈； 藍色精靈與黃色精靈相碰合并成一個紅色精靈.游戲持續進行，直到最后只剩一個精靈，游戲結束.問：
（1）游戲從開始到結束，精靈總共碰了多少次？
（2）最后剩下的一個精靈是什么顏色？ 請給出答案，并說明理由。
答案解析部分
1．【答案】解：答案不唯一，以下是一種答案。
8-[(8+8+8)÷8]=5；
8-[(8+8)÷(8+8)]=7；
8+[(8×8)÷(8×8)]=9。
【知識點】填符號組算式；100以內數的四則混合運算
【解析】【分析】本題主要考查對四則運算、開平方運算以及括號的靈活運用，通過嘗試不同的組合方式來得到指定的結果。
2．【答案】解：第一步：分析個位數字
被乘數個位是7，乘數是6，7×6=42，所以積的個位 “題” 代表2，并且向十位進4。
第二步：分析十位數字
被乘數十位是 “解”，設 “解” 為x，則x×6+4的結果個位是 “難”，且向百位進k（k為整數）。
第三步：分析千位和萬位數字
被乘數是四位數 “題難解7”，即2（題）、n（難）、x（解）、7，乘數是6，積是五位數 “解題解難題”，即x（解）、2（題）、x（解）、n（難）、2（題）。
因為四位數乘6得五位數，所以被乘數的千位 “題”（2）乘6得12，所以積的萬位 “解” 就是1，即 “解”=1。
第四步：確定 “難” 的值
現在知道 “解”=1，“題”=2。回到十位，被乘數十位是1，1×6+4=10，所以積的十位 “難”=0，并且向百位進1。
第五步：驗證百位數字
被乘數百位是 “難”（0），0×6+1=1，積的百位是 “解”（1），符合。
即 “題”=2，“難”=0，“解”=1。
答：算式是2017×6=12102。
【知識點】豎式數字謎
【解析】【分析】6×7=42， 得題=2； 從而 “6× (題難解7)”的萬位數為1， 即 解=1； 從而可得難=0
3．【答案】解：觀察三個等式：
對于(1)可變形為12+22+(1×2)2=(1×2+1)2。
對于(2)可變形為22+32+(2×3)2=(2×3+1)2。
對于(3)可變形為32+42+(3×4)2=(3×4+1)2。
總結規律：對于正整數n，有n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2。
當n=2017時，代入上述規律：
等式左邊為20172+20182+(2017×2018)2。
等式右邊為(2017×2018+1)2。
所以第 2017 個等式為20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
答：規律為第n個式子為 ；第2017個等式為20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
【知識點】算式的規律
【解析】【分析】分析左邊三個數的規律：
第一個數依次為 1 ， 2 ， 3 ，對應第n個式子的n ；
第二個數依次為 2 ， 3 ， 4 ，對應 n+ 1 ；
第三個數依次為 2 ， 6 ， 12 ，可發現 2 = 1 × 2 ， 6 = 2 × 3 ， 12 = 3 × 4 ，即 n ( n + 1 ) ；
右邊數依次為 3 ， 7 ， 13 ，對應 3 = 1 × 2 + 1 ， 7 = 2 × 3 + 1 ， 13 = 3 × 4 + 1 ，即 n ( n + 1 ) + 1 。
根據上述規律，第n個等式可表示為：n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2；再將n=2017代入即可求出結果。
4．【答案】解：（1）其面積與邊長之差是10的倍數，意味著面積的個位數與邊長的個位數相同，說明邊長個位數只能是0、1、5、6；
（2） 邊長不是5的倍數，說明個位數只能是1和6；
（3）邊長是3的倍數但不是6的倍數，說明邊長是奇數、個位數是1，且兩位之和是3的倍數，只有21、51或81；
（3） 十位數是奇數，只有51。
答： 邊長是51。
【知識點】特殊數的整除特征；邏輯推理；整除的性質及應用
【解析】【分析】 本題需要根據多個條件逐步確定正方形的邊長。首先根據面積與邊長之差是 10 的倍數縮小范案。再結合邊長是 3 的倍數但不是 6 的倍數、也不是 5 的倍數以及十位數是奇數這些條件確定最終答案。
5．【答案】解：甲的速度：4005= 80 米/分鐘。 乙逆時針慢跑，每圈3分鐘，速度為米/分鐘。
因方向相反，相對速度為 80 +=米/分鐘。
相遇時間間隔為： 400=分鐘。
50分鐘內，相遇次數為：5026.66
所以相遇次數為26次（這里取整數部分，因為不足一圈不能算相遇一次）。
答： 甲乙途中總共相遇26次。
【知識點】相遇問題；多次相遇與追及
【解析】【分析】首先需要求出甲和乙的速度，確定相遇時間間隔，再統計50分鐘內的相遇次數。
6．【答案】解：從左至右，第一塊黑色三角形面積是整個大直角三角形△PQR面積的1/4，
第二塊黑色三角形的面積是接下來的直角三角形(原直角三角形面積的四分之一)面積的1/4，以此類推， …， 那么， 和式 接近于所有黑色三角形面積之和，
每一塊黑色的三角形面積都是所在梯形面積的1/3，而這些梯形面積之和接近APQR 面積1，故
答： 與最接近。
【知識點】等比數列
【解析】【分析】 該和式為等比數列的前2017項和，公比為。由于項數極大（2017項），其值趨近于無窮級數的和。需先計算無窮級數的和，再分析有限項與無窮和的差值，從而確定最接近的數值。
7．【答案】解： ⑴
如圖，連接BD，BG，則△EDB、△DGB是兩個等底等高的三角形，二者面積相等即 ⑵
又 ⑶
所以由⑵得 ⑷
又因為△CHG與△BHG是兩個等底等高的三角形，二者面積相等，都為8，
所以由⑷得
答： △DHF的面積為8。
【知識點】組合圖形面積的巧算；代換問題
【解析】【分析】 本題涉及兩個不等的正方形ABCD和DEFG，如圖連接BD，BG，已知△CHG的面積為8，求△DHF的面積。通過分析圖形的對稱性及面積關系，利用同底等高或等面積轉換進行推導。
8．【答案】解：對于(1，2；3，3)：第 1 個小方陣是左上角 1 - 9 的 3×3 方陣，第 2 行第 3 列的數是 8。
對于 78：找到 78 所在位置，它在第 8 個小方陣（從左到右、從上到下數），小方陣內第 2 行第 3 列，所以記作(3，2；2，3)。
排列規則：81個小方格分為9塊，3行3列； 每一塊里面有9個方格， 3行3列。四元有序數組的前兩個代表依次代表該數所在塊位于的行數和列數，后兩個依次代表該數在該塊內的行數和列數。
【知識點】變形方陣問題
【解析】【分析】首先分析排列規則：將 81 個數按 9×9 的方陣，劃分成 9 個 3×3 的小方陣，從左到右、從上到下依次為第 1 到第 9 個小方陣。四元有序數組(m，n；k，l)中，m表示第m個小方陣，n表示小方陣內的行（從 1 到 3），k表示小方陣內的列（從 1 到 3），l暫時輔助理解位置對應關系，數的計算可通過確定小方陣位置和小方陣內行列來確定。
9．【答案】答：經過10輪操作，可以使這32張牌恢復到最初狀態。
【知識點】邏輯推理；數列中的規律
【解析】【分析】要解決 “32 張牌交叉洗牌后恢復初始狀態的輪數” 問題，核心是分析每張牌的位置循環規律，可通過 “位置編號變換” 推導。
設 32 張牌的初始位置為 1~32 號（從頂部第 1 張到底部第 32 張），第一輪操作后牌序為：17，1，18，2，19，3，20，4，21，5，22，6，23，7，24，8，25，9，26，10，27，11，28，12，29，13，30，14，31，15，32，16
第二輪操作后牌序為：25，17，9，1，26，18，10，2，27，19，11，3，28，20，12，4，29，21，13，5，30，22，14，6，31，23，15，7，32，24，16，8
第三輪操作后牌序為：29，25，21，17，13，9，5，1，30，26，22，18，14，10，6，2，31，27，23，19，15，11，7，3，32，28，24，20，16，12，8，4
第四輪操作后牌序為：31，29，27，25，23，21，19，17，15，13，11，9，7，5，3，1，32，30，28，26，24，22，20，18，16，14，12，10，8，6，
第五輪操作后牌序為：
32，31，30，29，28，27，26，25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1
經過5輪操作后，牌序為倒序，所以再經過5輪后這32張牌恢復到最初狀態。
所以 經過10輪操作，可以使這32張牌恢復到最初狀態。
10．【答案】解：（1）計算矩形ABCD的周長設三橫的長度分別為a、b、c，三豎的長度分別為d、e、f。已知四個小長方形的長、寬分別是1和2、3和4、5和6、7和8。不管小長方形是橫放還是豎放，矩形ABCD的長為d+e+f，寬為a+b+c。而所有小長方形的長之和為1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小長方形的寬之和也為36。所以矩形ABCD的長與寬之和為36，根據長方形周長公式C=2×(長+寬)，可得周長C=2×36=72。(2) 計算矩形ABCD的最大可能面積根據均值不等式，當長和寬越接近時，長方形的面積越大。因為長與寬之和為36，當長=寬=18時，面積最大，最大面積S=18×18=324。答：（1）矩形ABCD的周長是72；(2) 矩形ABCD的最大可能的面積是324。
（1）解：計算矩形ABCD的周長
設三橫的長度分別為a、b、c，三豎的長度分別為d、e、f。
已知四個小長方形的長、寬分別是1和2、3和4、5和6、7和8。
不管小長方形是橫放還是豎放，矩形ABCD的長為d+e+f，寬為a+b+c。
而所有小長方形的長之和為1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小長方形的寬之和也為36。
所以矩形ABCD的長與寬之和為36，根據長方形周長公式C=2×(長+寬)，可得周長C=2×36=72。
答：矩形ABCD的周長是72。
（2）解：計算矩形ABCD的最大可能面積
根據均值不等式，當長和寬越接近時，長方形的面積越大。
因為長與寬之和為36，當長=寬=18時，面積最大，最大面積S=18×18=324。
答： 矩形ABCD的最大可能的面積是324。
【知識點】長方形的周長；最大與最小；長方形的面積；組合
【解析】【分析】（1） 已知四個小長方形的邊長分別為1和2、3和4、5和6、7和8。 本題需注意每個小長方形的邊可能橫放或豎放。確定所有橫向和縱向的邊長之和.即可求出周長。
（2）如何分配這些邊使得面積最大，即： 當長和寬越接近時，長方形的面積越大。
11．【答案】解：⑴由于單價C公司最高，所以當貨物較多時不適合用C公司，A公司首付低，但后續單價高，超過30公斤價格更高，不適合超重數量的貨物快遞。所以首先比較30公斤貨物的快遞價格：
A公司： 6+2.2×28=6+61.6=67.6 (元)
B公司： 12+2.1×28=12+58.8=70.8 (元)
C公司： 2.4×30=72(元)
可見在30公斤時A公司最省。
⑵剩余11.5公斤，如果不加拆分，有三種選擇，價格分別為：
A公司： 6+2.2×10=6+22=28 (元)
B公司： 12+2.1×10=12+21=33 (元)
C公司： 2.4×11.5=27.6(元)
C最省。此時結合⑴，全部貨物最少支付95.2元快遞費。
⑶如果把 11.5公斤繼續拆分，則可能避開的是 C 組的高單價。在9 公斤的時候，A公司費用為 6+6+2.2×7=6+15.4=21.4 (元)， 比在C公司的2.4×9=21.6(元)低0.2元。價格最低。
答：最佳方案是30公斤、9公斤通過A公司快遞，2.5 公斤通過C公司承運。 至少要支付多少快遞費95元。
【知識點】最佳方案：最省錢問題；分段計費問題
【解析】【分析】解題核心是拆分貨物并分別匹配三家公司的定價優勢，先明確各公司的成本劣勢與優勢區間，再將總重量拆分為對應區間，計算最低總費用。
12．【答案】（1）解：初始總數：紅、黃、藍精靈各 2017 個，總數量為 2017+2017+2017=6051 個。
最終總數：游戲結束時只剩 1 個精靈，總數量為 1 個。
從初始的 6051 個精靈減少到 1 個精靈，總共減少的數量為 6051 1=6050 個。
由于每碰撞 1 次減少 1 個精靈，因此碰撞次數 = 減少的總數 = 6050 次。
答：游戲從開始到結束，精靈總共碰了6050次。
（2）解：由于紅精靈遇到任何顏色的精靈都會被對方吃掉 (剩下對方顏色的精靈)，紅精靈只有1個或者干脆沒有 (0個)。考慮其它2017個藍精靈、2017個黃精靈。為方便起見，分別用A、B、C代表紅、黃、藍精靈， 用AB表示A、B兩精靈相碰， 于是有AB=B，AC=C，BB=C， CC=B， BC=CB=A。
其次，證明任何三個精靈先后相碰，與順序無關，(結合律)
⑴三個黃色的或三個藍色的先后相碰，結果自然與順序無關，結果都是紅色：(BB) B=CB =BC=B (BB) =A， (CC) C=BC=CB=C (CC) =A， 。
⑵兩個黃色與一個藍色或兩個藍色與一個黃色的相碰，結果也與順序無關， B(BC)=BA=B； (CC)B=BB=C， C(CB)=CA=C。
這說明這些精靈在相碰的時候，最終結果與誰與誰先碰無關。全部藍色依次相碰，每三個藍色得到一個紅色，2017個藍色共得到2016÷3=672個紅色和一個藍色，紅色相碰只得到紅色，直至剩下一個藍色；類似地，全部黃色依次相碰，直至剩下一個黃色； 最后，兩個黃藍相碰，最終剩下紅色。
答：最后剩下的一個精靈是什么紅色。
【知識點】奇數和偶數；數列中的規律
【解析】【分析】（1），每次碰撞都會減少一個精靈，初始總數為3×2017=6051，最終剩1個，故總碰撞次數為6051 1=6050次。
（2）需分析顏色變化的奇偶性及守恒量。通過觀察碰撞規則，發現紅色精靈的存在會改變黃藍數量的奇偶性，但可能通過模2分析確定最終顏色。
1 / 1廣東省深圳市2017年啟智杯小學五六年級數學思維及應用能力競賽（A2組）
1．（2017·深圳競賽）請你用5個8通過加減乘除四則運算、開平方運算以及加括弧分別得到結果1、3、5、7、9.(注：⑴如果正整數m的平方為n，則稱對n開平方得m，記作 比如， ⑵每個結果寫出一個算式。)
【答案】解：答案不唯一，以下是一種答案。
8-[(8+8+8)÷8]=5；
8-[(8+8)÷(8+8)]=7；
8+[(8×8)÷(8×8)]=9。
【知識點】填符號組算式；100以內數的四則混合運算
【解析】【分析】本題主要考查對四則運算、開平方運算以及括號的靈活運用，通過嘗試不同的組合方式來得到指定的結果。
2．（2017·深圳競賽）在如下的乘法豎式中，每一個漢字代表一個不同的數字，請求出每個漢字所代表的數字，以使算式成立，寫出這個算式，并說明理由。
【答案】解：第一步：分析個位數字
被乘數個位是7，乘數是6，7×6=42，所以積的個位 “題” 代表2，并且向十位進4。
第二步：分析十位數字
被乘數十位是 “解”，設 “解” 為x，則x×6+4的結果個位是 “難”，且向百位進k（k為整數）。
第三步：分析千位和萬位數字
被乘數是四位數 “題難解7”，即2（題）、n（難）、x（解）、7，乘數是6，積是五位數 “解題解難題”，即x（解）、2（題）、x（解）、n（難）、2（題）。
因為四位數乘6得五位數，所以被乘數的千位 “題”（2）乘6得12，所以積的萬位 “解” 就是1，即 “解”=1。
第四步：確定 “難” 的值
現在知道 “解”=1，“題”=2。回到十位，被乘數十位是1，1×6+4=10，所以積的十位 “難”=0，并且向百位進1。
第五步：驗證百位數字
被乘數百位是 “難”（0），0×6+1=1，積的百位是 “解”（1），符合。
即 “題”=2，“難”=0，“解”=1。
答：算式是2017×6=12102。
【知識點】豎式數字謎
【解析】【分析】6×7=42， 得題=2； 從而 “6× (題難解7)”的萬位數為1， 即 解=1； 從而可得難=0
3．（2017·深圳競賽）下述式子是正確的
根據以上三個等式，你發現了什么規律？ 請按照這種規律，寫出第2017個等式。
【答案】解：觀察三個等式：
對于(1)可變形為12+22+(1×2)2=(1×2+1)2。
對于(2)可變形為22+32+(2×3)2=(2×3+1)2。
對于(3)可變形為32+42+(3×4)2=(3×4+1)2。
總結規律：對于正整數n，有n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2。
當n=2017時，代入上述規律：
等式左邊為20172+20182+(2017×2018)2。
等式右邊為(2017×2018+1)2。
所以第 2017 個等式為20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
答：規律為第n個式子為 ；第2017個等式為20172+20182+(2017×2018)2=(2017×2018+1)2。
【知識點】算式的規律
【解析】【分析】分析左邊三個數的規律：
第一個數依次為 1 ， 2 ， 3 ，對應第n個式子的n ；
第二個數依次為 2 ， 3 ， 4 ，對應 n+ 1 ；
第三個數依次為 2 ， 6 ， 12 ，可發現 2 = 1 × 2 ， 6 = 2 × 3 ， 12 = 3 × 4 ，即 n ( n + 1 ) ；
右邊數依次為 3 ， 7 ， 13 ，對應 3 = 1 × 2 + 1 ， 7 = 2 × 3 + 1 ， 13 = 3 × 4 + 1 ，即 n ( n + 1 ) + 1 。
根據上述規律，第n個等式可表示為：n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2；再將n=2017代入即可求出結果。
4．（2017·深圳競賽）有一個邊長為兩位數的正方形，其面積與邊長之差是10的倍數； 邊長是3的倍數但不是6的倍數、也不是5的倍數，其十位數是奇數.問邊長是多少？ 給出你的答案，說明你的理由。
【答案】解：（1）其面積與邊長之差是10的倍數，意味著面積的個位數與邊長的個位數相同，說明邊長個位數只能是0、1、5、6；
（2） 邊長不是5的倍數，說明個位數只能是1和6；
（3）邊長是3的倍數但不是6的倍數，說明邊長是奇數、個位數是1，且兩位之和是3的倍數，只有21、51或81；
（3） 十位數是奇數，只有51。
答： 邊長是51。
【知識點】特殊數的整除特征；邏輯推理；整除的性質及應用
【解析】【分析】 本題需要根據多個條件逐步確定正方形的邊長。首先根據面積與邊長之差是 10 的倍數縮小范案。再結合邊長是 3 的倍數但不是 6 的倍數、也不是 5 的倍數以及十位數是奇數這些條件確定最終答案。
5．（2017·深圳競賽）甲乙兩人同時沿400米跑道散步和慢跑.甲順時針散步，每圈用時5分鐘，乙逆時針慢跑，每圈用時3分鐘，問：出發之后的50分鐘內，甲乙途中總共相遇幾次？ 寫出答案與理由。
【答案】解：甲的速度：4005= 80 米/分鐘。 乙逆時針慢跑，每圈3分鐘，速度為米/分鐘。
因方向相反，相對速度為 80 +=米/分鐘。
相遇時間間隔為： 400=分鐘。
50分鐘內，相遇次數為：5026.66
所以相遇次數為26次（這里取整數部分，因為不足一圈不能算相遇一次）。
答： 甲乙途中總共相遇26次。
【知識點】相遇問題；多次相遇與追及
【解析】【分析】首先需要求出甲和乙的速度，確定相遇時間間隔，再統計50分鐘內的相遇次數。
6．（2017·深圳競賽）下圖中直角三角形PQR 面積為1， P1是線段PQ的中點， P2是線段 的中點，P3是線段 P2Q 的中點，P4是線段 P3Q 的中點，以此類推. 請觀察圖形的面積變化情況，你認為算式 的值與 這四個數值的哪一個最接近？ 請寫出答案，并說明理由。
【答案】解：從左至右，第一塊黑色三角形面積是整個大直角三角形△PQR面積的1/4，
第二塊黑色三角形的面積是接下來的直角三角形(原直角三角形面積的四分之一)面積的1/4，以此類推， …， 那么， 和式 接近于所有黑色三角形面積之和，
每一塊黑色的三角形面積都是所在梯形面積的1/3，而這些梯形面積之和接近APQR 面積1，故
答： 與最接近。
【知識點】等比數列
【解析】【分析】 該和式為等比數列的前2017項和，公比為。由于項數極大（2017項），其值趨近于無窮級數的和。需先計算無窮級數的和，再分析有限項與無窮和的差值，從而確定最接近的數值。
7．（2017·深圳競賽）下圖中ABCD和DEFG是兩個不等的正方形， 連接BE 交 DG于 H， 如果 的面積為8，問△DHF的面積為多少？ 給出答案，并說明理由。
【答案】解： ⑴
如圖，連接BD，BG，則△EDB、△DGB是兩個等底等高的三角形，二者面積相等即 ⑵
又 ⑶
所以由⑵得 ⑷
又因為△CHG與△BHG是兩個等底等高的三角形，二者面積相等，都為8，
所以由⑷得
答： △DHF的面積為8。
【知識點】組合圖形面積的巧算；代換問題
【解析】【分析】 本題涉及兩個不等的正方形ABCD和DEFG，如圖連接BD，BG，已知△CHG的面積為8，求△DHF的面積。通過分析圖形的對稱性及面積關系，利用同底等高或等面積轉換進行推導。
8．（2017·深圳競賽）在如下的方框內分布著從1到81的81個數，這些數有一定的排列規則.有人根據這些數的位置情況用只含有1、2、3的四元有序數組(m，n； k，l)來記錄這些數， 他把2記作(1，1；1，2)，把50記作(2，3；2，2)，把66記作(3，2；1，3)，把58記作(3，1；2，1).請問，按照這種記法，(1，2；3，3)代表哪個數？ 78可以記作什么？ 請說明這81個數的排列規則。
1 2 3 　 10 11 12 　 19 20 21
4 5 6 13 14 15 22 23 24
7 8 9 16 17 18 25 26 27
　 　 　
28 29 30 37 38 39 46 47 48
31 32 33 40 41 42 49 50 51
34 35 36 43 44 45 52 53 54
　 　 　
55 56 57 64 65 66 73 74 75
58 59 60 67 68 69 76 77 78
61 62 63 70 71 72 79 80 81
【答案】解：對于(1，2；3，3)：第 1 個小方陣是左上角 1 - 9 的 3×3 方陣，第 2 行第 3 列的數是 8。
對于 78：找到 78 所在位置，它在第 8 個小方陣（從左到右、從上到下數），小方陣內第 2 行第 3 列，所以記作(3，2；2，3)。
排列規則：81個小方格分為9塊，3行3列； 每一塊里面有9個方格， 3行3列。四元有序數組的前兩個代表依次代表該數所在塊位于的行數和列數，后兩個依次代表該數在該塊內的行數和列數。
【知識點】變形方陣問題
【解析】【分析】首先分析排列規則：將 81 個數按 9×9 的方陣，劃分成 9 個 3×3 的小方陣，從左到右、從上到下依次為第 1 到第 9 個小方陣。四元有序數組(m，n；k，l)中，m表示第m個小方陣，n表示小方陣內的行（從 1 到 3），k表示小方陣內的列（從 1 到 3），l暫時輔助理解位置對應關系，數的計算可通過確定小方陣位置和小方陣內行列來確定。
9．（2017·深圳競賽）在一副撲克牌中隨便取出32張按照一定順序排成一疊，然后進行如下操作：
⑴把它們平均分為上下兩疊各16張。
⑵將上下兩疊交叉洗牌：下一疊的第1張放在上一疊的第1張上面，下一疊的第2張放在上一疊的第2張上面，如此繼續，直到把下一疊的第16 張放在上一疊的第16張上面，兩疊合并為一疊。
經過這樣一輪操作，得到一個新的順序.問：如此下去，經過多少輪操作，可以使這32張牌恢復到最初狀態？ 給出你的答案，不必說明理由。
【答案】答：經過10輪操作，可以使這32張牌恢復到最初狀態。
【知識點】邏輯推理；數列中的規律
【解析】【分析】要解決 “32 張牌交叉洗牌后恢復初始狀態的輪數” 問題，核心是分析每張牌的位置循環規律，可通過 “位置編號變換” 推導。
設 32 張牌的初始位置為 1~32 號（從頂部第 1 張到底部第 32 張），第一輪操作后牌序為：17，1，18，2，19，3，20，4，21，5，22，6，23，7，24，8，25，9，26，10，27，11，28，12，29，13，30，14，31，15，32，16
第二輪操作后牌序為：25，17，9，1，26，18，10，2，27，19，11，3，28，20，12，4，29，21，13，5，30，22，14，6，31，23，15，7，32，24，16，8
第三輪操作后牌序為：29，25，21，17，13，9，5，1，30，26，22，18，14，10，6，2，31，27，23，19，15，11，7，3，32，28，24，20，16，12，8，4
第四輪操作后牌序為：31，29，27，25，23，21，19，17，15，13，11，9，7，5，3，1，32，30，28，26，24，22，20，18，16，14，12，10，8，6，
第五輪操作后牌序為：
32，31，30，29，28，27，26，25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1
經過5輪操作后，牌序為倒序，所以再經過5輪后這32張牌恢復到最初狀態。
所以 經過10輪操作，可以使這32張牌恢復到最初狀態。
10．（2017·深圳競賽）如圖 (示意圖，不準) ，矩形 (即四個角都是直角的四邊形) ABCD被6條直線(三橫三豎)分成了16個小長方形，已知其中四個小長方形的長、寬分別是1和2、3和4、5和6、7和8，每個小長方形可能是橫著的，也可能是豎著的.請問：
（1）矩形ABCD的周長是多少？
（2）矩形ABCD 的最大可能的面積是多少？
【答案】解：（1）計算矩形ABCD的周長設三橫的長度分別為a、b、c，三豎的長度分別為d、e、f。已知四個小長方形的長、寬分別是1和2、3和4、5和6、7和8。不管小長方形是橫放還是豎放，矩形ABCD的長為d+e+f，寬為a+b+c。而所有小長方形的長之和為1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小長方形的寬之和也為36。所以矩形ABCD的長與寬之和為36，根據長方形周長公式C=2×(長+寬)，可得周長C=2×36=72。(2) 計算矩形ABCD的最大可能面積根據均值不等式，當長和寬越接近時，長方形的面積越大。因為長與寬之和為36，當長=寬=18時，面積最大，最大面積S=18×18=324。答：（1）矩形ABCD的周長是72；(2) 矩形ABCD的最大可能的面積是324。
（1）解：計算矩形ABCD的周長
設三橫的長度分別為a、b、c，三豎的長度分別為d、e、f。
已知四個小長方形的長、寬分別是1和2、3和4、5和6、7和8。
不管小長方形是橫放還是豎放，矩形ABCD的長為d+e+f，寬為a+b+c。
而所有小長方形的長之和為1+2+3+4+5+6+7+8=36，所有小長方形的寬之和也為36。
所以矩形ABCD的長與寬之和為36，根據長方形周長公式C=2×(長+寬)，可得周長C=2×36=72。
答：矩形ABCD的周長是72。
（2）解：計算矩形ABCD的最大可能面積
根據均值不等式，當長和寬越接近時，長方形的面積越大。
因為長與寬之和為36，當長=寬=18時，面積最大，最大面積S=18×18=324。
答： 矩形ABCD的最大可能的面積是324。
【知識點】長方形的周長；最大與最小；長方形的面積；組合
【解析】【分析】（1） 已知四個小長方形的邊長分別為1和2、3和4、5和6、7和8。 本題需注意每個小長方形的邊可能橫放或豎放。確定所有橫向和縱向的邊長之和.即可求出周長。
（2）如何分配這些邊使得面積最大，即： 當長和寬越接近時，長方形的面積越大。
11．（2017·深圳競賽）有ABC 三家快遞公司對同城快遞的定價標準如下：
A公司：首2公斤6元，以后每公斤或其零頭2.2元，總量超過30公斤時超重部分每公斤2.5元；
B公司：首2公斤12元，以后每公斤或其零頭2.1元，不限總量；
C公司：以實際重量計數，每公斤2.4元，起步不足2公斤者以2公斤計。
張先生要快遞41.5公斤貨物，可以拆分. 請問他至少要支付多少快遞費？ 說明你的理由。
【答案】解：⑴由于單價C公司最高，所以當貨物較多時不適合用C公司，A公司首付低，但后續單價高，超過30公斤價格更高，不適合超重數量的貨物快遞。所以首先比較30公斤貨物的快遞價格：
A公司： 6+2.2×28=6+61.6=67.6 (元)
B公司： 12+2.1×28=12+58.8=70.8 (元)
C公司： 2.4×30=72(元)
可見在30公斤時A公司最省。
⑵剩余11.5公斤，如果不加拆分，有三種選擇，價格分別為：
A公司： 6+2.2×10=6+22=28 (元)
B公司： 12+2.1×10=12+21=33 (元)
C公司： 2.4×11.5=27.6(元)
C最省。此時結合⑴，全部貨物最少支付95.2元快遞費。
⑶如果把 11.5公斤繼續拆分，則可能避開的是 C 組的高單價。在9 公斤的時候，A公司費用為 6+6+2.2×7=6+15.4=21.4 (元)， 比在C公司的2.4×9=21.6(元)低0.2元。價格最低。
答：最佳方案是30公斤、9公斤通過A公司快遞，2.5 公斤通過C公司承運。 至少要支付多少快遞費95元。
【知識點】最佳方案：最省錢問題；分段計費問題
【解析】【分析】解題核心是拆分貨物并分別匹配三家公司的定價優勢，先明確各公司的成本劣勢與優勢區間，再將總重量拆分為對應區間，計算最低總費用。
12．（2017·深圳競賽）子恒同學編了一個電腦游戲小程序，游戲最開始有紅、黃、藍精靈各2017個，任意兩個精靈碰在一起會合并為一個精靈，規則為：紅色精靈遇到任何顏色(包括紅、黃、藍) 的精靈都會被對方吃掉，留下對方； 兩黃色精靈相碰合并一個藍色精靈，兩藍色精靈相碰合并一個黃色精靈； 藍色精靈與黃色精靈相碰合并成一個紅色精靈.游戲持續進行，直到最后只剩一個精靈，游戲結束.問：
（1）游戲從開始到結束，精靈總共碰了多少次？
（2）最后剩下的一個精靈是什么顏色？ 請給出答案，并說明理由。
【答案】（1）解：初始總數：紅、黃、藍精靈各 2017 個，總數量為 2017+2017+2017=6051 個。
最終總數：游戲結束時只剩 1 個精靈，總數量為 1 個。
從初始的 6051 個精靈減少到 1 個精靈，總共減少的數量為 6051 1=6050 個。
由于每碰撞 1 次減少 1 個精靈，因此碰撞次數 = 減少的總數 = 6050 次。
答：游戲從開始到結束，精靈總共碰了6050次。
（2）解：由于紅精靈遇到任何顏色的精靈都會被對方吃掉 (剩下對方顏色的精靈)，紅精靈只有1個或者干脆沒有 (0個)。考慮其它2017個藍精靈、2017個黃精靈。為方便起見，分別用A、B、C代表紅、黃、藍精靈， 用AB表示A、B兩精靈相碰， 于是有AB=B，AC=C，BB=C， CC=B， BC=CB=A。
其次，證明任何三個精靈先后相碰，與順序無關，(結合律)
⑴三個黃色的或三個藍色的先后相碰，結果自然與順序無關，結果都是紅色：(BB) B=CB =BC=B (BB) =A， (CC) C=BC=CB=C (CC) =A， 。
⑵兩個黃色與一個藍色或兩個藍色與一個黃色的相碰，結果也與順序無關， B(BC)=BA=B； (CC)B=BB=C， C(CB)=CA=C。
這說明這些精靈在相碰的時候，最終結果與誰與誰先碰無關。全部藍色依次相碰，每三個藍色得到一個紅色，2017個藍色共得到2016÷3=672個紅色和一個藍色，紅色相碰只得到紅色，直至剩下一個藍色；類似地，全部黃色依次相碰，直至剩下一個黃色； 最后，兩個黃藍相碰，最終剩下紅色。
答：最后剩下的一個精靈是什么紅色。
【知識點】奇數和偶數；數列中的規律
【解析】【分析】（1），每次碰撞都會減少一個精靈，初始總數為3×2017=6051，最終剩1個，故總碰撞次數為6051 1=6050次。
（2）需分析顏色變化的奇偶性及守恒量。通過觀察碰撞規則，發現紅色精靈的存在會改變黃藍數量的奇偶性，但可能通過模2分析確定最終顏色。
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