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高中數學人教A版（2019）必修第一冊
第五章 三角函數 5.1.2 弧度制 同步練習
一、單選題
1.（2025華東政法大學附屬中學月考）關于弧度制，下列說法正確的是（ ）
A. 正角和負角的弧度數都是正數
B. 的角是周角的，的角是周角的
C. 射線繞其端點旋轉一周得到的角的大小等于
D. 用角度制和弧度制度量角，角的大小都與圓的半徑有關
2.（2025江蘇無錫江陰月考）化成弧度為（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2024湖南祁東一中月考）已知一扇形的圓心角為，半徑為9，則該扇形的面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 的角的終邊所在的象限為（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.（2025陜西榆林期末）是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
6.（2024江蘇南通百校聯考）已知扇形的面積為3，則該扇形的周長的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多選題
7. 與終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.若一個扇形的周長與面積的數值相等，則該扇形所在圓的半徑可能為（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇是從一個圓面中剪下的扇形制作而成的。如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結論正確的是（ ）
A.
B. 若，扇形的半徑，則
C. 若扇面為“美觀扇面”，則
D. 若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為
三、填空題
10.中國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分6000等份，其中每一份為1密位，則350密位對應的弧度數為________。
11.（1）將化成弧度為________；
（2）將化成角度為________；
（3）已知，，，，，則，，，，的大小關系為________。
12.（2025天津第四十一中學月考）已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角的弧度數為________，周長為________。
四、解答題
13.已知角。
（1）把角寫成的形式，并確定角的終邊所在的象限；
（2）若角與的終邊相同，且，求角。
14.（2025河北邯鄲NT20名校聯合體期末）如圖所示，某城市中心有一個圓形廣場，政府計劃在廣場上用柵欄圍一塊扇環區域（由扇形去掉扇形構成，如陰影所示）種植花卉，已知，，扇環區域面積為，圓心角的弧度數為。
（1）求關于的函數解析式；
（2）記柵欄的長度為，則取何值時，的值最?。坎⑶蟪鲎钚≈?。
15.（2025山東臨沂月考改編）如圖，在半徑為1 cm的圓周上，一只紅螞蟻和一只黑螞蟻同時從點出發，按逆時針勻速爬行，設紅螞蟻每秒爬過弧度，黑螞蟻每秒爬過弧度，兩只螞蟻第2秒時均爬到第二象限，第15秒時又都回到點。若紅螞蟻從點順時針勻速爬行，黑螞蟻同時從點逆時針勻速爬行，求它們從出發后到第二次相遇時，黑螞蟻爬過的路程。
一、單選題
1.答案：C
解析：A：負角的弧度數為負數，正角為正數，A錯誤；
B：周角為，故是周角的，是周角的，B錯誤；
C：射線旋轉一周的角為周角，大小為，C正確；
D：角的大小與圓的半徑無關，只與旋轉量有關，D錯誤。
2.答案：B
解析：根據角度化弧度公式，得：
3.答案：B
解析：先將圓心角化為弧度：；
扇形面積公式（為圓心角弧度，為半徑），代入、：
4.答案：C
解析：已知，，故，對應第三象限角。
5.答案：A
解析：將角化為“”（）：
因，故終邊在第一象限。
6.答案：D
解析：設扇形半徑為、弧長為，由面積得；
周長（基本不等式，當時取等號），故最小值為。
二、多選題
7.答案：BD
解析：，終邊相同的角為（）：
A：角度與弧度混合（和），錯誤；
B：雖單位混合，但，本質為，正確；
C：未用弧度制，與題干“終邊相同的角的表達式”（通常含弧度）不符，錯誤；
D：，當時為，正確。
8.答案：ACD
解析：設半徑為、圓心角為，由周長=面積（數值相等）：
故，選項A（5）、C（3）、D（4）符合，B（2）不符合。
9.答案：ACD
解析：
A：，，故，正確；
B：若，則，，錯誤；
C：由，解得，正確；
D：，正確。
三、填空題
10.答案：
解析：1圓周角=6000密位=2π，故1密位=，350密位為：
11.答案：（1）；（2）；（3）
解析：
（1），乘以得；
（2）乘以得；
（3）統一為弧度：，，，，，故排序為。
12.答案：2；8
解析：
圓心角：由，代入、，得；
周長：弧長，周長。
四、解答題
13.解：
（1）角度化“整數倍+正角”：；
正角化弧度：；
整理：（，）；
象限判斷：，終邊在第二象限。
（2）終邊相同角表達式：；
代入范圍：，解得，故；
計算：。
14.解：
（1）扇環面積=大扇形面積-小扇形面積：；
整理方程：；
定義域：（半徑為正且小于），故。
（2）柵欄長度構成：（兩弧長+半徑差）；
代入化簡：（因）；
基本不等式求最值：設，則，當且僅當即時取等號；
求：，故時，。
15.解：
由“15秒回起點”求、：
紅螞蟻：；
黑螞蟻：（）。
由“2秒到第二象限”定：
第二象限角范圍：，故，；
同理且，故，。
反向爬行第二次相遇：
相對速度：；
第二次相遇路程和：（兩圈）；
時間：；
黑螞蟻路程：。
故黑螞蟻爬過的路程為。

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