資源簡介

2025-2026學年九年級數學上冊第一次月考測試卷（21-22章）
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．甲、乙兩人在解一道一元二次方程時，甲在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根為6和1，乙在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根為和，則原方程根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．兩根分別是2和5 D．兩根分別是和
2．在平面直角坐標系中，五個點的坐標分別為．若拋物線經過上述五個點中的三個點，則滿足題意的的值不可能為（ ）
A． B． C． D．
3．已知關于的一元二次方程滿足，且有兩個相等的實數根，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
4．將拋物線向左平移2個單位長度，得到拋物線，若任意一條與軸垂直的直線與的交點中，至少有一個不在軸下方，則實數的最大值為（　　）
A． B．1 C． D．2
5．如圖，這是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…，第行有個點…，前行的點數和不能是以下哪個結果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
6．關于x的一元二次方程 與 稱為“同族二次方程”．如 與 就是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程 與 是“同族二次方程”，那么代數式 能取的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．已知點在直線上，點，在拋物線上，若且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果都在二次函數的圖象上，且，則m的取值范圍（）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．如圖，二次函數的圖象與軸交于兩點，，且．下列結論：①；②；③；④若和是關于的一元二次方程 的兩根，且，則，；⑤關于的不等式 的解集為．其中正確結論的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，線段在拋物線的對稱軸上移動（點Q在點P下方），且．當的值最小時，點Q的坐標是（　　）
A． B． C． D．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的最小正整數值是 ．
12．如圖，一段拋物線：記為圖象，它與x軸交于兩點O、；將圖象繞點旋轉得到圖象，交x軸于點；將圖象繞點旋轉得到圖象，交x軸于點；…如此進行下去，若點在某段拋物線上，則 ．
13．關于的方程的解是，（、、均為常數，），則方程的解是 ．
14．在平面直角坐標系中，關于的二次函數的頂點為．
（1）點的坐標為 （用含字母的代數式表示）；
（2）若將拋物線先向下平移6個單位，再向左平移2個單位得到新的二次函數，若，則該拋物線頂點縱坐標的最小值為 ．
15．已知對于任意實數a，關于x的方程總有兩個不相等的實數根，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，則的面積為整數值的三角形個數有 個．
16．已知二次函數圖象的頂點為，若點的坐標為，則與之間的關系式為 ；設點所在的定直線為，二次函數圖象上有兩個不同點，，連接，若線段與定直線沒有公共點，則的取值范圍為 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）已知關于的方程．
(1)求證：方程必有兩個不等實數根；
(2)當取的整數時，存在兩個有理數根，求的值和這兩個有理數根．
18．（6分）在平面直角坐標系中，已知拋物線．
(1)當時，
①求拋物線的頂點坐標．
②將拋物線向下平移個單位，若平移后的拋物線過點，且與軸兩交點之間的距離為6，求的值．
(2)已知點，在拋物線上，且，求的取值范圍．
19．（8分）如圖，在矩形中，，動點P、Q分別以，的速度從點A，C同時出發，沿規定路線移動．
(1)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經過多長時間P，Q兩點之間的距離是？
(2)若點P沿著移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經過多長時間的面積為？
20．（8分）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，若點在拋物線的對稱軸上，當平分時，求點的坐標；
(3)如圖，平行于軸的動直線從軸出發向上平移，直線與拋物線交于點，（點在點左側），若在軸上存在點使是等腰直角三角形，求點的坐標．
21．（10分）已知關于x的方程．
(1)求證：無論k取任何實數值，方程總有實數根；
(2)若斜邊長，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求的周長．
(3)已知三個不同的實數a，b，c滿足，方程和有一個相同的實根，方程和也有一個相同的實根．求a，b，c的值．
22．（10分）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，已知，．
(1)求拋物線及直線的解析式；
(2)若為拋物線上位于直線上方的一點，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；
(3)直線與拋物線的對稱軸交于點，為拋物線上一動點，點在軸上，若以點、為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點的坐標．
23．（12分）關于x的一元二次方程有兩個實數根分別是，，若，為整數，則稱為“”點．
(1) （填是或否）存在“”點；
(2)若關于x的一元二次方程：的“”點為，求b，c的值；
(3)關于x的一元二次方程是否存在一“”點，且該點在直線上，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．
24．（12分）【項目式學習】
項目主題：無人機灌溉研究
項目背景：無人機灌溉技術在現代農業中逐漸普及，它能高效、精準地為農作物供水，減少水資源浪費，提升灌溉效率，助力農業現代化發展．
驅動問題：如何優化無人機灌溉方案，實現更高效、精準的灌溉．
建立模型：如圖1，是無人機的示意圖，其中點O為無人機的控制中心，點A，B是噴水口，點A，B，O在同一條水平直線上，．如圖2，以無人機控制中心所在位置O為坐標原點，豎直方向為y軸，以所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．噴水口點A和點B到點O的距離相等，每個噴水口噴出的水流在豎直方向的最大橫截面都是形狀相同的拋物線，拋物線與y軸的交點為C，．
（1）試確定點A所在拋物線的函數表達式．
問題解決：
（2）啟動無人機后，無人機控制中心距地面的初始高度為，為了精準灌溉，需要調整無人機的高度到合適位置．如圖3，使相鄰田地之間的田埂（寬度為的區域，且，田埂高度忽略不計）恰好不被噴灑到水，求無人機應該下降的高度
（3）如圖4，在直線AB上再增加2個噴水口M和N，M在A左側，N在B右側，且，當無人機上升到距地面的高度為時，直接寫出此時噴灑水覆蓋區域寬度PQ的長．
參考答案
一．選擇題
1．C
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．設原方程為，由根與系數的關系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案．
【詳解】解：設原方程為，
由題意得，，，
，，
原方程為，即，
解得：，，
原方程根的情況是兩根分別是2和5．
故選：C．
2．C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，涉及拋物線的對稱軸、點的對稱關系及函數解析式的求解．解題關鍵在于利用拋物線對稱軸，分析點的對稱特征．分情況討論拋物線上的點組合，再通過代入點坐標，借助待定系數法求解a的值，以此判斷即可．
【詳解】解：拋物線)的對稱軸為直線，
當三點在拋物線 上，
，
關于對稱軸對稱，
將代入得，
解得，
當時，得，，
點E在拋物線上，
故拋物線同時經過三點；
當三點在拋物線上
把代入得，
解得，
當時，，
在拋物線上，
故拋物線同時過 三點；
當三點在拋物線上，
把代入得，
解得，
把點代入，
在拋物線上，
拋物線同時過三點；
綜上所述，拋物線能同時經過三個點有；；且a的值分別是．
的值不可能為Ｃ．
故選：C ．
3．D
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義．
根據題意得出，，，再根據判別式的意義可知，進而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，，．
∵一元二次方程有兩個相等的實數根，，
∴，
∴，選項A結論正確，不符合題意；
∵一元二次方程有兩個相等的實數根，，
∴，
∴，選項B結論正確，不符合題意；
∵一元二次方程有兩個相等的實數根，，
∴，
∴，選項C結論正確，不符合題意；
∵，，．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，選項D結論錯誤，符合題意．
故選：D．
4．C
【分析】本題考查了二次函數的平移問題，解一元二次不等式等知識點，解題的關鍵是利用數形結合的思想找出臨界位置．
先求出平移后的拋物線解析式，聯立求出交點坐標，再根據交點的位置進行分析即可．
【詳解】解：拋物線向左平移2個單位長度，
則，
即，
聯立，
解得：，
∴兩個拋物線的交點記為，
如圖，當點在軸下方時，不符合題意；
只有當交點在軸上或在軸上方時，符合題意，如圖：
∴，
解得：，
∴實數的最大值為，
故選：C．
5．B
【分析】由于第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…，則前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）個點，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）個點，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）個點，然后根據選項分別求出n的數值，即可作出判斷．
【詳解】解：通過觀察圖形可知：
第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點，
則前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）個點，
前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）個點，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）個點，
其中n為正整數，
∴當n（n＋1）=741時，解得：（舍），，
當n（n＋1）=600時，解得： （舍），
當n（n＋1）=465時，解得：（舍），，
當n（n＋1）=300時，解得：（舍），，
故選：B．
6．D
【分析】本題考查一元二次方程，配方法的應用，根據新定義，得到，可以寫成，展開對應相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟練掌握新定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程 與 是“同族二次方程”
∴第二個方程可以寫成的形式，
∴展開得：
∴，，，
解得：，，
∴，
∵
∴
∴能取的最大值是2026．
故選D．
7．B
【分析】求得直線與拋物線的交點的橫坐標，把拋物線的頂點縱坐標代入直線解析式，求得對應的值，即可求得取值范圍，根據拋物線與方程的關系，從而求得的取值范圍，解答即可．
【詳解】解：∵，
解得或，
∵點，在拋物線上，且，
∴是方程的兩個根，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴當時，，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴，
故選：B．
8．B
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質等知識，由關于對稱軸對稱得，且在對稱軸左側，在對稱軸右側；確定拋物線與軸交點，此交點關于對稱軸的對稱點為，結合已知確定出；再分類討論：都在對稱軸左邊時，分別在對稱軸兩側時，分別列出不等式進行求解即可，存在待定參數的情況下，對可能情況作出分類討論是解題的關鍵．
【詳解】解：∵關于對稱軸對稱，
，
∴，且在對稱軸左側，在對稱軸右側，
∵拋物線與軸交點為，拋物線對稱軸為直線，
∴此交點關于對稱軸的對稱點為，
∵且，
∴，
解得：，
當都在對稱軸左邊時，
∵，
∴，
解得：，
∴，
當分別在對稱軸兩側時，
∵
∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，或，
故選：B．
9．B
【分析】本題考查了二次函數圖象與性質，根據拋物線開口，對稱軸，以及與軸的交點，確定的符號，即可判斷①，根據二次函數的圖象過，得出，進而判斷對稱軸，得出，進而判斷②和③，根據函數圖象判斷④，將一般式寫成交點式得出 ，化簡不等式為，求得解集，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴，
∵對稱軸在軸的右側，
∴，
∴，
∵拋物線與軸交于負半軸，
∴，
∴，故①正確，
∵二次函數的圖象過，
∴，
∵二次函數的圖象與軸交于兩點，，且．
∴對稱軸，即，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴
，
∴，故③錯誤；
④如圖，
關于的一元二次方程 的兩個根，即函數與的交點的橫坐標，
∵，
∴若和是關于的一元二次方程 的兩根，且，則，；故④正確；
⑤∵二次函數的圖象與軸交于兩點，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化為，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴關于的不等式 的解集為或不是故⑤錯誤
故正確的有①②④，共3個，
故選：B
10．B
【分析】先求出，，求出，將點C沿y軸向下平移2個單位，得到點D，連接，，證得四邊形是平行四邊形，于是可得，于是得到，即點Q是直線與拋物線對稱軸的交點時，的值最小，利用待定系數法可求得直線的解析式，然后求得拋物線的對稱軸，通過求解兩條直線的交點即可得出答案．
【詳解】解：拋物線與x軸交于點A，B，
當時，得：，
解得：，
，，
，
，
，
點C沿y軸向下平移2個單位得到點D，如圖，連接，，
線段在拋物線的對稱軸上移動（點Q在點P下方），
，
拋物線的對稱軸軸，且線段在拋物線的對稱軸上，線段在y軸上，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
當D、Q、B三點共線，即點Q是直線與拋物線對稱軸的交點時，的值最小，
拋物線與y軸交于點C，
令，則，
，
由平移的性質可得：點D的縱坐標，
，
設直線的解析式為，將點B，點D的坐標代入，得，
解得，
直線的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線，
把代入得，，
，
故選：B．
二．填空題
11．2
【分析】本題主要考查根的判別式、一元二次方程的定義、解不等式等知識點，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的判別式．
根據一元二次方程有兩個不相等的實數根得出，結合一元二次方程的定義知求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：且，
∴k的最小正整數值是2．
故答案為：2．
12．
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，發現圖象的變化特點；
根據題意和圖象可以發現每4個單位長度的圖象為一個循環，然后即可計算出點中m的值．
【詳解】解：，
∴圖象的頂點坐標為，
∴點和圖象的頂點間的一半，橫坐標為，
把代入，解得：，
作的直線平行軸，如圖：
，
∴，
由圖象可得，
每4個單位長度的圖象為一個循環，
∵，，
∴點與圖象的點中的縱坐標是相等的，
∴，
故答案為：．
13．，
【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根據方程的解是，，可知方程的解是，，從而求出方程的解．
【詳解】解：，
整理得：，
方程的解是，，
方程的解是，，
解得：，．
故答案為：， ．
14．
【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象的平移及二次函數的最值，掌握二次函數的頂點式和增減性是解本題的關鍵．
（1）化成頂點式即可求得；
（2）原二次函數圖象頂點坐標縱坐標為，根據平移方式得出新的函數關系式，最后結合的取值范圍求出該拋物線頂點縱坐標的最小值即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴頂點的坐標為．
故答案為：；
（2）原拋物線頂點縱坐標為，
將原拋物線向下平移6個單位，再向左平移2個單位，則有：
，
此函數圖象開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，
∵，
∴當時，有最小值，為，
即該拋物線頂點縱坐標的最小值為，
故答案為：．
15．15
【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、一次函數的性質和三角形面積公式的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識，進行正確地計算、討論、求解．
運用一元二次方程根的判別式、一次函數的性質和三角形面積公式等知識進行求解．
【詳解】解：∵關于的方程，總有兩個不相等的實數根，
∴
，
關于的二次函數的圖象在x軸上方，
，
解得，
直線與軸交于，與軸交于，
，，
，
且，
，故
，
的面積為整數值的三角形個數有15個，
故答案為：15．
16． 或
【分析】本題主要考查了二次函數的性質、配方法將函數解析式化成頂點式、二次函數與直線的位置關系等知識點，掌握二次函數的性質成為解題的關鍵．
通過配方法將二次函數化成頂點式確定頂點坐標，然后消去m即可解答；由二次函數的定義可得，再根據對稱性可得，進而得到直線上縱坐標為t的點的橫坐標為；然后分點A在店B的右側和左側兩種情況解答即可．
【詳解】解：∵，頂點的坐標為，
∴，
∴；
∴
∵設點所在的定直線為，
∴直線解析式，
∵點A在二次函數圖象上，
∴，
∵A，B兩點縱坐標相同，
∴A，B兩點關于對稱軸對稱，
∴則，
∵直線解析式，
∴直線上縱坐標為t的點的橫坐標為，
∵線段與定直線沒有公共點，
∴當點A在店B的右側時，即，有，解得：；
當點A在店B的左側時，即，有，解得：．
綜上，m的取值范圍為或．
故答案為：，或．
三．解答題
17．（1）證明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有兩個不等實數根；
（2）解：∵當m取的整數時，存在兩個有理數根，且，
∴，
∴原方程為，且，
∴此時原方程的解為，
∴m的值為1，這兩個有理數根為和．
18．（1）解：①∵，
∴
∴拋物線的頂點坐標為，
②∵將拋物線向下平移個單位，
∴平移后拋物線解析式為，
把代入，得，
∴
∴
設平移后的拋物線與軸兩交點橫坐標為，，
則，，
∴
∴
∵平移后的拋物線與軸兩交點之間的距離為6，
∴
∴
∴
解得：
經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：過點作于．
設秒后，點和點的距離是．
根據題意得：
，即，
∴，
∴，；
∴經過或后、兩點之間的距離是；
（2）連接．設經過后的面積為．
①當時，則，
∴，即，
解得；
②當時，
，，則
，
解得，（舍去）；
③時，，
，
∴，
解得（舍去）．
綜上所述，經過秒或秒的面積為．
20．（1）解：將點、代入得：，
解得：，
∴．
（2）解：當時，，
∴，
設與軸交于點，過點作于點，

平分，，
∴，，
∴，
∴
，
，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
∵，
拋物線的對稱軸為直線，
∴．
（3）解：設直線的解析式為，
當時，解得：或，
∴，，
∴，
當，時，，
解得：或（舍），
∴；
當時，，
解得或（舍，
∴；
當，時，，
∴，
解得：或舍，
∴，
∴；
綜上所述：點坐標為或．
21．（1）證明：∵，
∴
，
，
無論k為任意實數值方程，總有實數根．
（2）解：∵斜邊長，另兩邊長b，c恰好是方程的兩個根，
∴，
∵b、c為直角邊，斜邊長，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴的周長，
（3）解：依次將題設中所給的四個方程編號為①，②，③，④．
設是方程①和方程②的一個相同的實根，則，兩方程相減，
解得：．
設是方程③和方程④的一個相同的實根，則，兩方程相減，
∴解得，
∴．
又方程①的兩根之積等于1，
∴也是方程①的根，則．
又，
兩方程相減，得．
若，則方程①無實根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．
22．（1）解：把，分別代入可得：
解得：
∴拋物線的解析式為：；
把代入，可得：
∴
設直線的解析式為：，把，分別代入得：
，
解得：
∴直線的解析式為：；
（2）過點作軸交于點，連接，如圖所示：
∵，，
∴設，則，
∴，
∴
∴當時，最大面積為，
把代入可得：；
（3）解：∵，
∴拋物線對稱軸為直線，
∴把代入可得：，
∴，
∵為拋物線上一動點，設；點在軸上，設，
∵，
∴①當為平行四邊形的對角線時：
，
解得：或，
代入可得：，，
②當為平行四邊形的對角線時：
，
解得：或，與①相同；
③當為平行四邊形的對角線時：
，
解得：或，
代入可得：，，
綜上所述的坐標為：；；；．
23．（1）解：由，得，
∴或，
解得，，
∵，為整數，
∴是“”點，
故答案為：是；
（2）解：∵關于x的一元二次方程：的“”點為，
∴，，
故，；
（3）解：假設關于x的一元二次方程存在一“”點，且該點在直線上，
由，
得，
故，
由一元二次方程的根與系數的關系得，，
∴，
∵“”點在直線上，
∴，
∴，
解得，，
所以，
整理得 ，
解得或，
當時，方程為，，，“”點坐標為，符合；
當時，和不是整數解，舍去．
綜上，關于x的一元二次方程存在一“”點，且該點在直線上，此時．
24．解：（1），點與點到點的距離相等，
，
點的坐標為．
，
點的坐標為．
設點所在拋物線的函數表達式為，
將點代入得．
解得．
點所在拋物線的函數表達式為．
（2）以無人機控制中心所在位置為坐標原點，豎直方向為軸，水平方向為軸，建立平面直角坐標系，
噴藥口噴出的水在豎直方向的最大橫截面的拋物線的函數表達式始終不變．
，由題可知點和點關于軸對稱，
可以設點的坐標為．
將點代入，
得．
點的坐標為．
此時無人機攝像頭距離地面的高度為．
．
答∶ 無人機應該下降的高度為．
（3） ∵，點坐標為，
∴點坐標為 ．
∵所在拋物線形狀與所在拋物線相同，二次項系數相同，
∴所在拋物線表達式為
∵無人機高度為，
∴點P的縱坐標為，
把代入中，得
．
解得， ．
，
關于y軸對稱，
，
長

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