資源簡介

2025-2026學年九年級數學上冊第一次月考測試卷（第21-22章）
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函數（為常數，且）的圖象上有四點，，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
3．下列關于的方程中一定有實數解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．將拋物線平移得到拋物線，則這個平移過程正確的是（ ）
A．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位；
B．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位；
C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位；
D．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位；
5．已知，是方程的兩個實數根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
7．在中，對角線，的長是關于x的一元二次方程的兩個根，則k的取值范圍是（ ）．
A．且 B．
C． D．
8．已知一架飛機在跑道起點處著陸后的滑行速度v（單位：）與滑行時間t（單位：）之間滿足一次函數關系．而滑行距離，，其中是初始速度，是t秒時的速度，當飛機在跑道起點處著陸后滑行了，則此時飛機的滑行速度（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
9．直線與拋物線交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點，且始終滿足，則直線l必過的定點為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，二次函數的圖象過點，對稱軸為直線，有以下結論：；；若，是拋物線上的兩點，當時，；點，是拋物線與軸的兩個交點，若在軸下方的拋物線上存在一點，使得，則的取值范圍為；若方程的兩根為，，且，則其中結論錯誤的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．關于的一元二次方程有一個根是1，則的值是 ．
12．我們規定一種運算：．依據以上規定計算：當 時，．
13．若二次函數有最大值為4，則的最小值是 ．
14．已知拋物線與直線交于、兩點，且．若點，也在該拋物線上，則 ．
15．如圖，一段拋物線：記為圖象，它與x軸交于兩點O、；將圖象繞點旋轉得到圖象，交x軸于點；將圖象繞點旋轉得到圖象，交x軸于點；…如此進行下去，若點在某段拋物線上，則 ．
16．如圖，正方形的頂點A，C在拋物線上，點D在y軸上．若A，C兩點的橫坐標分別為m，n，則 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）解方程：
(1) (2)
18．（6分）已知二次函數，其頂點為．
(1)求點的坐標（用含的式子表示）；
(2)一次函數與直線交于點，與直線交于點，若線段與二次函數只有一個交點，求的取值范圍．
19．（8分）已知：關于的一元二次方程．
(1)求證：無論為何值，方程總有兩個實數根；
(2)若為方程的一個根，求的值及方程的另一個根．
20．（8分）某頭盔經銷商5至7月份統計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
(2)某工廠已建有一條頭盔生產線生產頭盔，經過一段時間后，發現一條生產線最大產能是900個/天，但如果每增加一條生產線，每條生產線的最大產能將減少30個/天，現該廠要保證每天生產頭盔3900個，應該增加幾條生產線？
21．（10分）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
(1)求實數k的取值范圍；
(2)若方程兩實數根滿足，求k的值
22．（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線．
(1)當時，
①求拋物線的頂點坐標．
②將拋物線向下平移個單位，若平移后的拋物線過點，且與軸兩交點之間的距離為6，求的值．
(2)已知點，在拋物線上，且，求的取值范圍．
23．（12分）某公司投入萬元（萬元只計入第一年成本）研發費成功研發出一種新產品．公司按訂單生產（產量銷售量），第一年該產品正式投產后，生產成本為元/件．此產品年銷售量（萬件）與售價（元/件）之間滿足函數關系式．
(1)求這種產品第一年的利潤（萬元）與售價（元/件）之間的函數關系式；
(2)若該產品第一年的利潤為萬元，求該產品第一年的售價是多少元/件？
(3)第二年，該公司將第一年的利潤萬元（萬元只計入第二年成本）再次投入研發，使產品的生產成本降為元/件．為保持市場占有率，公司規定第二年產品售價不超過第一年的售價，另外受產能限制，銷售量無法超過萬件．請計算該公司第二年的利潤至少為多少萬元．
24．（12分）已知：二次函數的圖像與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為，與y軸交于點C，點在拋物線上
(1)求拋物線的解析式；
(2)拋物線的對稱軸上有一動點P，若最小，求P的坐標；
(3)在直線下方的拋物線上是否存在動點Q，使得的面積有最大值？若存在，請求出點Q坐標，及的最大面積；若不存在，請明理由．
參考答案
一．選擇題
1．B
【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，先移項，然后在方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，最后整理得，即可作答．
【詳解】解：依題意，
，
移項得，
，
∴，
故選：B
2．B
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，根據二次函數的性質和二次函數圖象上點的坐標特征可以解答本題，本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質．
【詳解】解：∵點，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵，
∴，
故選：B．
3．D
【分析】本題考查一元二次方程根的情況，解題的關鍵是掌握一元二次方程有實數解的條件是．計算各方程的，的一元二次方程有實數解．
【詳解】解：、根的判別式，方程沒有實數解，不符合題意；
B、根的判別式，方程沒有實數解，不符合題意；
C、根的判別式，方程沒有實數解，不符合題意；
D、根的判別式，符合題意；
故選：．
4．A
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，先將化為頂點式，再根據二次函數圖象的平移法則即可得解，熟練掌握二次函數圖象的平移法則是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴將拋物線先向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到拋物線，
故選：A．
5．C
【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數的關系，代數式求值，由一元二次方程根的定義可得，由一元二次方程根與系數的關系可得，，進而代入代數式計算即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，是方程的兩個實數根，
∴，，，
∴，
∴
，
故選：．
6．A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的性質，先解方程得，，再計算自變量為0對應的函數值得到，接著證明為等腰直角三角形，所以，即，然后把等式兩邊平方可得．
【詳解】解：由圖可得，拋物線的開口向上，與y軸的負半軸相交，
∴，，
當時，，
解得，，
∴，，
當時，，
∴，
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
即，
整理，得
,
∵
∴．
故選：A．
7．B
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數的關系、平行四邊形的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．設一元二次方程的兩個根為，，由題意得，，，由根與系數的關系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判別式求出的范圍，即可得出答案．
【詳解】解：設一元二次方程的兩個根為，，
由題意得，，，
由根與系數的關系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有實數根，
∴，
解得：，
∴k的取值范圍是．
故選：B．
8．C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用．根據題意可得，令得到關于t的方程，求出t的值，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
當時，，
整理得：，
解得：（舍去），
此時，
即此時飛機的滑行速度．
故選：C
9．C
【分析】設直線與拋物線交于，兩點，利用根與系數的關系和勾股定理表示出，解方程得出，進而利用一次函數的性質即可得解．
【詳解】解：設直線與拋物線交于，兩點，
如圖，分別過，兩點作軸，軸的垂線交于點，
聯立，得，
，，
由兩點間的距離公式得，，，
由勾股定理得，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
當時，，
直線必過的定點為，
故選：．
10．D
【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線與軸的交點，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與性質，本題屬于基礎題型．根據二次函數的圖象與性質即可求出答案．
【詳解】解：由圖象可知：，，，
，故錯誤，符合題意；
拋物線的對稱軸為直線，
，
，
當時，，
，
，故錯誤，符合題意；
，是拋物線上的兩點，
由拋物線的對稱性可知：，
當時，，
故正確，不合題意；
由題意可知：，到對稱軸的距離為，
當拋物線的頂點到軸的距離不小于時，
在軸下方的拋物線上存在點，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，故錯誤，符合題意；
易知拋物線與軸的另外一個交點坐標為，
，
若方程，
即方程的兩根為，，
則、為拋物線與直線的兩個交點的橫坐標，
，
，故錯誤，符合題意；
故選：．
二．填空題
11．
【分析】此題考查了一元二次方程的定義及方程的解的定義，正確理解一元二次方程的定義及方程的解的定義是解題的關鍵．將代入方程求出，再根據一元二次方程的定義求出，由此得到答案．
【詳解】解：將代入，得，
解得：，
，
，
，
故答案為：．
12．
【分析】 首先觀察新定義的運算規律，根據新運算可得關于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的兩個根.
【詳解】解：由題意可得．
整理得
，
解得．
故答案為.
13．
【分析】本題考查了二次函數圖像的平移，關于坐標軸對稱的點的坐標特征；利用頂點坐標變換是解題的關鍵．
根據題意設二次函數的頂點坐標為，且開口向下，根據平移可知的頂點坐標為，根據關于軸對稱可知的頂點坐標為，且開口向上，有最小值．
【詳解】解：∵二次函數有最大值為4，
∴設二次函數的頂點坐標為，
∵向左平移1個單位得到，
∴的頂點坐標為，
∵與關于軸對稱，
∴的頂點坐標為，且開口向上，
此時頂點坐標為，則最小值為；
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、一元二次方程根與系數的關系，設，，則由一元二次方程根與系數的關系可得，，結合計算得出，從而可得，由二次函數的對稱性計算可得，從而可得，由此計算即可得解，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：設，，
∴、是方程的兩個根，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵拋物線上有兩個點，，
∴對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
當時，．
故答案為：．
15．
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，發現圖象的變化特點；
根據題意和圖象可以發現每4個單位長度的圖象為一個循環，然后即可計算出點中m的值．
【詳解】解：，
∴圖象的頂點坐標為，
∴點和圖象的頂點間的一半，橫坐標為，
把代入，解得：，
作的直線平行軸，如圖：
，
∴，
由圖象可得，
每4個單位長度的圖象為一個循環，
∵，，
∴點與圖象的點中的縱坐標是相等的，
∴，
故答案為：．
16．1
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質、二次函數的性質等知識點，分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為和，證得；由題意得：，進而得，即可求解；
【詳解】解：分別過點和點作y軸的垂線，垂足分別為和，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴；
由題意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案為：1
三．解答題
17．（1）解：，
則，
∴，
∴，
所以．
（2）解：，
∴，
∴或，
∴．
18．（1）解：∵，
∴二次函數圖象頂點的坐標為；
（2）解：∵一次函數與直線交于點，與直線交于點，
∴，，
∵拋物線頂點的坐標為，
∴點在點的上方，
∵線段與二次函數只有一個交點，
則點N在拋物線上或拋物線下方，
當過點N時，
，即，
解得或，
∴或．
19．（1）證明：由題意得，
，
∵，
∴，
∴無論為何值，方程總有兩個實數根；
（2）解：∵為方程的一個根，
∴，
解得，
∴原方程為，
解得或，
∴原方程的另一個根為．
20．（1）解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．
依題意，得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．
（2）解：設增加x條生產線．
，
解得，，
答：增加4條或條生產線．
21．（1）解：∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
又∵，
∴．
22．（1）解：①∵，
∴
∴拋物線的頂點坐標為，
②∵將拋物線向下平移個單位，
∴平移后拋物線解析式為，
把代入，得，
∴
∴
設平移后的拋物線與軸兩交點橫坐標為，，
則，，
∴
∴
∵平移后的拋物線與軸兩交點之間的距離為6，
∴
∴
∴
解得：
經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）解：根據利潤單件利潤銷售量，
可得：；
（2）解：當時，
可得：，
解得：，
該產品第一年的售價是元/件．
（3）解：公司規定第二年產品售價不超過第一年的售價，另外受產能限制，銷售量無法超過萬件，
，
解得：，
，
第二年的利潤，
拋物線的對稱軸為直線，開口向下，且，
當時，有最小值，最小值為萬元，
答：該公司第二年的利潤至少為萬元．
24．（1）解：把，代入，
∴，
解得：，
則拋物線的解析式為：；
（2）解：令，可得：，
解得：，，
∴B點坐標為：，
拋物線的對稱抽為：，
A、B兩點關于直線對稱，
拋物線的對稱軸上有一動點P，如圖，
∴，
∴，
即當P、D、B三點共線時，最小，最小值為，
如圖，
∵，，
設直線的解析式為：，
∴，
∴，
∴直線的解析式為：，
∴當時，，
∴P點坐標為：；
（3）解：過點Q作軸交于點H，點H在上，如圖所示：
設點 ，則點，
則，
則
，
∵，
∴當時，面積的最大值為，
此時，
∴．

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