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15.3《等腰三角形》-- 與等腰三角形有關的分類討論
【題型1 腰與底不明時需分類討論】
1.在古代文明中，人們開始觀察并研究各種自然形狀和圖案，其中包括等腰三角形．古希臘數學家對幾何學進行了系統的研究，并提出了許多與等腰三角形相關的定理和性質．已知等腰三角形的一邊長為，且它的周長為，則它的底邊長為 ．
2.等腰三角形兩條邊長分別為6和10，則這個等腰三角形的周長為 ．
3.如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A和B是兩個格點，如果C也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點C的個數為 ．
4.已知等腰三角形的腰長為4，一個內角的度數為，若該等腰三角形可以唯一確定，則滿足的條件是 ．
【題型2 頂角或底角不明時需分類討論】
1.等腰三角形中，一個內角比另一個內角的3倍還多，則該等腰三角形中最小的內角的度數是 ．
2.等腰三角形一個內角為，則這個等腰三角形的頂角為 ．
3.若等腰三角形一個外角是，則這個等腰三角形的頂角的度數是 ．
4.在中，，其中一個內角度數是，點D在直線BC邊上，連接AD，若為直角三角形，則的度數為 ．
【題型3 高在形內或形外需分類討論】
1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則這個等腰三角形的頂角的度數是 ．
2.若等腰三角形的一個內角為，則它一腰上的高與底邊所夾的角的度數是 ．
3.等腰三角形兩腰上的高所在的直線形成的銳角為，則該等腰三角形的頂角的度數為 ．
4.一個等腰三角形一邊上的高等于一邊長度的一半，則這個三角形的頂角是 ．
【題型4 遇中線時需分類討論】
1.如圖，在中，，，是的中線，E為邊上的一點．若是等腰三角形，則的度數是
2.等腰三角形，，中線把這個三角形的周長分成和的兩部分，則三角形的底邊長為 ．
3.等腰三角形腰長為，一腰上的中線將其周長分成兩部分的差為，則這個等腰三角形的周長為 ．
4.已知中，，是邊上的中線，且，點是邊上的一點，若為等腰三角形，則的度數是 ．
【題型5 遇垂直平分線時需分類討論】
1.△的兩邊、的垂直平分線分別交直線于、，且，則的度數 ．
2.等腰三角形一條腰上的垂直平分線與另一腰的夾角為，則三角形的底角為 ．
3.在等腰三角形中，，的垂直平分線交直線于點E，連接，如果，那么的度數為 ．
4.已知，在中，，的垂直平分線交直線于點．當時，則的度數為 ．（用含α的式子表示)
【題型6 遇動點時需分類討論】
1.如圖，在中，已知，，，動點從點出發，以的速度沿線段向點運動．在運動過程中，當為等腰三角形時，點出發的時刻可能的值為（ ）
A．5 B．5或8 C． D．4或
2.如圖，在中，，，點E在邊上運動（點E不與A，B重合），作，使交邊于點D，連接．在點E的運動過程中，當是以為腰的等腰三角形時，的度數為（ ）．
A． B． C． D．或
3.如圖，等邊的邊長為，點Q是的中點，若動點P以/秒的速度從點A出發沿方向運動設運動時間為t秒，連接，當是等腰三角形時，則t的值為 秒．
4.如圖，在中，．動點從點出發，沿邊，向點運動．在整個運動過程中，點存在（ ）位置，使為等腰三角形．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【題型7 遇動線段時需分類討論】
1.已知是等邊三角形，將繞點 B 旋轉得到，連接，過點作直線于點 D，則的度數為 ．
2.如圖：已知中，，，將繞點旋轉得到，所在的直線與直線交于點，那么的度數是 ．
3.如圖，O是內的點，，，，將繞點A按逆時針方向旋轉，得到，連接．設為α，當為等腰三角形時，α為 ．
4.在中，，，點O是的中點，將繞著點O向三角形外部旋轉角時，得到，當恰為軸對稱圖形時，的值為 ．
【題型8 構造等腰三角形時需分類討論】
1.如圖，，是平分線上的一點，如果射線上的點滿足是等腰三角形，那么的度數為 ．
2.如圖，在中，，點P在的三邊上運動，當為等腰三角形時，其頂角的度數不可能是（　　）

A． B． C． D．
3.如圖，中，，，，D為斜邊上不與端點A、B重合的一動點，過點D作，垂足為E，將沿翻折，點A的對應點為點F，連接．若為等腰三角形，則的長為 ．
4.如圖，在中，，，平分，點D在射線上，連接．當是等腰三角形時，的度數是 ．
參考答案
【題型1 腰與底不明時需分類討論】
1.或
【分析】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關系，分長為的邊分別為腰和底邊，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：當長為的邊為腰時，底邊長為：，
此時：，三邊能構成三角形，符合題意；
當長為的邊為底邊時，腰長為：，
此時：，三邊能構成三角形，符合題意；
故答案為：或．
2.22或26
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；注意：求出的結果一定要檢驗時符合三角形三邊性質．分類討論是正確解答本題的關鍵．
分兩種情況，底邊為6和底邊為10時，分別求得周長，并檢查兩種情況是否都能構成三角形
【詳解】分兩種情況，底邊為6，周長為，經驗證，這種情況是成立的；
底邊為10，周長為，經驗證，這種情況是成立的．
故答案為：22或26．
3.5
【分析】本題考查了等腰三角形的判定,線段的垂直平分線的性質．熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關鍵．由題意知，分當為底時，當為腰時，兩種情況求解作答即可．
【詳解】解：如圖，由題意知，當為底時，滿足要求的點如；當為腰時，滿足要求的點如；
∴共有5個，
故答案為：5．
4.或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理．根據等腰三角形的性質，三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：當為頂角，則的取值范圍為；
當為底角，則的取值范圍為；
故答案為：或．
【題型2 頂角或底角不明時需分類討論】
1.或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；根據已知條件，先設出三角形的兩個角，然后進行討論即可得出結論．
【詳解】解：在中，設，分情況討論：
當為底角時，，解得，則；所以，三個分別為；．
當為底角時，，解得，所以，三個分別為；．
當時，，此種情況不存在，
所以，該等腰三角形中最小的內角的度數是或．
故答案為：或．
2.或
【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質．
分情況討論這個的角是頂角還是底角．
【詳解】解：若的角是頂角，則這個等腰三角形的頂角為；
若的角是底角，則頂角是，
綜上所述， 這個等腰三角形的頂角為或．
故答案是：或．
3.或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.
根據題意求出等腰三角形的一個內角為，再分這個角是頂角、底角兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：等腰三角形一個外角是，
等腰三角形一個內角度數是，
當頂角的度數為時，兩個底角的度數均為，
當底角的度數為時，頂角的度數為，
這個等腰三角形的頂角的度數是或，
故答案為：或.
4.、或
【分析】根據題意分為若及進行討論，再利用等腰三角形的性質及直角三角形的性質求解即可．
【詳解】解：如圖1，在中，，若，

點在直線邊上，為直角三角形，且當時，
；
如圖2，在中，，若，
點在直線邊上，為直角三角形，且當時，

；
如圖3，在中，，若，

點在直線邊上，為直角三角形，且當時，
；
如圖4，在中，，若，

點在直線邊上，為直角三角形，且當時，
，
；
故答案為：、或
【題型3 高在形內或形外需分類討論】
1.或
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，根據題意畫出圖形，分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案．
【詳解】解：①當原等腰三角形為銳角三角形時可以畫圖，則，
∴頂角為；
②當原等腰三角形為鈍角三角形時可以畫圖，
此時垂足落到三角形外面，則，
∴頂角為；
故答案為：或．
2.或
【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，分的角分別為頂角和底角兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：當的角為頂角時，則：兩個底角的度數為：，
∴一腰上的高與底邊所夾的角的度數是：，
當的角為底角時，則：一腰上的高與底邊所夾的角的度數是：；
故答案為：或．
3.或
【分析】本題考查等腰三角形的性質等知識，分兩種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．
【詳解】解：①如圖1，當是鈍角時，
由題意：，
∴，
②如圖2，當是銳角時，
由題意：，
∴，
∴，
綜上，該等腰三角形的底角的度數為或，
故答案為：或．
4.或或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，分類討論是正確解答本題的關鍵；
分三種情況：當三角形是直角三角形時，底邊上的高等于底邊長度的一半；當等腰三角形是銳角三角形時，腰上的高等于腰長的一半；當等腰三角形是鈍角三角形時，腰上的高等于腰長的一半，分類討論即可；
【詳解】解：當三角形是直角三角形時，底邊上的高等于底邊長度的一半，
設等腰三角形中，，是底邊上的高，為底邊，且．
是底邊上的高，
D為中點，即，
，
，
，
，
頂角；
，
當等腰三角形是銳角三角形時，腰上的高等于腰長的一半
設等腰三角形中，，是腰上的高，，
在中，
，
，
即此時頂角為；
當等腰三角形是鈍角三角形時，
設等腰三角形中，，是腰延長線上的高，，
在中，
，
頂角，
綜上所述：這個等腰三角形的頂角是或或．
故答案為：或或．
【題型4 遇中線時需分類討論】
1.或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理．先由，是的中線，且得到，，再分兩種情況討論得出結果．
【詳解】解：∵，是的中線，且，
∴，
∴，
①當時，
，
則；
②當時，
，
故的度數是或．
故答案為：或．
2.或
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，分腰長與腰長的一半是和兩種情況，求出腰長，再求出底邊，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊進行判斷即可．
【詳解】如圖，設腰長為．
①腰長與腰長的一半是時，
，
∴，
∴底邊，
∵
∴三角形的三邊為、、，能組成三角形；
②腰長與腰長的一半是時，
，
∴，
∴底邊，
∵，
∴三角形的三邊為、、，能組成三角形，
故答案為：或．
3.或
【分析】由為中點，得到，再根據將其周長分成兩部分的差為，分別表示出分三角形周長的兩部分，求出方程的解得到的長．
【詳解】解：，為中點，
，
根據題意得：或，
即或，
解得：或，
故周長為或，
故答案為：或．

4.或
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質（三線合一、等腰三角形兩底角相等），熟練掌握等腰三角形的性質，分情況討論為等腰三角形的各種情況是解題的關鍵．先根據等腰三角形三線合一得出度數和，再分三種情況討論為等腰三角形時的度數．
【詳解】解：，是邊上的中線，
平分，（等腰三角形三線合一）．
，
，．
情況一：當時
，，
．
，
．
情況二：當時
，，
，則．
，此時，不符合，舍去．
情況三：當時
，，
．
，
．
綜上，的度數是或．
故答案為：或 ．
【題型5 遇垂直平分線時需分類討論】
1.或
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，等邊對等角，
分三種情況：當是銳角時，根據線段垂直平分線的性質得，再根據等腰三角形的性質得，然后表示，最后根據三角形的內角和定理得出答案；當是直角，不符合題意；當是鈍角時， 先表示出，再表示出，然后根據三角形內角和定理得出答案.
【詳解】解：當是銳角時，如圖所示，
∵的兩邊的垂直平分線分別交于直線于點D，E，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
解得.
當是直角，不符合題意；
當是鈍角時，如圖所示，
∵的兩邊的垂直平分線分別交于直線于點D，E，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
解得.
所以的度數是或.
故答案為：或.
2.或
【分析】本題考查等腰三角形，三角形內角和的知識，解題的關鍵是分類討論垂直平分線的位置，根據等邊三角形的性質，三角形的內角和，進行解答，即可．
【詳解】解：∵等腰三角形一條腰上的垂直平分線與另一腰的夾角為，
∴當是的垂直平分線（圖），，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴；
當是的垂直平分線（圖），，
∴，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴；
故答案為：或．
3.或
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形外角的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．分兩種情況討論：當點E在線段上時，當點E在線段的延長線上時，繼而根據線段垂直平分線的性質，三角形外角的性質，等腰三角形的性質求解即可．
【詳解】當點E在線段上時，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
當點E在線段的延長線上時，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案為：或．
4.或
【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，三角形的內角和定理等．先由得，由此利用三角形的內角和定理可，再由線段垂直平分線的性質得，然后分兩種情況討論可得出答案．
【詳解】解：設的垂直平分線交于，垂足為，如圖所示：
，
，
，，
，
，
為的垂直平分線，
，
，
當時，
；
當時，
．
故答案為：或．
【題型6 遇動點時需分類討論】
1.B
【分析】此題考查了等腰三角形的定義，等邊對等角，解題的關鍵是分情況討論．
根據題意分情況討論，分別根據等腰三角形的定義求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，，
根據題意得，，
①當時，，
②當時，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
③若時，點P在延長線上，不符合題意．
綜上所述，t的值是5或8．
故選：B．
2.D
【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，數形結合，分類討論，①如圖所示，；②如圖所示，；由此即可求解，解題的關鍵是正確分類，熟練等腰三角形的判定和性質．
【詳解】解：∵，，
∴，則，
①如圖所示，，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∴；
②如圖所示，，即是等腰三角形，

∴，
∴；
綜上所述，的度數為或．
故選：D
3.1或3
【分析】此題考查了等邊三角形的性質和判定．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數形結合思想的應用．
由等邊的邊長為，點是的中點，可求得的長，然后，可得為等邊三角形，分析為等邊三角形即可求得答案．
【詳解】解：∵等邊的邊長為，點是的中點，
∴，
∴當是等腰三角形時，可得三角形為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵動點的速度為/秒，
∴當從時，，當從時，．
故答案為：1或3．
4.C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，等邊三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的定義．分三種情況：，，，分別畫出圖形，得出結果即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
以點A為圓心，為半徑畫弧，交于點，交于點，如圖所示：

則，
∴當點P運動到點、位置時，為等腰三角形；
以點C為圓心，為半徑畫弧，交于點，如圖所示：

則，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴點與重合；
作線段的垂直平分線，交于點，如圖所示：

則此時，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴點與重合；
綜上分析可知：點P存在2個位置，使為等腰三角形．
故選：C．
【題型7 遇動線段時需分類討論】
1.或
【分析】本題主要考查旋轉的性質以及等邊三角形的性質，分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況討論求解．
【詳解】解：①當順時針旋轉時，如圖，
根據題意得，，
∴，
∴；
②當逆時針旋轉時，如圖，
根據題意得，
∴，，
∴
∴，
綜上，的度數為：或，
故答案為：或．
2.或
【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，將繞點順時針或逆時針旋轉得到，由等腰三角形的性質求出，由旋轉的性質及三角形外角和定理——三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和，可得出答案，掌握知識點的應用及分類思想討論是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉得到，
∵，，
∴，
∵，
∴；
如圖，將繞點逆時針旋轉得到，
∵，，
∴，
∵，
∴；
綜上可知：的度數是或，
故答案為：或．
3.或或
【分析】此題重點考查旋轉的性質、等腰三角形的性質、數形結合與分類討論數學思想的運用等知識與方法，由，，得，由，，求得，，則，由旋轉得，，，則，，求出三個內角分別為，，，再分情況討論分別列方程求解即可．
【詳解】解：，，
，，
，
，，
，，
，，
∵將繞點A按逆時針方向旋轉，得到，
∴，，
∴，， ，
，，
∴，，
∴三個內角分別為，，，
當為等腰三角形，分以下三種情況：
當時，，則，解得；
當時， ，則，解得；
當時，，則，解得；
綜上所述，或或，
故答案為：或或．
4.或或
【分析】本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質等知識，分三種情形討論①當時，②當時，③當時，分別利用全等三角形的性質計算即可．解題的關鍵是學會分類討論的思想思考問題．
【詳解】解：在中，∵，，點O是的中點，
∴，
∴，，，
①如圖，當時，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
②如圖，當時，
同理可證
∴，
∴．
③如圖中，當時，
同理可證，
∴，
∴，
故答案為：或或．
【題型8 構造等腰三角形時需分類討論】
1.或或
【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用．掌握等腰三角形的性質，并進行分類討論是解答本題的關鍵．求出，根據等腰得出三種情況：，，，根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可．
【詳解】解： 是平分線上的一點，
，
分三種情況：①當時，如圖，
，
，
，
②當時，如圖，
，
，
③當時，如圖，
，
，
，
綜上所述，的度數為：或或．
故答案為：或或．
2.B
【分析】作出圖形，然后分點P在上與上兩種情況討論求解．本題考查了等腰三角形的判定，難點在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀．
【詳解】解：①如圖1，點P在上時，，頂角為，

②∵，
∴，
如圖2，點P在上時，若，頂角為，

如圖3，點P在上時，若，則頂角為，

如圖4，點P在上時，若，則頂角為，

綜上所述，頂角為或或．
故選：B．
3.或．
【分析】本題考查了折疊的性質，等腰三角形的性質，掌握等腰三角形三線合一的性質是解題關鍵．由題意可知，是等腰直角三角形，則，由折疊的性質可知，，根據等腰三角形三線合一的性質，得到，再根據點的分為分兩種情況分別求解即可．
【詳解】解：，為等腰三角形，
是等腰直角三角形，
，
由折疊的性質可知，，
，
，
如圖1，當點在上時，，則；
如圖2，當點在的延長線上時，，則；
綜上可知，的長為或
故答案為：或．
4.或或
【分析】本題考查等腰三角形的性質，角平分線有關計算，三角形內角和定理．能根據等腰三角形兩個底角相等，用其中一個角求出另外兩個角是解題關鍵．注意分類討論．
先根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求得的度數，再分①當時，②當時，③當時，三種情況討論繼續運用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
①當，即D點在處時，
此時
；
②當時，即D點在處時，
此時，
③當時，即D點在處時，
此時，
綜上所述的度數是或或．
故答案為：或或．

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